Pistoke aina väärin päin

Kuva: Michael Piotrowski. Lisenssi: CC-BY-SA 3.0

Erään kaapelin pistokkeessa on 7 johdinta ympyrän muodossa. Pistoke kytketään laitteen porttiin, jossa on vastaavasti 7 reikää. Koska pistoke on aivan pyöreä, sen voi kytkeä porttiin miten päin vain eli seitsemään eri asentoon.

Kaapelin toiminnan kannalta riittää, että yksi kaapelin navoista on kytketty vastaavaan portin reikään. Voiko pistokkeen ja portin navat järjestää siten, että kaapeli toimii riippumatta siitä miten päin pistoke asetetaan porttiin?

Numeroidaan pistokkeen ja portin navat yhdestä seitsemään. Yksi pistokkeen navoista osuu aina samannumeroiseen reikään asennosta riippumatta, jos portin navat ovat järjestyksessä 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 ja pistokkeen navat järjestyksessä 6, 4, 2, 7, 5, 3, 1.

Rikottu shakkilauta

Kuva: Michael Maggs. Lisenssi: CC-BY-SA 3.0.

Sinulla on tavallinen shakkilauta sekä kasa domino-nappuloita, joiden koko on sellainen, että yksi nappula peittää juuri kaksi shakkilaudan ruutua.

Dominot voi helposti asetella laudalle ruutujen päälle niin, että koko lauta peittyy. Otetaan sitten laudan kahdesta vastakkaisesta kulmasta yhdet ruudut pois. Millä tavalla dominot pitää sijoitella, että kaikki ruudut peittyvät?

Rikotun laudan täyttäminen dominoilla ei ole mahdollista. Tämä on helppo todeta, kun ottaa huomioon kaksi seikkaa:
1) Laittoi domino-nappulan miten vain, se peittää yhden valkoisen ja yhden mustan ruudun.
2) Rikotusta laudasta on poistettu kaksi samanväristä ruutua, joten laudalla ei ole saman verran valkoisia ja mustia ruutuja.

Sormukset sekaisin

Kuva: Ygor Oliveira. Lisenssi CC-BY 2.0

Sinulla on kolme arvokasta ja erilaista mutta täsmälleen samanpainoista sormusta. Olet teettänyt niistä myös halvat jäljennökset. Jäljennökset ovat aivan alkuperäisten sormusten näköisiä mutta painavat hieman vähemmän. Myös jäljennökset ovat kaikki keskenään samanpainoisia.

Nyt aidot ja jäljennökset ovat menneet sekaisin korurasiassa. Pystytkö erottamaan ne toisistaan tasapainovaa'alla, jos saat tehdä vain kaksi punnitusta?

Merkitään sormuksia kirjaimilla A1, A2, B1, B2, C1 ja C2. Laitetaan ensin yhteen vaakakuppiin korut A1+B1, toiseen vaakakuppiin A2+C1.

Jos vaaka on tasapainossa, ovat aitoja joko A1+C1 tai A2+B1. Punnitaan A1 ja A2, jolloin vaihtoehdot ovat:
- A1 on painavampi: aitoja ovat A1, B2, C1
- A2 on painavampi: aitoja ovat A2, B1, C2

Jos A1+B1 painoi ensimmäisellä punnituksella enemmän, on A1 varmasti aito. Jos myös B1 on aito, voi C1 olla aito tai jäljennös. Jos B1 on jäljennös, on C1:n oltava myös jäljennös. Punnitaan B2 ja C1, jolloin on kolme vaihtoehtoa:
- B2 on painavampi: aitoja ovat A1, B2 ja C2.
- C1 on painavampi: aitoja ovat A1, B1 ja C1.
- Vaaka on tasapainossa: aitoja ovat A1, B1 ja C2

Jos A2+C1 painoi ensimmäisellä punnituksella enemmän, on A2 varmasti aito. Jos myös C1 on aito, voi B1 olla aito tai jäljennös. Jos C1 on jäljennös, on B1:n oltava myös jäljennös. Punnitaan B2 ja C1, jolloin on kolme vaihtoehtoa:
- B2 on painavampi: aitoja ovat A2, B2 ja C2.
- C1 on painavampi: aitoja ovat A2, B1 ja C1.
- Vaaka on tasapainossa: aitoja ovat A2, B2 ja C1

Kello rikki?

