Johtosotku

Peter Alexander Robb. CC-BY-NC-SA 3.0.

Laatikossa on 100 sähköjohdon pätkää. Ota laatikosta sattumanvaraisesti yksi johdonpää, sitten sattumanvaraisesti toinen johdonpää, ja yhdistä ne. Tee sama uudestaan niin monta kertaa, että laatikossa ei ole enää yhtään vapaata johdonpäätä. Kuinka monta johtosilmukkaa laatikossa on nyt keskimäärin? Entä jos johtoja onkin tietty tuntematon määrä n?

Joka kierroksella laatikosta valitaan 2 johdonpäätä, jotka yhdistetään. Valinnan jälkeen laatikossa on kaksi johdonpäätä vähemmän. Jos johtoja on n kpl, kierroksia käydään myös n kpl, ennen kuin kaikki johdonpäät on käyty läpi.

Jokaisella kierroksella on kaksi vaihtoehtoa:
a) Valitaan sattumalta saman johdon molemmat päät, jolloin syntyy silmukka.
b) Valitaan kahden eri johdon päät, jolloin muodostuu pidempi johto.

Tapausten a) ja b) todennäköisyydet riippuvat vain siitä kuinka mones kierros on menossa. Jos jäljellä on x johtoa, on tapauksen a) todennäköisyys 1 / (2x - 1). Ensimmäinen johdonpää valitaan 2x:stä vaihtoehdosta ja jälkimmäinen (2x - 1):stä vaihtoehdosta, joista vain yksi on jo valitun johdon toinen pää.

Kun silmukan syntymisen todennäköisyys per kierros on tiedossa, voidaan laskea silmukoiden määrän odotusarvo. Käydään läpi kaikki kierrokset yhdestä n:ään ja summataan kullakin kierroksella syntyvän silmukan todennäköisyys: 1 / (2n - 1) + 1 / (2n - 3) + ... + 1, eli:

100:n johdon tapauksessa summaksi tulee n. 3,3. Syntyy siis keskimäärin vain 3 silmukkaa. Samalla kaavalla voidaan myös todeta, että 1000:n johdon tapauksessakin silmukoita syntyisi vain 4 kpl.

Viiniä ruukusta toiseen

Pguerin. CC-BY-SA 3.0.

Sinulla on kolme viiniruukkua: 12 litran, 8 litran ja 5 litran ruukut. 12 litran ruukku on täynnä viiniä ja muut kaksi tyhjiä. Viini pitäisi saada jaettua tasan kahteen ruukkuun, siis 6 litraa yhteen ja 6 litraa toiseen ruukkuun. Miten tämä onnistuu?

Kaada 12 litraisesta ruukusta 8 litran ruukku täyteen. Kaada sitten 8 litran ruukusta 5 litran ruukku täyteen. Nyt ruukuissa on 4, 3 ja 5 litraa.

Kaada 5 litran astian sisältö 12 litran ruukkuun. Kaada 8 litran ruukussa olevat 3 litraa 5 litran ruukkuun ja sitten 12 litran ruukusta 8 litran ruukku täyteen. Nyt ruukuissa on 1, 8 ja 3 litraa.

Kaada 8 litran ruukusta 5 litran ruukku täyteen ja täysinäinen 5 litran ruukku 12 litran ruukkuun. Nyt 12 litran ja 8 litran ruukuissa on molemmissa 6 litraa viiniä.

Päivämääräpalindromi

Päivämäärä 10. helmikuuta 2001 on eräänlainen palindromi, jos sen kirjoittaa muodossa 10.02.2001 (eli päivä.kuukausi.vuosi). Mikä on lähin sitä edeltävä päivämäärä, joka on myös palindromi?

Lisätehtävä: päivämäärä 2. lokakuuta 2001 on myös palindromi, jos se kirjoitetaan muodossa 2001-10-02 (eli vuosi-kuukausi-päivä). Mikä on lähin sitä edeltävä palindromipäivämäärä?

Oletetaan, että kaikille vuosille on käytössä samat säännöt kuin nykyään, eli nykyiset kuukaudet ja kuukausien pituudet.

Ensimmäisessä tehtävässä lähin päivämäärä ei ole kovin lähellä. Esimerkiksi vuosi 2000 ei käy, koska päiväksi tulisi 00, eikä mikään vuosi vuosisadalta 1900 käy, koska silloin kuukauden täytyisi olla 91. Koska vuosisadan täytyy olla sama kuin päivämäärän kuukausiosa toisin päin käännettynä, lähin sopiva vuosisata on 1100.

Etsitään vielä vuosikymmen ja vuosi. Jos valittaisiin suurin mahdollinen kuukauden päivä, tulisi päivämääräksi 31.11.1113. Mutta koska tarkoitus on löytää suurin vuosiluku eikä suurin päivä, kannattaa valita se päivä, joka on toisin päin käännettynä suurin mahdollinen eli 29. Päivämäärä on siis 29.11.1192.

Lisätehtävän ratkaisu etenee vastaavasti, mutta tällä kertaa päiväosa määrää vuosisadan ja kuukausiosa vuosikymmenen ja vuoden. Suurin mahdollinen vuosisata ennen vuosisataa 20 on 13. 14 tai suurempi ei käy, koska silloin päivän pitäisi olla 41 tai suurempi.

Vuosikymmen- ja vuosiosan täytyy olla sellainen, että se on toisin päin luettuna kelvollinen kuukausi. Jos otetaan suurin kuukausi eli 12, saadaan vuosi 1321. Se ei kuitenkaan ole suurin vaihtoehto. Suurin on 09, jolloin saadaan vuosi 1390. Päivämäärä olisi siis 1390-09-31.

Vai onko vielä jotain pielessä? On kyllä, sillä syyskuussa on vain 30 päivää. Siispä täytyy mennä vielä vuosi ja kuukausi kauemmas. Oikea vastaus on 1380-08-31.

Karibianmeren kauhut

Oren neu dag. CC-BY-SA 3.0

Viisi merirosvoa ryöstelee laivoja Karibianmerellä. Viimeisimmältä ryöstöretkeltään merirosvot saivat saaliiksi 100 kultarahaa. He jakavat saaliin seuraavalla tavalla.

Vanhin ehdottaa miten saalis jaetaan. Jos vähintään puolet merirosvoista hyväksyy jaon, se jää voimaan. Jos yli puolet merirosvoista on eri mieltä, he käyvät vanhimman kimppuun ja pistävät hänet kävelemään lankulle. Sen jälkeen jäljelle jääneistä vanhin saa vuorostaan ehdottaa jakoa. Sama menettely jatkuu kunnes sopiva jakotapa löytyy.

Kaikki merirosvot ovat äärimmäisen ahneita ja hyvin älykkäitä. Kukaan heistä ei tietenkään halua menettää henkeään. Minkälaista jakoa vanhimman merirosvon kannattaa ehdottaa?

Kysymys saattaa kuulostaa aluksi epämääräiseltä, mutta tähän on olemassa selkeä ja perusteltu vastaus. Vanhimman merirosvon täytyy saada kaksi muuta merirosvoa puolelleen, jotta vähintään puolet kannattaisi hänen ehdottamaansa jakoa. Samalla hän yrittää saada itselleen niin suuren osan rahoista kuin mahdollista. Ketkä kaksi hänen täytyy saada tyytyväiseksi ja tarkalleen kuinka paljon heille täytyy antaa, jotta voi olla varma heidän tuestaan?

Mietitään ensin tapaukset, joissa merirosvoja olisikin 1, 2, 3 tai 4.

Jos merirosvoja on yksi, hän ottaa itselleen koko saaliin eikä minkäänlaista äänestystä tarvita.

Jos merirosvoja on kaksi, vanhempi heistä ottaa kaiken itselleen, koska äänestyksessä hänen oma äänensä riittäisi.

Jos merirosvoja on kolme, vanhimman pitää saada puolelleen yksi muista. Kaikki tietävät, että toiseksi vanhin saa kaiken, jos vuoro siirtyy hänelle. Niinpä vanhin ei voi mitenkään saada toiseksi vanhinta puolelleen. Sen sijaan nuorin kolmesta ei saa mitään, jos toiseksi vanhin pääsee tekemään jaon. Siispä vanhimman on helppo saada nuorin puolelleen. Yksikin kultaraha riittää.

Jos merirosvoja on neljä, vanhimman pitää saada yksi muista puolelleen. He kaikki tietävät, että jos vuoro siirtyy toiseksi vanhimmalle, saa hän 99 kultarahaa, nuorin yhden, ja toiseksi nuorin jäisi tyhjin käsin. Vanhin voisi saada nuorimman puolelleen tarjoamalla 2 kultarahaa, eli enemmän kuin toiseksi vanhin antaisi. Vanhimman on kuitenkin vielä helpompi taivutella toiseksi nuorin puolelleen. Riittää kun tarjoaa jaossa yhden kultarahan.

Tästä päästäänkin viiden merirosvon tapaukseen. Vanhin tarvitsee kahden muun merirosvon tuen säilyttääkseen henkensä. He kaikki tietävät, että jos vuoro siirtyy toiseksi vanhimmalle, saa hän 99 kultarahaa ja toiseksi nuorin yhden. Siispä vanhimman kannattaa tavoitella kolmanneksi vanhimman ja kaikista nuorimman tukea. Siihen riittää yksi kultaraha merirosvoa kohti, sillä jos he eivät hyväksy tarjousta, he jäävät kokonaan ilman.

Vanhimman merirosvon ehdotus on siis se, että hän itse ottaa 98 kultarahaa, kolmanneksi vanhin saa yhden kultarahan ja nuorin yhden kultarahan.

Veneretki ihmissyöjien seurassa

Kuva: Black dory. Lisenssi: CC-BY-SA 3.0.

Kolme tutkimusmatkailijaa on tutustunut ihmissyöjien heimoon. He ovat luvanneet viedä kolme ihmissyöjää tutustumaan leiriinsä. Matkalla on leveä joki, joka heidän täytyy ylittää soutuveneellä. Vene on pieni ja siihen mahtuu kerrallaan vain kaksi henkeä.

Ihmissyöjät eivät ole pahansuopia, mutta jos jommalla kummalla rannalla on samaan aikaan useampi ihmissyöjä kuin tutkimusmatkailija, käyttävät ihmissyöjät tilaisuuden hyväkseen ja pistävät tutkimusmatkailijat hengiltä. Samalla rannalla ei siis saa olla edes hetkellisesti useampia ihmissyöjiä kuin tutkimusmatkailijoita.

Millä tavalla kaikki kuusi pääsevät joen yli? Jonkun täytyy aina soutaa venettä, eli sitä ei voi yksinään lähettää joen yli.

Merkitään A:lla lähtörantaa ja B:llä kohdetta. Merkitään tutkimusmatkailijoita T:llä, ihmissyöjiä I:llä ja venettä V:llä.

Aluksi kaikki ovat lähtörannalla:
A: TTT, III, V
B: ei ketään

Kaksi ihmissyöjää soutaa joen yli:
A: TTT, I
B: II, V

Yksi ihmissyöjä palaa:
A: TTT, II, V
B: I

Kaksi ihmissyöjää ylittää taas joen:
A: TTT
B: III, V

Yksi ihmissyöjä palauttaa veneen:
A: TTT, I, V
B: II

Kaksi tutkimusmatkailijaa ylittää joen:
A: T, I
B: TT, II, V

Yksi tutkimusmatkailija ja yksi ihmissyöjä palaavat takaisin lähtörannalle:
A: TT, II, V
B: T, I

Kaksi tutkimusmatkailijaa ylittää joen:
A: II
B: TTT, I, V

Yksi ihmissyöjä palaa lähtörannalle:
A: III, V
B: TTT

Kaksi ihmissyöjää joen yli:
A: I
B: TTT, II, V

Yksi ihmissyöjä takaisin:
A: II, V
B: TTT, I

Lopuksi kaksi ihmissyöjää joen yli:
A: ei ketään
B: TTT, III, V

Palkanmaksu kultana

Palkkaat työmiehen työmaallesi seitsemäksi päiväksi. Työmies vaatii palkan jokaisen päivän päätteeksi. Sinulla on seitsemästä kultaisesta renkaasta koostuva ketju. Sovitte, että työmies saa joka päivältä palkakseen yhden renkaan.

Kuinka moneen osaan ketju pitää katkaista, jotta voit maksaa palkan joka päivä? Yritä siis selvitä mahdollisimman vähillä katkaisuilla.

Ketju katkaistaan kolmeen osaan, joiden koot ovat 1 rengas, 2 rengasta ja 4 rengasta. Ensimmäisenä päivänä maksat työmiehelle yhden renkaan. Toisena päivänä annat kaksi rengasta ja työmies antaa takaisin yhden. Kolmantena päivänä maksat yhden renkaan. Neljäntenä päivänä annat neljä rengasta ja saat takaisin yhden ja kaksi rengasta. Viidentenä päivänä maksat yhden renkaan. Kuudentena päivänä maksat kaksi rengasta ja saat takaisin yhden. Seitsemäntenä päivänä annat lopuksi viimeisen renkaan.

Vuoren huipulle ja takaisin

Kuva: Cullen328. Lisenssi: CC-BY 3.0.

Vuorikiipeilijä lähtee kiipeämään vuorelle keskipäivällä kotoaan vuoren juurelta. Välillä hän kulkee nopeammin ja välillä hitaammin, välillä myös pysähtyy lepäämään. Huipulle hän saapuu seitsemältä ja viipyy siellä leirissä yön yli. Seuraavana päivänä kiipeilijä lähtee kello 12 takaisin alas kotiinsa, jonne hän saapuu kello seitsemältä. Reitti on sama molempiin suuntiin, mutta pysähdykset ja etenemisvauhti vaihtelevat. Millä todennäköisyydellä kiipeilijä on jossakin samassa kohdassa reittiä samaan aikaan meno- ja paluumatkalla?

Niin käy väistämättä. Jos se tuntuu epävarmalta, helpoin tapa varmistaa asia on kuvitella kaksi kiipeilijää, jotka lähtevät yhtä aikaa kulkemaan samaa reittiä, toinen alhaalta ja toinen huipulta. Jossain vaiheessa he väistämättä kohtaavat toisensa, eli ovat samassa kohdassa reittiä samaan aikaan, vaikka heidän kulkuvauhtinsa vaihtelisi.

Köytetty maapallo

Kuvitellaan, että maapallon ympäri on kietaistu köysi päiväntasaajaa pitkin. Voimme tässä yhteydessä olettaa, että maapallo on täysin pyöreä. Kuinka paljon enemmän köyttä tarvitaan, jos köysi kulkisikin maapallon ympäri metrin korkeudella maanpinnasta?

Ympyrän kehän pituus on 2πr, jossa r on ympyrän säde. Köyden pituus on siis myös 2πr. Jos säde kasvaa metrin, on ympyrän kehän ja siis myös köyden pituus 2π(r+1). Tästä nähdään nopeasti, että jälkimmäisessä tapauksessa köyden pituus kasvaa 2π. Siis vain noin 6,28 m.

Muutos riippuu ainoastaan säteen pituuden muutoksesta, joten todellista maapallon sädettä ei tarvitse tietää. Itse asiassa, jos köysi olisi kietaistu ensin jalkapallon ympäri ja sitten metrin korkeammalle, olisi köyden pituuden muutos samansuuruinen eli 6,28 m.

Yksinkertainen korttipeli

Maalaus: Adriaen Brouwer

Sinulle ehdotetaan korttipeliä. Käytössä on tavallinen 52:n kortin pakka. Peliin osallistuu kaksi pelaajaa, jotka asettavat peliin panoksen. Säännöt ovat seuraavat:

Jakaja nostaa pakasta kaksi korttia kerrallaan. Jos molemmat kortit ovat punaisia (hertta tai ruutu), ne siirretään sinun pinoosi. Jos molemmat kortit ovat mustia (pata tai risti), ne siirretään vastapelaajan pinoon. Jos toinen kortti on punainen ja toinen musta, ne hylätään.

Kun koko pakka on käyty läpi, lasketaan kortit ja enemmän kortteja kerännyt voittaa potin. Jos sattuu tulemaan tasatulos, jakaja kerää potin.

Vastapelaajasi laittaa panokseksi yhden euron. Kuinka paljon sinä olisit valmis laittamaan likoon peliin?

Tätä peliä ei kannata pelata millään panoksella. Jakaja nimittäin voittaa joka kerta. Pelin lopuksi hylättyjen korttien määrä vaihtelee, mutta molemmille pelaajille kertyy kuitenkin aina yhtä monta korttia.

Pakassa on aluksi 26 mustaa ja 26 punaista. Kun nostetaan kaksi samanväristä korttia, jää pakkaan toista väriä kaksi enemmän. Näin toistakin väriä oleva pari nousee pakasta väistämättä jossain vaiheessa, koska erivärisiä pareja ei voi muodostaa koko loppupakasta.

Kun nostetaan eriväriset kortit, on pakassa sen jälkeen pariton määrä molempia värejä. Toinenkin erivärinen pari nousee väistämättä jossain vaiheessa, koska korteista ei voi muodostaa pelkästään samanvärisiä pareja.

Asiaa voi myös kokeilla vaikkapa kahdeksan kortin pakalla, jossa on neljä punaista ja neljä mustaa korttia. Vaihtoehtoiset pelinkulut ovat silloin seuraavat:
1) Kaikilla nostoilla kaksi samanväristä korttia (kaksi paria punaisia, kaksi mustia).
2) Kahdella nostolla eriväriset kortit, kahdella nostolla samanväriset kortit (yksi musta pari ja yksi punainen pari).
3) Kaikilla nostoilla kaksi eriväristä korttia.
Vastaavasti voi kokeilla isommilla pakoilla.

Paikkalippukaaos junassa

Kuva: Osupon. Lisenssi: CC-BY-SA 3.0.

Junan 100 istumapaikkaa on myyty sadalle matkustajalle. Paikat on numeroitu yhdestä sataan. Oletetaan, että matkustajat astuvat junaan paikkanumerojärjestyksessä.

Ensimmäisen lipun haltija ei kuitenkaan ymmärrä, että lipussa on paikkanumero, ja istuu satunnaiselle paikalle. Muut matkustajat tulevat yksitellen vaunuun ja istuvat omalle paikalleen, jos se on vielä vapaa. Jos paikka on jo varattu, valitsee matkustaja sattumanvaraisesti minkä tahansa muun vapaan paikan.

Mikä on todennäköisyys, että 100. matkustaja istuu lopulta omalla paikallaan?

Todennäköisyys on 1/2. Selitys:

Ensimmäisellä matkustajalla on 3 vaihtoehtoa:
1) Istuu paikalle 1, jolloin hänen jälkeensä tulevat matkustajat voivat myös kaikki istua omille paikoilleen. Myös 100. matkustaja saa oman paikkansa.
2) Istuu paikalle 100, jolloin matkustaja 100 ei saa omaa paikkaansa.
3) Istuu jollekin muulle vapaalle paikalle, jolloin sama valinta siirtyy kyseisen paikan oikealle haltijalle.

Esimerkki:

Jos ensimmäinen matkustaja päättää istua vaikkapa paikalle 49, on paikan 49 haltijan tehtävä sama yllä kuvattu valinta. Jos paikan 49 haltija päättää istua vaikkapa paikalle 71, on paikan 71 haltijalla edelleen sama valinta tehtävänään. Lopulta viimeistään paikan 99 haltija joutuu tekemään valinnan enää kahdesta vaihtoehdosta 1 ja 2, koska muita vapaita paikkoja ei enää ole.

Vaihtoehdon 3 valitseminen siis vain siirtää valinnan tekemisen myöhemmäksi. Siinä vaiheessa, kun joku valitsijoista valitsee vaihtoehdon 1 tai 2, valintaprosessi päättyy. Valinnan 1 jälkeen kaikki matkustajat numeroon 100 asti voivat istua omille paikoilleen. Valinnan 2 jälkeen kaikki matkustajat numeroon 99 asti voivat istua omille paikoilleen ja paikan 100 haltijalle jää vaihtoehdoksi vain istumapaikka numero 1.