Ennen lähtöäni lomamatkalle laitoin tarkan ja luotettavan kelloni oikeaan aikaan. Matkustin päivän ajan suoraan kohti etelää, jonka jälkeen huomasin, että kelloni olikin kaksi tuntia jäljessä. Laitoin kelloni taas oikeaan aikaan ja jatkoin matkaani etelään. Kuljettuani toisen päivän ajan huomasin kelloni olevan taas väärässä, mutta nyt kaksi tuntia ja vartin edellä. Korjasin kellonajan uudelleen ja jatkoin kulkemista samaan suuntaan. Pian totesin, että kelloni olikin viisitoista minuuttia edellä. Mitä oikein tapahtui?

Kellossani ei ollut mitään vikaa mutta matkallani kuljin läpi eri aikavyöhykkeitä. Lomamatkani alkoi Kazakstanissa, jossa kellonaika on UTC + 6 tuntia. Sieltä kuljin Kiinan (UTC + 8:00) halki Nepaliin (UTC + 5:45) ja sieltä edelleen Intiaan (UTC + 5:30).

Vaikka aikavyöhykkeet periaatteessa määräytyvät maapallon pituuspiirien mukaan, käytännössä vyöhykkeiden rajat kulkevat maiden rajoilla. Useimmissa maailman valtioissa on valittu käyttöön yksi aikavyöhyke, joissakin useita, ja maiden valitsemat aikavyöhykkeet eivät aina vastaa pituuspiirien mukaisia aikavyöhykkeitä. Aikavyöhykkeeltä toiselle on usein mahdollista siirtyä esim. suoraan pohjoiseen tai etelään, kuten tässä tapauksessa.

Lisäksi vierekkäisten maiden tai maan sisäisten vyöhykkeiden aikaero ei aina ole tunti, vaan voi olla esim. 15 minuuttia, 30 minuuttia, yksi, kaksi, tai kolmekin tuntia. Lisäksi tietyt maat noudattavat kesä- ja talviaikaa, ja sen sekä eri maiden vaihtelevien siirtymäpäivämäärien ja kellonaikojen johdosta voivat vierekkäisten vyöhykkeiden aikaerot vaihdella vuodenaikojen mukaan.

Norsupalloturnaus

Kuva: The Brit_2. Lisenssi: CC-BY-NC-ND 2.0

Suomen norsupallojoukkue pelaa pohjoismaisessa turnauksessa kolme peliä kahta vastustajaansa, Ruotsia ja Norjaa vastaan. Turnauksen säännöt ovat sellaiset, että joukkue voittaa koko turnauksen, jos se voittaa kaksi peräkkäistä pelaamaansa peliä. Koska Suomi on turnauksen isäntämaa, se saa sääntöjen mukaan valita vastustajiensa järjestyksen: pelaako Suomi ensin Ruotsia, sitten Norjaa ja lopuksi Ruotsia vastaan, vai ensin Norjaa, sitten Ruotsia ja lopuksi Norjaa vastaan. Ruotsi on turnauksen ennakkosuosikki.

Missä järjestyksessä Suomen kannattaa pelata Ruotsia ja Norjaa vastaan?

Helposti ajatellaan, että vaikeinta vastustajaa vastaan kannattaa pelata niin vähän pelejä kuin suinkin, eli aloittaa Norjaa vastaan, sitten pelata Ruotsia vastaan ja lopuksi Norjaa vastaan. Asia ei kuitenkaan ole niin yksinkertainen.