Aurinkokuivatut tomaatit

Kuva: Hedwig Storch. Lisenssi: CC-BY-SA 3.0

Oletetaan, että tuoreesta tomaatista 99% on vettä ja vain 1% on muita aineita, jotka tekevät tomaatista tomaatin. Otetaan 1 kg tomaatteja ja jätetään ne aurinkoon kuivumaan joksikin aikaa. Sen jälkeen huomataan, että kuivuneista tomaateista enää 98% on vettä. Kuinka paljon tomaatit silloin painavat?

Aluksi 1% tomaattikilosta oli 10 grammaa. Kuivatuksen jälkeen sama 10 grammaa onkin 2% painosta, joten kokonaispainon täytyy olla pudonnut puoleen kiloon.

Tyttö täyttää vuosia

Kuva: Jessica N. Diamond. Lisenssi: CC-BY-SA 2.0

Toissapäivänä eräs tyttö oli vielä 8-vuotias. Ensi vuonna hän on jo 11. Miten tämä on mahdollista?

Tytön syntymäpäivä on 31.12. Tänään on tammikuun ensimmäinen. Toissapäivänä tyttö oli vielä 8, eilen hän täytti 9, tämän vuoden viimeisenä päivänä hän täyttää 10 ja seuraavan vuoden viimeisenä päivänä 11.

Yhdeksän minuutin muna

Tehtäväsi on keittää yhdeksän minuutin muna. Kelloa ei ole käytössä mutta apunasi on kaksi tiimalasia, joista toinen mittaa neljä minuuttia ja toinen seitsemän minuuttia.

Kuinka kauan vähintään kestää, että saat keitettyä tarkalleen yhdeksän minuutin munan?

Aikaa kuluu yhdeksän minuuttia.

Käännä molemmat tiimalasit samalla kun laitat munan kiehuvaan veteen. Ensin loppuun valuu neljän minuutin tiimalasi. Käännä se heti ympäri. Seuraavaksi loppuun valuu seitsemän minuutin tiimalasi, käännä sekin heti ympäri.

Minuuttia myöhemmin neljän minuutin tiimalasi on jälleen valunut. Käännä silloin seitsemän minuutin tiimalasi taas ympäri ja odota kunnes se on valunut loppuun (yksi minuutti).

Kuutiokuukausi

Kuva: Leo Reynolds. Lisenssi: CC-BY-NC-SA 2.0.

Sinulla on kaksi kuutiota, joiden sivuihin on merkitty numeroita nollasta yhdeksään. Asettelemalla nämä kaksi kuutiota vierekkäin voit esittää minkä tahansa kuukauden päivän numeron yhdestä 31:een.

Jos päivä on yksinumeroinen, kuuluu se aloittaa nollalla. Esimerkiksi yhdeksäs päivä on esitettävä 09.

Mitkä numerot kuutioiden sivuihin on merkitty?

Ensimmäiseen kuutioon on merkitty numerot 0, 1, 2, 3, 4 ja 5. Toiseen kuutioon on merkitty numerot 0, 1, 2, 6, 7 ja 8. Näillä voidaan esittää kaikki kuukauden päivät. Numero yhdeksän saadaan kääntämällä kuutonen ylösalaisin.

Hissiarvoitus

Mies asuu kerrostalon 10. kerroksessa. Aamuisin hän ajaa hissillä alas ja kävelee työpaikalleen, joka sijaitsee lähistöllä. Iltapäivisin hän palaa kotitalolleen kävellen, ajaa hissillä viidenteen kerrokseen ja nousee loput kerrokset portaita pitkin. Paitsi sadepäivinä, jolloin hän ajaa hissillä suoraan 10. kerrokseen. Miksi hän tekee näin?

Mies on erittäin lyhyt ja yltää hississä vain viidennen kerroksen nappiin asti. Sadepäivinä hänellä on mukanaan sateenvarjo, jolla hän yltää painamaan 10. kerroksen nappia.

Punnituksia torilla

Torikauppiaalla on käytössä tasapainovaaka ja viisi painoa. Niiden avulla hän väittää voivansa punnita asiakkaiden ostokset kilon tarkkuudella yhdestä 31:een kiloon asti. Minkä painoisia painot ovat?

Toisella torikauppiaalla on vain neljä painoa. Silti hän väittää voivansa punnita ostokset kilon tarkkuudella yhdestä 40:een kiloon. Voiko se pitää paikkansa?

Ensimmäisessä tapauksessa painot painavat 1, 2, 4, 8 ja 16 kiloa. Niitä yhdistelemällä saadaan kaikki painot 1 kg - 31 kg (kilon tarkkuudella). Ostokset sijoitetaan ensimmäiseen vaakakuppiin ja painot toiseen. Ostosten paino löydetään kokeilemalla miten tasapainovaaka kallistuu eri painoilla.

Toisessa tapauksessa painot painavat 1, 3, 9 ja 27 kiloa. Tässä tapauksessa ei riitä, että ostokset sijoitetaan ensimmäiseen kuppiin ja painot toiseen, vaan painoja pitää sijoittaa molempiin kuppeihin, jotta kaikki ostokset väliltä 1 kg - 40 kg voidaan mitata.

Esimerkiksi kaksi kiloa mitataan siten, että ensimmäiseen vaakakuppiin laitetaan kilon paino ja toiseen vaakakuppiin kolmen kilon paino, jolloin kuppien välinen painoero ilman ostoksia on 2 kiloa. 14 kg mitataan siten, että ensimmäiseen kuppiin laitetaan 1 kg, 3 kg ja 9 kg painot ja toiseen kuppiin laitetaan 27 kg paino, jolloin vaakakuppien painoero on 14 kg.

Kristallipallon pitkä pudotus

Sinulle on annettu erikoinen tehtävä: sinun pitää selvittää miten korkealta kristallipallon voi pudottaa niin että se säilyy ehjänä. Tarkemmin sanoen, mikä on ylin 100-kerroksisen talon kerros, josta pudotettaessa kristallipallo ei hajoa.

Sinulla on kaksi täsmälleen samanlaista kristallipalloa. Kristallipallot voivat olla hyvinkin herkkiä rikkoutumaan tai sitten ne ovat hämmästyttävän kestäviä - sitä ei voi etukäteen tietää. Saat rikkoa yhden tai molemmat palloista kestävyyttä selvittäessäsi.

Mikä on tehokkain tapa selvittää annettu tehtävä ja kuinka monta pudotusta siihen tarvitaan?

Oikea kerros löytyy viimeistään 14. pudotuksella.

Ensimmäisellä pallolla haarukoidaan aluetta pudottamalla pallo näistä kerroksista tässä järjestyksessä: 14, 27, 39, 50, 60, 69, 77, 84, 90, 95, 99, 100.

Jos ensimmäinen pallo hajoaa, palataan alaspäin edelliseen onnistuneeseen kerrokseen ja noustaan kerros kerrokselta ylöspäin pudotuskokeita tehden kunnes löytyy kerros jossa toinen pallo hajoaa ensimmäisen kerran.

Alla sama ajatus taulukoituna. Rivit kuvaavat maksimaalisia pudotussarjoja. Punaisella on merkitty ensimmäisellä pallolla tehdyt pudotukset ja sinisellä toisella pallolla tehdyt pudotukset. Ensimmäisen rivin tapauksessa ensimmäinen pallo hajosi pudotettaessa kerroksesta 14. Toisen rivin tapauksessa ensimmäinen pallo hajosi pudotettaessa kerroksesta 27. Ja niin edelleen.

14 01 02 03 04 05 06 07 08 09 10 11 12 13
14 27 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26
14 27 39 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38
14 27 39 50 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49
14 27 39 50 60 51 52 53 54 55 56 57 58 59
14 27 39 50 60 69 61 62 63 64 65 66 67 68
14 27 39 50 60 69 77 70 71 72 73 74 75 76
14 27 39 50 60 69 77 84 78 79 80 81 82 83
14 27 39 50 60 69 77 84 90 85 86 87 88 89
14 27 39 50 60 69 77 84 90 95 91 92 93 94
14 27 39 50 60 69 77 84 90 95 99 96 97 98
14 27 39 50 60 69 77 84 90 95 99 100

Kolikonkääntötemppu

Pöydälle on levitetty 50 kolikkoa. Silmäsi ovat sidotut ja käsissäsi ovat paksut käsineet, joten et pysty näkemään tai tunnustelemaan miten päin kolikot ovat, klaava vai kruuna ylöspäin. Sinulle kerrotaan, että N kolikkoa on kruuna ylöspäin. N on jotain väliltä 1 - 50.

Tehtäväsi on jakaa kolikot kahteen ryhmään, joista molemmissa on yhtä monta kolikkoa kruuna ylöspäin. Saat kääntää kolikoita ympäri niin monta kertaa kuin haluat. Millä tavalla temppu onnistuu täydellä varmuudella?

Tehtävään on helppo ratkaisu: valitse umpimähkään N kpl kolikoita ja käännä ne kerran ympäri. Näistä N:stä valitsemastasi kolikosta tulee toinen ryhmä ja loput kolikot jäävät toiseen ryhmään. Nyt ryhmissä on yhtä monta kruunaa. Tehtävänannossahan ei vaadittu, että kolikoita olisi oltava molemmissa ryhmissä yhtä monta.

Asiaa voi ajatella esimerkin kautta. Jos N on vaikkapa 3, valitset sattumanvaraisesti 3 kolikkoa ja käännät ne ympäri. Tällöin valitsemissasi kolmessa kolikossa on voinut olla nollasta kolmeen kruunaa.

Jos valituissa kolikoissa oli 0 kruunaa, tulit kääntäneeksi 3 klaavaa kruunoiksi, ja näin molemmissa ryhmissä on 3 kruunaa.

Jos kruunia oli 1, tulit kääntäneeksi 2 klaavaa kruuniksi ja yhden kruunan klaavaksi, ja molemmissa ryhmissä on 2 kruunaa.

Jos kruunia oli 2, tulit kääntäneeksi yhden klaavan kruunaksi ja 2 kruunaa klaavoiksi, ja molemmissa ryhmissä on 1 kruuna.

Jos onnistuit kääntämään kaikki kolme kruunaa klaavoiksi, on molemmissa ryhmissä 0 kruunaa.

Vastaavasti käy myös muilla N:n arvoilla.

Lasikuulien punnitus

Kuva: José Reynaldo da Fonseca. Lisenssi: CC-BY-SA 3.0.

Kaupan varastossa on kymmenen isoa laatikollista lasikuulia. Yksi tavallinen kuula painaa 10g mutta yhdessä laatikossa on viallisia kuulia, jotka painavat 9g. Kaupan apulaiselle on annettu tehtäväksi selvittää mikä laatikko sisältää kevyempiä kuulia. Apunaan hänellä on erittäin tarkka painovaaka. Onko mahdollista selvittää asia yhdellä ainoalla punnituksella?

Merkitään laatikot numeroilla yhdestä kymmeneen. Otetaan vaa'alle ensimmäisestä laatikosta yksi lasikuula, toisesta kaksi, kolmannesta kolme jne. Jos kaikki kuulat olisivat 10g painoisia, tulisi punnituksen tulokseksi 550g, mutta nyt yhteispaino on jotain alle sen. Jos kevyet kuulat ovat laatikossa 1, on punnituksen tulos 1g pienempi. Jos laatikossa 2, on tulos 2g pienempi. Jos laatikossa 3, on tulos 3g pienempi. Ja niin edelleen.

100 vankia tyrmässä

Kuva: Del Amitri. Lisenssi: CC-BY-NC-ND 2.0.

Kuninkaan vankityrmässä viruu 100 elinkautisvankia. Tylsistynyt kuningas päättää asettaa heille haasteen.

Vankilan erään huoneen seinään asennetaan kaksi vipua. Kummallakin vivulla on kaksi asentoa: ylös ja alas. Aluksi vivut ovat sattumanvaraisessa asennossa.

Kuningas ilmoittaa vangeille, että seuraavasta päivästä alkaen hän kutsuu heistä yhden kerrallaan tuohon huoneeseen. Vangin on silloin käännettävä yhtä vipua kerran. Mitään muuta huoneessa ei saa tehdä.

Kuningas kutsuu vankeja sattumanvaraisessa järjestyksessä. Kukin vanki voi tulla kutsutuksi monta kertaa peräjälkeen. Kaikki vangit kuitenkin käyvät huoneessa aikanaan. Vangit ovat kukin omassa sellissään, eivätkä tiedä muiden liikkeistä mitään.

Näin jatketaan niin kauan kunnes kuka tahansa vangeista ilmoittaa tietävänsä, että kaikki vangit ovat käyneet huoneessa vähintään kerran. Jos hän on oikeassa, kaikki vapautetaan. Jos tieto on väärä, kaikki vangit mestataan.

Vangeilla on hetki aikaa sopia suunnitelma, jonka avulla he selviävät haasteesta. Miten vankien kannattaa toimia?

Vankien kannattaa sopia, että yksi heistä suorittaa laskennan ja ilmoittaa kun kaikki ovat käyneet huoneessa vähintään kerran. Oikeanpuoleinen vipu toimikoon merkinantajana, jonka avulla kävijät lasketaan.

Jos oikeanpuoleinen vipu on alhaalla, kaikki muut vangit paitsi laskija kääntävät sen ylös. Jos oikeanpuoleinen vipu on ylhäällä, käännetään vasemmanpuoleista vipua ylös tai alas, jotta ei sekoiteta toiseen vipuun perustuvaa laskentaa. Kukin vanki kääntää oikeanpuoleisen vivun yläasentoon vain kerran riippumatta siitä montako kertaa hänet kutsutaan huoneeseen, jotta samat vangit eivät tulisi lasketuksi moneen kertaan.

Kun laskija saapuu huoneeseen, hän katsoo onko oikeanpuoleinen vipu käännetty ylös. Jos on, hän tietää että yksi uusi vanki on käynyt huoneessa ja voi laskea päässään yhden lisää. Sitten hän kääntää oikeanpuoleisen vivun taas alas. Muutoin hän kääntää vasemmanpuoleista vipua ylös tai alas.

Tämä suunnitelma ei kuitenkaan vielä aivan riitä, sillä aivan aluksi ei tiedetä onko oikeanpuoleinen vipu ollut ylä- vai ala-asennossa. Voi siis käydä niin, että laskija laskee 100 kävijää (itsensä mukaanlukien), mutta ensimmäisellä kerralla vipu olikin sattumalta yläasennossa ja vain 99 vankia on käynyt huoneessa.

Muutetaan siis suunnitelmaa vielä niin, että kukin vanki kääntää oikeanpuoleisen vivun ylös kahdesti ja laskija laskee kunnes 200 kertaa täyttyy. Nyt vipu on käännetty yläasentoon joko 200 tai 199 kertaa, joten jokainen vanki on varmasti käynyt huoneessa ainakin kerran.

Totuus ja valhe

Tässäpä eräs hyvin suosittu pulma, joka liittyy valehteluun ja totuuden puhumiseen.

Olet kävelyretkellä vieraassa metsässä. Kuljet polulla kohti kylää, jossa sinulla on majapaikka. Yön jo lähestyessä saavut polunhaaraan. Toinen polku vie kylään ja toinen syvemmälle synkkään metsään mutta et tiedä kumpi on kumpi.

Polun vieressä seisoo kaksi miestä, jotka tietävät kumpi polku johtaa kylään. Olet kuullut heistä aikaisemmin ja tiedät, että jos kysyt heiltä jotain, toinen heistä puhuu aina totta ja toinen valehtelee aina.

Voit esittää toiselle heistä yhden kysymyksen, jonka avulla sinun on selvitettävä, kumpi polku vie kylään. Minkä kysymyksen kysyt?

Kummalta tahansa voi kysyä kysymyksen "mitä toinen mies vastaisi, jos kysyisin häneltä, kumpi polku vie kylään?"

Oletetaan, että oikeanpuoleinen polku vie kylään. Totuudenpuhuja vastaa silloin "vasen", koska valehtelija vastaisi niin. Valehtelija vastaa myös "vasen", koska totuudenpuhuja vastaisi "oikea".

Molemmat siis kertoisivat väärän polun, joten voit rauhallisin mielin lähteä kulkemaan toista polkua pitkin.

Myrkytetty viinipullo

Kuva: Che. Lisenssi: CC-BY-SA 2.5.

Kaukaisen maan kuninkaalla on viinikellarissaan 1000 pulloa erinomaisen hyvää viiniä. Kuningas viettää pian syntymäpäiviään ja pullot on varattu tarjoiltavaksi kutsuvieraille.

Kuningas on mielipuolisten tempaustensa vuoksi erittäin epäsuosittu ja hänen vastustajansa ovatkin onnistuneet myrkyttämään yhden viinipulloista. Kuninkaan vartiokaarti on kuitenkin saanut asiasta vihiä.

Myrkky on niin tehokasta, että pienen pieni pisara riittää tappamaan ihmisen. Myrkyn oireet alkavat näkyä kuitenkin vasta 22 tunnin kuluttua. On enää tasan vuorokausi aikaa kutsuvierasjuhlien alkuun, eikä kuningas halua peruuttaa juhlia, joten hän päättää selvittää maistajien avulla mikä pulloista sisältää myrkkyä.

Kuningas keksii tavan, jossa tarvitaan vain pieni joukko maistajia, mutta saadaan varmuudella ennen juhlien alkua selville mikä pulloista on myrkytetty. Mikä on tuo keino ja miten monta maistajaa tarvitaan?

Pieni määrä maistajia riittää, jos kukin maistajista maistaa useammasta pullosta ja kunkin maistajan pullot valitaan sopivasti niin, että kun useampi saa myrkytysoireita, voidaan päätellä mistä pullosta he kaikki ovat maistaneet.

Käytetään apuna binäärilukuja. Binääriluku koostuu ykkösistä ja nollista. Binääriluvun voi tulkita desimaaliluvuksi siten, että oikealta lukien ensimmäinen numero merkitsee ykköstä, toinen kakkosta, kolmas nelosta, neljäs kahdeksaa, viides kuuttatoista, kuudes kolmeakymmentäkahta jne. eli yleisemmin sanoen n:s numero merkitsee kakkosen n:ttä potenssia. Jos binääriluvun n:s numero on ykkönen, lisätään desimaalilukuun 2ⁿ. Esimerkiksi binääriluku 0000000101 on desimaalilukuna 1 + 4 eli 5. Binääriluku 0001100110 on desimaalilukuna 2 + 4 + 32 + 64 eli 102.

Numeroidaan viinipullot yhdestä tuhanteen binääriluvuilla. Sitten otetaan kymmenen maistajaa ja numeroidaan heidät ykkösestä kymmeneen. Maistaja numero 1 maistaa kaikista niistä viinipulloista, joiden binäärilukuesityksessä ensimmäinen numero on ykkönen. Maistaja 2 maistaa kaikista niistä viinipulloista, joiden toinen numero on ykkönen, ja niin edelleen. Kymmenen maistajaa riittää, koska kaikki luvut yhdestä tuhanteen voidaan esittää kymmennumeroisena binäärilukuesityksenä.

Desimaaliluku 1 on binäärilukuna 0000000001, joten vain ensimmäinen maistaja maistaa ensimmäisestä pullosta. Desimaaliluku 1000 on binäärilukuna 1111101000, joten viimeisestä pullosta maistavat maistajat 4, 6, 7, 8, 9 ja 10. Pullosta 329 eli binäärilukuna 0101001001 maistavat maistajat 1, 4, 7 ja 9.

Kun osa maistajista saa oireita, voidaan heti päätellä mistä pullosta he kaikki ovat maistaneet. Esimerkiksi jos maistajat 1 ja 3 saavat oireita mutta muut ovat terveitä, on pullo 0000000101 myrkytetty. Jos 2, 3, 6 ja 7 saavat oireita, on pullo 0001100110 myrkytetty.

Tällä tavalla tarvitaan pieni määrä maistajia, mutta toisaalta suurimmassa osassa tapauksista useampi kuin maistajista menehtyy. Jos maistajia olisi tuhat ja kukin maistaisi vain yhdestä pullosta, vain yksi maistaja menehtyisi.

Kyyhkyn lento

Kaksi pyöräilijää on sopinut tapaavansa toisensa kaupungin kauppatorin suihkulähteellä. Pyöräilijät lähtevät ajamaan samalla hetkellä kohti toria vastakkaisista suunnista 45 km päässä toisistaan. Tori on täsmälleen puolivälissä eli 22,5 km päässä kummankin kotoa. Molemmat ajavat pysähtymättä ja samaa nopeutta 15 km/h.

Toisella pyöräilijöistä on kesy kirjekyyhky, joka lähtee lentoon samaan aikaan ja samasta paikasta emäntänsä kanssa. Kyyhky lentää ensin toisen pyöräilijän luokse ja kääntyy sitten takaisin kohti ensimmäistä pyöräilijää. Kyyhky jatkaa lentämistä edestakaisin kahden pyöräilijän välillä nopeudella 34 km/h siihen asti, kunnes pyöräilijät kohtaavat toisensa suihkulähteellä.

Kuinka pitkän matkan kyyhky lensi?

Jokaisen lento-osuuden voisi yrittää laskea erikseen mutta helpompikin tapa on olemassa. Lentomatka on suoraviivaista laskea, kun tiedetään kuinka kauan pyöräilijöillä kesti kohdata ja mikä oli linnun nopeus. Pyöräilijöillä kesti 1,5 tuntia ajaa torille. Koko sen ajan kyyhky lensi nopeudella 34 km/h. Kyyhky lensi siis yhteensä 1,5 h x 34 km/h = 51 km.

Ässän etsintä

Pelataan hetki korttipeliä, jossa etsitään ässää. Erotetaan tavallisesta korttipakasta kolme korttia: yksi ässä ja kaksi kakkosta. Jakaja järjestää kortit kädessään ja asettaa ne pöydälle kuvapuoli alaspäin.

Tehtäväsi on arvata mikä korteista on ässä ja kertoa valintasi jakajalle. Sen jälkeen jakaja poistaa valitsematta jääneistä kahdesta kortista yhden, joka ei ole ässä.

Tässä vaiheessa jakaja antaa sinulle mahdollisuuden muuttaa mieltäsi ja vaihtaa valintasi toiseen jäljellä olevaan korttiin. Kannattaako sinun vaihtaa vai pysytellä alkuperäisessä valinnassa? Vai onko sillä merkitystä miten toimit?

Kannattaa vaihtaa valintaa. Tämä ei ehkä tunnu aluksi aivan itsestään selvältä, mutta käy ilmi helposti seuraavasta:

Aluksi oikeaan osumisen todennäköisyys oli vain 1/3. Sen jälkeen valinnan vaihtaminen johtaa aina väärään korttiin.

Aluksi väärään osumisen todennäköisyys oli 2/3. Silloin valinnan vaihtaminen johtaa aina oikeaan korttiin.

Jos siis et vaihda valintaa, on todennäköisyys osua oikeaan 1/3. Jos vaihdat valintaa, on todennäköisyys 2/3.

Pieni arvoitus äidistä ja lapsista

Kuva: Joachim Spremberg. Deutsches Bundesarchiv. Lisenssi: CC-BY-SA 3.0

Tässä pieni arvoitus äidistä ja lapsista. Eräs poika on syntynyt samana vuonna, samana kuukautena ja samana päivänä kuin muuan toinen poika. Heillä on myös sama äiti. He eivät kuitenkaan ole kaksosia. Miten tämä on mahdollista?

Pojat eivät ole kaksosia vaan kaksi sisarusta kolmosista tai vielä suuremmasta katraasta.

Kaapelia asentamassa

Kuva: mrcam. Lisenssi: CC-BY-NC-ND 2.0

Puhelinkaapeli on asennettu kadun alle kilometrin matkalle. Kaapelissa kulkee 120 erillistä johdinta päästä päähän mutta johtimia ei ole merkitty mitenkään esimerkiksi väreillä tai numeroilla.

Olet juuri aloittanut työt asennusfirmassa ja sinun tehtäväksesi on langennut merkitä johtimet niin, että saman johtimen voi tunnistaa molemmista päistä. Aloitat työsi kaapelin yhdestä päästä ja voit kulkea kaapelin päästä päähän kilometrin matkan niin monta kertaa kuin katsot tarpeelliseksi.

Sinulla on työkaluina vain teippiä ja kynä johdinten merkitsemistä varten sekä paristo ja lamppu. Paristo ja lamppu on kytketty toisiinsa johdolla ja lisäksi lampun toisen navan voi kytkeä testattavaan johtimeen, samoin pariston toisen navan. Lamppu siis syttyy palamaan, jos pariston ja lampun kytkee samaan johtimeen. Lampun ja pariston kytkentäjohdot ovat kuitenkin lyhyitä, vain kymmenen sentin mittaisia.

Miten voit selvittää tehtävän ja mikä on lyhin matka minkä joudut kulkemaan?

Muodostetaan ensin 15 eri kokoista johdinryhmää teippaamalla tai kiertämällä johtimia yhteen. Merkitään yksi johdin A:lla, sitten kytketään kaksi muuta johdinta yhteen ja merkitään molemmat B:llä, sitten kytketään kolme vielä kytkemätöntä johdinta yhteen ja merkitään niitä C:llä jne. Lopuksi viimeiseen ryhmään O tulee 15 johdinta.

Kuljetaan sitten toiseen päähän. Jos kaksi johdinta kuuluu samaan ryhmään, lamppu syttyy kun paristo ja lamppu kytketään näihin kahteen johtimeen. Kytketään siis lamppu yhteen johtimeen ja kytketään kaikki muut johtimet paristoon yksitellen. Jos lamppu syttyy esim. neljän johtimen kohdalla, kuuluvat ne ryhmään E. Selvitetään samalla tavalla kaikki ryhmät ja merkitään johtimiin ryhmien kirjaimet.

Kytketään johtimet uudelleen 15 erilaiseen ryhmään. Uuteen ryhmään numero 15 kytketään yksi johdin jokaisesta vanhasta ryhmästä. Ryhmän johtimet saavat nyt merkinnöikseen A15, B15, C15 jne. Uuteen ryhmään numero 14 kytketään yksi johdin kaikista vanhoista ryhmistä paitsi ryhmästä A, jonka ainoa johdin oli jo kytketty ryhmään 15. Uuteen ryhmään 13 kytketään yksi johdin jokaisesta vanhasta ryhmästä, paitsi ryhmistä A ja B. Jatketaan samaan tapaan ja lopuksi viimeiseen ryhmään numero 1 jää vain yksi johdin O1.

Palataan sitten alkupäähän. Puretaan kaikki aluksi tehdyt ryhmät. Selvitetään sitten kaikki uudet ryhmät käyttäen lamppua ja paristoa samaan tapaan kuin aikaisemmin. Merkitään johtimiin kunkin ryhmän numerot alun perin merkittyjen kirjaimien lisäksi. Lopuksi molemmissa päissä johtimet on merkitty samoilla kirjain- ja numeroyhdistelmillä. Matkaa kertyi 2 km.

Punahatut ja mustahatut

Kuvan tekijä: Fanmalysza. Lisenssi: CC-BY-2.5

Kaukaisen maan mielipuolinen kuningas on jälleen vauhdissa. Tällä kertaa kuningas on käskenyt koota yhteen 30 satunnaista kadunmiestä eri puolilta valtakuntaa. Miehet joutuvat kohtaamaan vaarallisen haasteen. Kuningas menee tapaamaan uhrejaan ja kertoo heille mitä tulee tapahtumaan. Sen jälkeen heillä on yö aikaa miettiä, miten he voivat selviytyä koettelemuksesta.

Varhain aamulla heidät tullaan käskemään jonoon linnan pihalle. Heidän silmänsä sidotaan ja jokaisen päähän asetetaan joko punainen tai musta hattu, minkä jälkeen siteet poistetaan. Jokainen näkee kaikkien jonossa edellään olevien hatut, mutta ei omaa hattuaan eikä takanaan olevien hattuja.

Yksitellen, takimmaisesta miehestä aloittaen, heiltä kysytään oman hattunsa väriä. Miehet eivät saa jonossa keskustella keskenään. He saavat vain vastata "musta" tai "punainen", kun heiltä kysytään hatun väriä. Väärästä arvauksesta menettää henkensä, oikeasta saa takaisin vapautensa.

Minkälainen strategia miesten kannattaa valita, jotta mahdollisimman moni heistä selviää hengissä? Kuinka suuren osan heistä on mahdollista varmuudella vapautua?

Miehet keksivät strategian, jonka avulla kaikki paitsi yksi voidaan varmuudella pelastaa. Yhden kohtalo jää sattuman varaan.

Takimmaisin mies laskee kaikkien edessään olevien 29:n miehen päissä olevien punaisten hattujen määrän. Jos punaisia hattuja on parillinen määrä, hän sanoo "punainen", muuten "musta". Sanojen merkityksen miehet ovat sopineet keskenään.

Takimmaisen miehen kohtalo jäi siis sattuman varaan. Sen sijaan hänen edessään oleva jonon toiseksi viimeinen mies tietää nyt onko punaisia hattuja parillinen vai pariton määrä. Laskettuaan edessä olevien henkilöiden päissä olevat punaiset hatut hän myös tietää onko hänen oma hattunsa punainen vai musta. Hän sanoo värin ääneen ja vapautuu.

Jonon kolmanneksi viimeinen mies on kuullut molemmat aikaisemmat miehet. Hän tietää oliko punaisia hattuja aluksi parillinen vai pariton määrä ja sen lisäksi oliko hänen takanaan olevalla miehellä punainen vai musta hattu. Kun hän vielä laskee montako punaista hattua hänen edessään on, voi hän päätellä oman hattunsa värin.

Samaan tapaan jokainen jonon mies voi päätellä hattunsa värin kuulemiensa tietojen ja edessään olevien punaisten hattujen parillisuuden tai parittomuuden perusteella.

Kuningas saa jälleen pettyä, sillä korkeintaan yksi 30:stä mestataan ja hänetkin vain 50% todennäköisyydellä.

Arkiston aave

Kuvan tekijä: jono dot com. Lisenssi: CC-BY-NC-SA 2.0

Erään maan salaisten paperien arkisto on koottu maan alle valtavaan halliin. Hallissa on rivi arkistokaappeja, jotka on numeroitu yhdestä tuhanteen. Kaappeja on siis 1000 kappaletta vieri vieressä.

Kuten kaikissa sellaisissa paikoissa, on myös tässä arkistossa oma kummitus. Arkiston räyhähenki eli poltergeist on erikoistunut availemaan ja sulkemaan arkistokaappien ovia.

Eräänä yönä räyhähenki avaa kaikki 1000 kaappia. Seuraavana yönä se sulkee joka toisen kaapin alkaen toisesta kaapista. Kolmantena yönä räyhähenki aloittaa kolmannesta kaapista, käy läpi joka kolmannen kaapin, avaten suljetut ja sulkien avoimet kaapit. Neljäntenä yönä se aloittaa neljännestä kaapista, käy läpi joka neljännen kaapin avaten suljetut ja sulkien avoimet kaapit. Viidentenä yönä henki käy läpi joka viidennen samaan tapaan, kuudentena yönä joka kuudennen ja niin edelleen.

Montako kaappia on auki, kun tuhat yötä on kulunut?

Ensin kaikki kaapit ovat auki, toisena yönä joka toinen sulkeutuu. Kolmantena yönä asia mutkistuu: kolmas kaappi on auki ja sulkeutuu, mutta kuudes kaappi on kiinni ja aukeaa. Siispä ne kaapit, joiden numero on jaollinen vain 1:llä ja 3:lla, käydään toisen kerran läpi ja suljetaan. Toisaalta ne kaapit, jotka ovat jaollisia 1:llä, 2:lla ja 3:lla, käydään läpi jo kolmannen kerran ja avataan.

Tästä voi jo huomata, että sillä on merkitystä, kuinka monta tekijää kullakin numerolla on. Jos kaapin numerolla on parillinen määrä tekijöitä, tulee räyhähenki käyneeksi kaapilla parillisen määrän kertoja ja kaappi on lopuksi kiinni. Jos tekijöitä on pariton määrä, on kaappi lopuksi auki.

Mutta mitkä numerot ovat sellaisia, että niillä on pariton määrä tekijöitä? Näitä ovat mm. 1, 4, 9, 16, 25, 36 jne. Näistä voi huomata äkkiä, että ne ovat kokonaislukujen neliöitä: 1x1=1, 2x2=4, 3x3=9, 4x4=16, 5x5=25, 6x6=36 jne. Luvulla on nimittäin pariton määrä tekijöitä vain jos se on jonkin kokonaisluvun neliö. Tekijöitä esiintyy aina pareina (esim. AxB=C), paitsi kun kyseessä on neliö (esim. DxD=E).

Tältä pohjalta on helppo tarkistaa montako positiivisen kokonaisluvun neliötä löytyy luvuista 1 - 1000. Täytyy vain löytää ensimmäinen kokonaisluku, jonka neliö on suurempi kuin 1000. Kyseinen luku on 32, jonka neliö on 1024.

Toisin sanoen 31 kaappia on auki, kun räyhähenki on räyhännyt tarpeekseen.

Vettä ja viiniä

Kuvan tekijä: Gnangarra. Lisenssi: CC-BY 2.5.

Edessäsi on kaksi tynnyriä, joista toisessa on vettä ja toisessa viiniä. Molemmissa on kuitenkin täsmälleen yhtä paljon nestettä.

Viinitynnyristä otetaan litra viiniä ja kaadetaan se vesitynnyriin, jossa se sekoittuu veden kanssa. Sen jälkeen vesitynnyristä otetaan litra nestettä ja kaadetaan se viinitynnyriin. Lopuksi siis molemmissa tynnyreissä on jälleen sama määrä nestettä.

Onko nyt viinitynnyrissä enemmän vettä kuin vesitynnyrissä viiniä tai toisin päin?

Viinitynnyrissä on yhtä paljon vettä kuin vesitynnyrissä viiniä. Tämän voi todistaa laskemalla mutta asian voi myös päätellä helposti. Vesitynnyrissä on tietty määrä viiniä, joka on otettu viinitynnyristä. Jotta pinnat olisivat tasassa, on viinitynnyriin täytynyt lisätä täsmälleen sama määrä vettä.

Tässä myös visuaalinen esitys asiasta, kiitokset Juusolle. Oletetaan, että viinitynnyrissä on aluksi kolme litraa viiniä ja vesitynnyrissä kolme litraa vettä. Kuva A on lähtötilanne. Yksi neliö on neljänneslitra, joten yksi rivi kuvassa A vastaa yhtä litraa.


Kuvassa B viinitynnyristä on otettu litra ja se on kaadettu vesitynnyriin. Kuvassa C vesitynnyristä on otettu litra nestettä, joka sisälsi nyt kolme neljäsosaa vettä ja yhden neljäsosan viiniä.

Mitähän kello on?

Tutkitaan kellotaulua. Tuntiviisari on tarkalleen jonkin minuuttimerkin kohdalla ja minuuttiviisari on kuusi minuuttimerkkiä sitä edellä. Odotellaan ja tutkitaan kelloa sitten uudelleen. Nyt tuntiviisari on tarkalleen jonkin toisen minuuttimerkin kohdalla ja minuuttiviisari on seitsemän minuuttimerkkiä sitä edellä.

Kuinka paljon aikaa ehti kulua näiden kahden hetken välillä?

Kulkiessaan kellotaululla tunnin matkan käy tuntiviisari viiden minuuttimerkin kohdalla. Tuntiviisari ohittaa siis minuuttimerkin 12 minuutin välein, kun minuutit ovat 00, 12, 24, 36 ja 48. Tarkasteltavia hetkiä ovat 0:12, 0:24, 0:36, 0:48, 1:00, 1:12 jne.

Viisarien välillä on kuusi minuuttimerkkiä eroa kun kello on 1:12. Seitsemän minuuttimerkkiä eroa on kun kello on 3:24. Näiden välillä aikaa ehti siis kulua 2 tuntia 12 minuuttia.

Hattutemppu

Kaukaisessa maassa hallitsee mielipuolinen ja vallasta humaltunut kuningas. Kuninkaan tapana on ollut keksiä temppuja, joilla kiusata alamaisiaan. Tällä kertaa hän on lopen kyllästynyt kolmeen neuvonantajaansa ja päättää pistää heidät testiin.

Hän käskee heidät istumaan kolmeen tuoliin, jotka on asetettu peräkkäin jonoon. Takimmainen neuvonantaja näkee kaksi muuta, keskimmäinen näkee vain ensimmäisen ja ensimmäinen ei näe muita.

Kuningas näyttää heille viisi hattua: kaksi mustaa ja kolme valkoista. Sen jälkeen heidän silmänsä sidotaan siksi aikaa, että jotkin kolme viidestä hatusta asetetaan neuvonantajien päihin.

Kuningas antaa heille tehtävän: jonkun heistä on pystyttävä kertomaan, minkä värinen hattu hänellä on päässään. He eivät saa keskustella tai sopia keskenään mitään, eivätkä kurkistella omaa tai selän takana olevien hattuja. Ainoa asia minkä kukaan heistä saa tehdä, on sanoa ääneen oman hattunsa väri. Jos arvaus osuu oikeaan, he kaikki pääsevät vapaaksi. Jos arvaus on väärin, heidät kaikki mestataan.

Kestää puoli tuntia, jonka jälkeen jonossa ensimmäisenä oleva neuvonantaja kertoo oman hattunsa värin aivan oikein. Kuningas on pettynyt mutta vapauttaa neuvonantajansa.

Minkä värinen neuvonantajan hattu oli ja miten hän tiesi sen värin? Onnekkaasta arvauksesta ei ollut kyse.

Ensimmäinen neuvonantaja päätteli, että koska hänen takana olevat virkaveljensä eivät ole vastanneet, he eivät pysty päättelemään oman hattunsa väriä. Sen perusteella hän päätteli, että hänen hattunsa täytyy olla valkoinen. Päättelyketju on seuraava:

Takimmainen näkee kahden muun hatut. Jos ne ovat molemmat mustia, hän tietäisi heti oman hattunsa valkoiseksi ja sanoisi sen ääneen. Hän ei kuitenkaan sanonut mitään, joten keskimmäinen tietää, että takimmainen ei pysty päättelemään oman hattunsa väriä. Ensimmäisten kahden neuvonantajan hatut ovat siis joko musta ja valkoinen, valkoinen ja musta, tai valkoinen ja valkoinen.

Keskimmäinen näkee vain ensimmäisen neuvonantajan hatun. Edellisen perusteella jos hänen edessään olevalla olisi musta hattu, hänen oma hattunsa olisi väistämättä valkoinen. Mutta koska hän ei sanonut mitään, hänen edessään olevalla ensimmäisellä neuvonantajalla on oltava valkoinen hattu.

Kallis kahvihetki

Kuva: Julius Schorzman. Lisenssi: CC-BY-SA 2.0.

Kolme naista tapaa toisensa kahvilassa. Pitkän kahvihetken jälkeen on laskun maksamisen aika. Lasku on yhteensä 30 euroa, jonka he maksavat. Kahvilan omistaja huomaa heti laskuttaneensa väärin ja oikea hinta onkin 25 euroa. Omistaja antaa tarjoilijalle 5 euroa ja käskee häntä palauttamaan rahat naisille. Huonoon palkkaansa kyllästynyt tarjoilija päättää kuitenkin ottaa omatoimisesti kaksi euroa tippiä ja palauttaa naisille vain kolme euroa.

Nyt kukin naisista on maksanut 9 euroa eli yhteensä 27 euroa. Tarjoilija on pitänyt 2 euroa, joten summa on 29 euroa. Mihin ihmeeseen katosi yksi euro?

Kysymys johtaa tarkoituksella harhaan. Tarjoilijan ottamat 2 euroa ovat osa naisten maksamia 27 euroa, joten niitä ei pidä laskea yhteen. Loput 25 euroa menivät kahvilan kassaan.

Kolme lasta, mutta minkä ikäisiä?

Vierailin taannoin työtoverini kotona. Seinillä olevista kuvista selvisi, että hänellä on kolme tytärtä. Kysyin minkä ikäisiä he ovat, johon tuttavani totesi, että lasten ikien tulo on 72.

Ihmettelin tätä hetken ja kysyin sitten, voisiko hän antaa jonkin muun vihjeen. Hän hymyili ja kertoi, että lasten ikien summa on sama kuin hänen talonsa numero. En muistanut talon numeroa, joten käväisin nopeasti ulkona vilkaisemassa numerokylttiä.

Mietin taas hetken, mutta minun oli pakko myöntää, että en silti voinut päätellä vastausta. Kerroin tämän tuttavalleni, joka sanoi: "Olen pahoillani, unohdin aivan kertoa sinulle, että vanhin tyttäreni pitää erityisen paljon suklaakakusta vadelmien kanssa."

Silloin minulla oli tarpeeksi tietoa, että pystyin päättelemään kaikkien lasten iät. Kerroin ne tuttavalleni, joka myönsi minun olevan oikeassa.

Pystytkö sinä päättelemään minkä ikäisiä lapset ovat?

Luku 72 voidaan muodostaa kolmen luvun tulona näillä tavoin:
1 x 1 x 72 = 72
1 x 2 x 36 = 72
1 x 3 x 24 = 72
1 x 4 x 18 = 72
1 x 6 x 12 = 72
1 x 8 x 9 = 72
2 x 2 x 18 = 72
2 x 3 x 12 = 72
2 x 4 x 9 = 72
2 x 6 x 6 = 72
3 x 3 x 8 = 72
3 x 4 x 6 = 72

Näiden summat ovat vastaavasti:
1 + 1 + 72 = 74
1 + 2 + 36 = 39
1 + 3 + 24 = 28
1 + 4 + 18 = 23
1 + 6 + 12 = 19
1 + 8 + 9 = 18
2 + 2 + 18 = 22
2 + 3 + 12 = 17
2 + 4 + 9 = 15
2 + 6 + 6 = 14
3 + 3 + 8 = 14
3 + 4 + 6 = 13

Tästä huomataan, että vain kaksi tapausta on sellaisia, joiden summa on sama eli 14. Tämä on tärkeää, sillä vaikka tiesin tulon (72) ja summan (talon numero) en silti pystynyt päättelemään mitkä kolme lukua ovat. Vaihtoehtoja oli siis oltava useampia. Nämä kaksi vaihtoehtoa ovat 2, 6, 6, sekä 3, 3, 8.

Molemmissa tapauksissa perheessä on siis kaksoset, mutta vasta viimeinen vihje kertoo, että perheessä on vain yksi vanhin tytär. Tästä syystä oikeat iät ovat 3, 3 ja 8 vuotta.

Jalkapalloturnaus

Kuva: Manuel. Lisenssi: CC-BY-SA 2.0.

Turnaukseen osallistuu 97 jalkapallojoukkuetta. Joukkueet jaetaan pareihin, jotka pelaavat keskenään. Kunkin pelin voittaja pääsee jatkamaan seuraavalle kierrokselle, jossa joukkueet jälleen jaetaan pareihin, jotka pelaavat keskenään. Näin jatketaan kunnes voittaja on selvillä. Kuinka monta peliä täytyy pelata, jotta voittaja on selvillä?

Tämähän on periaatteessa laskutehtävä mutta vastauksen voi myös päätellä nopeasti siitä, että jokaisessa pelissä putoaa yksi joukkue ja lopuksi vain yksi joukkue on jäljellä. Siispä pelejä täytyy pelata 97 - 1 = 96.

Kävelyllä jossain päin maapalloa

Innokas sauvakävelijä lähti kävelylenkille. Hän käveli ensin kilometrin etelään, sitten kilometrin länteen ja lopuksi kilometrin pohjoiseen. Silloin hän huomasi olevansa jälleen lähtöpisteessä.

Mistä paikasta kävelijä lähti kävelylleen? Maapallolla on useita paikkoja, joissa tuollainen kävely on mahdollinen, joten yritä keksiä enemmän kuin yksi.

Helpoin vastaus on tietysti pohjoisnapa. Sen lisäksi etelänavan ympäristössä on lukemattomia paikkoja, joissa samanlainen kävelylenkki on mahdollista tehdä. Muutama esimerkki:

- Lähtöpiste on kilometri pohjoiseen mistä tahansa sellaisesta pisteestä, jossa leveyspiirin pituus on kilometri, eli maapallon akselin ympäri on kilometrin matka. Tällöin siis kävelijä kulkee ensin kilometrin etelään edellä mainittuun pisteeseen, sitten kävellessään länteen tulee kiertäneeksi maapallon, ja lopuksi kävelee pohjoiseen lähtöpisteeseensä.

- Lähtöpiste on kilometri pohjoiseen mistä tahansa sellaisesta pisteestä, jossa maapallon akselin ympäri on 500m matka. Tällöin kävelijä tulee kiertäneeksi maapallon kahdesti kävellessään länteen.

Ja niin edelleen.

Viiniruukkuja

Kuva: Ad Meskens. Lisenssi: CC-BY-SA 3.0

Elämme noin vuotta 1000 ennen ajanlaskun alkua, pienessä kylässä välimeren rannalla. Kasvatat viinirypäleitä ja tuotat erinomaista viiniä, jota myyt alueen asukkaille. Ostajat tulevat luoksesi omien ruukkujensa kanssa, joihin annostelet viiniä tynnyristä ostajan haluaman määrän.

Viinin mittaamiseen sinulla on kaksi ruukkua, joista toiseen mahtuu kolme litraa ja toiseen viisi litraa. Tänään luoksesi tulee kaksi hankalaa asiakasta, joista ensimmäinen haluaisi ostaa tarkalleen seitsemän litraa ja toinen tarkalleen neljä litraa viiniä. Miten mittaat heille oikeat määrät?

Seitsemän litraa:
Täytä ensin viiden litran ruukku ja kaada siitä kolmen litran ruukku täyteen. Kaada sitten kolmen litran ruukun sisältö takaisin tynnyriin. Kaada viiden litran ruukussa olevat kaksi litraa kolmen litran ruukkuun ja täytä sitten viiden litran ruukku. Nyt sinulla on mitattuna seitsemän litraa.

Neljä litraa:
Täytä kolmen litran ruukku ja kaada sen sisältö viiden litran ruukkuun. Sitten täytä taas kolmen litran ruukku ja kaada siitä viiden litran ruukku täyteen. Nyt kolmen litran ruukussa on jäljellä yksi litra. Tyhjennä viiden litran ruukku tynnyriin, kaada yksi litra kolmen litran ruukusta viiden litran ruukkuun ja täytä kolmen litran ruukku tynnyristä. Nyt sinulla on mitattuna neljä litraa.

Kamelikilpailu

Kuva: Flicka. Lisenssi: Creative Commons Attribution Share Alike 2.5

Vanhalla ja rikkaalla sheikillä on kaksi poikaa mutta vain yksi heistä voi periä sheikin omaisuuden. Hän on päättänyt valita perijänsä erikoisella kilpailulla: poikien tulee valita itselleen kamelit ja ratsastaa kilpaa 5 kilometrin matka aavikolla. Se, jonka kameli tulee maaliin viimeisenä, perii sheikin omaisuuden.

Kilpailu alkaa mutta koska kumpikaan pojista ei halua tulla maaliin ensimmäisenä, he jäävät hidastelemaan ja kuljeskelemaan ympäriinsä aavikolla. Kuluu monta päivää mutta kumpikaan ei luovuta. He alkavat olla jo epätoivoisia ja miettivät onko heidän isänsä keksimän kilpailun tarkoitus näännyttää heidät hengiltä.

Silloin he kohtaavat aavikolla asuvan erakon, jolle he kertovat tilanteensa. Erakko antaa heille neuvon, jonka jälkeen molemmat innostuvat, nousevat kamelien selkään ja ratsastavat kilpaa maaliin.

Minkä neuvon erakko heille antoi?

Erakko kehoitti heitä vaihtamaan kameleitaan keskenään.

Lentokoneella maapallon ympäri

Kokenut lentäjä on päättänyt lentää maapallon ympäri tekemättä yhtään välilaskua. Lentokoneen polttoainetankkiin mahtuu polttoainetta niin paljon, että sillä voi lentää puolet matkasta, siis maapallon toiselle puolelle. Lentokoneeseen voi tankata lisää polttoainetta normaalisti lentokentällä, mutta lisäksi myös ilmassa toisen koneen tankista, jolloin lentomatkaa saadaan lisää. Polttoainetta luovuttavan koneen lentomatka vastaavasti lyhenee.


Lentäjä lähtee lennolle päiväntasaajalla olevalta lentokentältä ja kiertää maapallon päiväntasaajaa pitkin. Samalla lentokentällä on myös muita täysin samanlaisia lentokoneita, jotka voivat avustaa maailmanympärilentoa. Ne lentävät samaa vauhtia ja niiden polttoainetankit ovat yhtä suuret. Kaikki lentokoneet on saatava lopuksi ehjänä lähtökentälle. Muille lentokentille ei saa laskeutua eivätkä koneet saa päästä putoamaan polttoaineen loppumisen vuoksi.

Miten lennon voi järjestää? Kuinka monta lentokonetta tarvitaan maapalloa kiertävän lentokoneen avuksi, jotta lento onnistuu? Tankkaaminen sekä kentällä että ilmassa onnistuu niin nopeasti, että sen kestosta ei tarvitse tehtävässä välittää.

Tarvitaan kaksi avustavaa lentokonetta. Ajatellaan päiväntasaaja ympyränä, jota lentokone kiertää myötäpäivään. Jaetaan ympyrän kehä kahdeksaan osaan. Merkitään lentokenttää A:lla ja pisteitä siitä eteenpäin kahdeksasosakierroksen välein kirjaimilla B-H. Kutsutaan lentäjän konetta L:ksi ja kahta avustavaa konetta X:ksi ja Y:ksi.


Ensin liikkeelle lähtevät koneet L, X ja Y. Kun on saavuttu pisteelle B eli kahdeksasosakierroksen kohdalle, täytetään L:n ja X:n tankit Y:ltä, jonka jälkeen Y:llä on vain neljäsosatankillinen jäljellä. L ja X jatkavat matkaa ja Y palaa takaisin lentokentälle.

Kun L ja X saapuvat pisteelle C, luovuttaa X neljäsosatankillisen L:lle ja lähtee paluumatkalle takaisin lentokentälle. L:llä on nyt edelleen täysi tankki, jonka avulla se voi kiertää aina pisteelle G asti. Siinä vaiheessa kun L on pisteessä E, lähtevät lentokentältä tankatut koneet X ja Y sitä vastaan vastapäivään.

Kun X ja Y ovat pisteessä H, luovuttaa Y neljäsosatankillisen X:lle. Y palaa lentokentälle ja X jatkaa pisteeseen G, jossa se kohtaa L:n. L:n tankki on juuri tyhjentymässä, mutta X luovuttaa sille neljäsosatankillisen. L ja X jatkavat kohti lentokenttää ja samaan aikaan lentokentältä lähtee tankattu Y jälleen niitä vastaan.

L, X ja Y kohtaavat pisteessä H, jossa Y luovuttaa neljäsosatankillisen sekä L:lle että X:lle. Nyt kaikilla on vähintään neljäsosatankillinen polttoainetta, jonka turvin ne pääsevät lentokentälle.

Vielä yksi väärennetty kolikko

En malta olla laittamatta edellisen punnitustehtävän perään toista vastaavaa. Jos edelliset punnitustehtävät olivat helppoja, on tässä vielä yksi hiukan vaikeampi.


Kolikoita on 12 kappaletta, joista yksi on väärennös. Sitä ei tiedetä, onko väärä raha painavampi vai kevyempi kuin muut. Väärä kolikko pitäisi löytää tasapainovaakaa käyttäen kolmella punnituksella. Samalla pitäisi selvittää onko raha kevyempi vai painavampi. Miten se onnistuu?

Merkitään kolikoita kirjaimilla A:sta M:ään.

Punnitaan ensin ABCD ja EFGH. Jos vaaka on tasapainossa, on väärä raha joukossa IJKL. Punnitaan sitten ABC ja IJK. Jos vaaka on tasapainossa, on väärä raha L, ja sen painoero selviää punnitsemalla sitä aidon rahan A kanssa. Jos ABC ja IJK olivatkin epätasapainossa, on väärä raha joukossa IJK. Tässä vaiheessa saatiin selville myös se onko väärä raha kevyempi (IJK nousee) vai painavampi (IJK painuu). Punnitaan I ja J. Jos vaaka on tasapainossa, on väärä raha K, muuten väärä raha selviää sen perusteella, mitä saatiin jo selville eli onko väärä raha kevyempi vai painavampi.

Jos vaaka oli epätasapainossa ensimmäisessä punnituksessa, on väärä raha joukossa ABCDEFGH. Paina mieleen mihin suuntaan vaaka kallistui, sillä se kertoo onko väärennös kevyempi vai painavampi aivan lopuksi, kun on selvinnyt mikä kolikoista on väärennös. IJKL ovat varmasti aitoja.

Punnitaan sitten ABCE ja DIJK, jotta saadaan lisää tietoa. Jos vaaka on tasapainossa, on väärä raha joukossa FGH, koska ne on poistettu punnituksesta. Jos vaaka kallistuu samoin kuin ensimmäisessä punnituksessa on väärä raha joukossa ABC, koska ne ovat samassa vaakakupissa kuin aluksi. Jos vaaka kallistuu eri suuntaan kuin ensimmäisellä kerralla, on väärä raha joukossa ED, koska ne on siirretty eri kuppeihin.

Jos etsitty raha on joukossa ABC, punnitaan A ja B. Jos vaaka kallistuu kuten ensimmäisellä kerralla, on väärä raha A. Jos vaaka kallistuu toiseen suuntaan, on väärä raha B. Jos vaaka on tasapainossa, on väärä raha C. Vastaavalla tavalla löytyy väärennös kolikoiden FGH joukosta.

Jos etsitty raha on joukossa ED, punnitaan A ja E. Jos vaaka on tasapainossa, on väärä raha D. Jos vaaka on epätasapainossa, on väärä raha E.

Toivottavasti ratkaisusta saa selvää eikä siihen pujahtanut virheitä. Tämä on vain yksi tapa ratkaista ongelma.

Väärennetty kolikko

Tällä kertaa etsitään väärää rahaa. Pöydällä on kahdeksan kolikkoa ja perinteinen tasapainovaaka. Yksi kolikoista on väärennös mutta se eroaa muista vain painonsa puolesta. Väärennetty kolikko on nimittäin hiukan kevyempi. Aikaa on vain vähän ja sinun olisi erotettava väärä kolikko aidoista kahdella punnituksella. Miten se onnistuu?

Entä jos kolikoita onkin kymmenen ja saat tehdä kolme punnitusta? Jotta tehtävä olisi vaikeampi, ei tällä kertaa kukaan tiedä, onko väärennetty kolikko kevyempi vai painavampi. Sinun on pystyttävä selvittämään myös se.

Ensimmäinen tehtävä on varsin helppo. Merkitään kahdeksaa kolikkoa kirjaimilla A:sta H:hon. Ensin laitetaan ensimmäiseen vaakakuppiin kolikot ABC, ja toiseen kuppiin kolikot DEF. Jos vaaka on tasapainossa, punnitaan seuraavaksi kolikot G ja H, joista kevyempi on väärennös. Jos ensimmäinen punnitus oli epätasapainossa, otetaan kevyemmältä puolelta kaksi kolikkoa ja punnitaan ne. Jos vaaka on tasapainossa, on kolmas kolikko väärennös, muussa tapauksessa tietenkin se, joka on kevyempi.

Toinen tehtävä on hieman vaikeampi. Merkitään kymmentä kolikkoa kirjaimilla A:sta J:hin. Aloitetaan laittamalla kolikot ABC yhteen kuppiin ja DEF toiseen. Sitten punnitaan kolikot ABC ja GHI.

Jos molemmat punnitukset ovat olleet tasapainossa, on J väärä raha. Punnitaan se kolikon A kanssa. Silloin selviää onko kolikko kevyempi vai painavampi.

Jos ensimmäinen punnitus oli epätasapainossa ja toinen tasapainossa, tiedetään, että väärä raha on joukossa DEF. Jos ensimmäinen ja toinen punnitus olivat epätasapainossa, tiedetään, että väärä raha on joukossa ABC. Jos ensimmäinen punnitus oli tasapainossa ja toinen epätasapainossa, on väärä raha joukossa GHI.

Tässä vaiheessa tiedetään missä kolmen joukossa väärä raha on ja onko se kevyempi tai painavampi. Punnitaan kolmesta epäilyksenalaisesta kolikosta kaksi keskenään. Jos vaaka on epätasapainossa, on väärä raha löytynyt. Jos vaaka on tasapainossa, on viimeinen vielä punnitsematon kolikko väärennös.

On olemassa vaikeampiakin vastaavia punnitustehtäviä. Niistä ehkä lisää myöhemmin.

Neljä retkeilijää sillalla

Neljä retkeilijää on lähtenyt patikoimaan metsään. Paluumatkalla ehtii jo tulla yö ja heidän olisi vielä ylitettävä yksi kiikkerä riippusilta joen yli. Sillalle voi mennä vain kaksi kerrallaan. Retkeilijöillä on mukanaan vain yksi taskulamppu, jota ilman ei sillalle ole asiaa.

Retkeilijä A:lla kuluu sillan ylitykseen 1 minuutti, B:llä 2 minuuttia, C:llä 5 minuuttia ja D:llä peräti 10 minuuttia. Kahdestaan retkeilijät kulkevat sitä nopeutta mitä hitaampi heistä uskaltaa kulkea.

Onko heidän mahdollista ylittää silta 17 minuutissa?

Ylitys onnistuu näin:
A ja B kulkevat yhdessä sillan yli (2 min), jonka jälkeen A palaa sillan yli yksin (1 min). A antaa taskulampun C:lle joka yhdessä D:n kanssa ylittää sillan (10 min). C antaa taskulampun B:lle, joka palaa sillan yli A:n luokse (2 min). A ja B kulkevat toistamiseen yhdessä sillan yli (2 min).

Kolme karkkipussia

Sinulla on kolme ruskeaa paperipussia, joissa on karkkeja. Yhdessä pussissa lukee "nallekarkkeja", toisessa "lakuja" ja kolmannessa "nallekarkkeja ja lakuja". Kaikki tekstit on kuitenkin kirjoitettu vahingossa vääriin pusseihin.

Et saa kurkistaa pusseihin, mutta saat ottaa yhdestä pussista yhden karkin. Sen perusteella sinun pitäisi korjata kaikkien pussien tekstit oikein. Onko tämä tehtävä mahdollista ratkaista?

Kyllä se onnistuu, kun muistat, että kaikkien pussien nimet ovat väärin. Ota yksi karkki pussista, jossa lukee "nallekarkkeja ja lakuja". Jos se on nallekarkki, on kyseessä oltava nallekarkkipussi. Silloin voit myös päätellä, että lakupussi on se, jossa lukee "nallekarkkeja" ja sekoituspussi on se, jossa lukee "lakuja".

Vastaavasti jos poimimasi karkki oli laku, on kyseessä lakupussi. Nallekarkkipussi on se, jossa lukee "lakuja" ja sekoituspussi on se, jossa lukee "nallekarkkeja".

Valokatkaisijat

Kuva: Paul Cutler (Creative Commons Attribution 2.0 License)

Olet huoneessa, jossa on kolme valokatkaisijaa. Tiedät, että alakerrassa olevassa toisessa huoneessa on sammutettu hehkulamppu, jonka yksi kolmesta valokatkaisijasta sytyttää ja sammuttaa. Kaksi muuta katkaisijaa eivät tee mitään.

Voit mennä alakertaan kerran, mutta et voi enää palata takaisin. Mitään muuta tapaa nähdä alakerran huoneeseen ei ole. Miten voit selvittää mikä katkaisijoista vaikuttaa lamppuun?

Entä jos katkaisijoita onkin neljä?

Kolme katkaisijaa:
Käännä katkaisija A viideksi minuutiksi päälle ja sitten pois päältä. Sen jälkeen käännä katkaisija B päälle ja mene nopeasti alakertaan. Jos lamppu on sammutettu mutta lämmin, katkaisija A kytkee lampun. Jos lamppu on sytytetty, katkaisija B kytkee lampun. Jos lamppu on sammutettu ja kylmä, katkaisija C on oikea katkaisija.

Neljä katkaisijaa:
Käännä katkaisijat A ja B päälle viideksi minuutiksi. Käännä sitten B pois päältä ja C päälle. Mene nopeasti alakertaan. Jos lamppu on sytytetty ja kuuma, oikea katkaisija on A. Jos lamppu on sytytetty mutta ei vielä kuuma, oikea katkaisija on C. Jos lamppu on lämmin ja sammutettu, oikea katkaisija on B. Jos lamppu on sammutettu ja kylmä, oikea katkaisija on D.