Suomi voittaa turnauksen, jos se voittaa kaksi ensimmäistä, kaksi viimeistä tai kaikki kolme peliä. Merkitään todennäköisyyttä voittaa Ruotsi R:llä ja todennäköisyyttä voittaa Norja N:llä. Jos aloitetaan pelaamalla Norjaa vastaan ovat voittoisat tapahtumasarjat NR(1-N), (1-N)RN ja NRN eli todennäköisyys voittaa turnaus on: NR(1-N) + (1-N)RN + NRN = NR(2-N). Jos taas aloitetaan pelaamalla Ruotsia vastaan, todennäköisyys voittaa on: RN(1-R) + (1-R)NR + RNR = NR(2-R). N > R, joten 2-R > 2-N. Todennäköisyys voittaa turnaus on siis suurempi, jos ensimmäinen peli on Ruotsia vastaan.

Koska keskimmäinen peli on pakko voittaa, on parasta valita siihen heikompi vastus. Vaikeamman vastustajan voittamiseen on sitten kaksi mahdollisuutta.

Hätäpysäytys!

Achim Hering. Public domain.

Voimalan ohjauspaneelissa on tuhansien muiden säädinten lisäksi neljä painiketta, jotka ohjaavat neljää voimalan keskeistä osajärjestelmää. Hätäpysäytystilanteessa kaikki neljä tulee kytkeä pois päältä hyvin nopeasti. Normaalisti painikkeiden vieressä olevat valot kertoisivat onko napin ohjaama osajärjestelmä päällä vai pois päältä, mutta huonon huollon vuoksi kaikki valot ovat rikki. Mistään ei siis näe mitkä painikkeista on painettu päälle ja mitkä ovat pois päältä. Kuitenkin kun kaikki osajärjestelmät on sammutettu, syttyy hätäpysäytyksen merkkivalo.

Montako painallusta korkeintaan tarvitaan, jotta voimalan saa varmasti pysäytettyä? Mikä on todennäköisyys, että voimalan saa suljettua enintään kahdella painalluksella?

Neljä painiketta voivat olla 2⁴ = 16 eri asennossa. Alkuasetelma on jokin viidestätoista vaihtoehdosta, joissa vähintään yksi osajärjestelmistä on päällä. Voimalan saa suljettua käymällä läpi kaikki vaihtoehdot Greyn koodin mukaisesti, jolloin tarvitaan korkeintaan 15 painallusta. Painelujärjestys: 1, 2, 1, 3, 1, 2, 1, 4, 1, 2, 1, 3, 1, 2, 1.

Kaikista osajärjestelmien 15 vaihtoehdosta neljä on sellaisia, että vain yksi osajärjestelmä on päällä. Oikeaan vaihtoehtoon osumisen todennäköisyys yhdellä painalluksella on 1/15. Vastaavasti kahden osajärjestelmän ollessa päällä todennäköisyys valita juuri oikeat kaksi kahdella painalluksella on 1/15. Aivan samalla tavalla on jokaisella painallusmäärällä. Todennäköisyys saada voimala suljettua enintään kahdella painalluksella on siis 2/15.

Musta ässä

Sinut on jujutettu pelaamaan uhkapeliä korteilla. Tavallinen 52 kortin korttipakka on sekoitettu hyvin. Käydään pakkaa läpi järjestyksessä yksi kortti kerrallaan. Sinun pitäisi arvata monesko kortti on ensimmäinen vastaan tuleva musta ässä. Mitä arvaisit, jotta sinulla olisi paras todennäköisyys olla oikeassa?

Kannattaa arvata, että ensimmäinen pakasta käännettävä kortti on musta ässä.

Tutkitaan kahden mustan ässän sijoittumismahdollisuuksia. Kaksi mustaa ässää voi sijoittaa pakkaan 52 x 51 / 2 = 1326 eri tavalla, kun maiden keskinäisestä järjestyksestä ei välitetä.

Muiden korttien kuin ässien järjestyksestä ei tarvitse välittää, koska ne voivat jokaisessa eri vaihtoehdossa sijoittua jäljelle jääville 50 paikalle yhtä monella eri tavalla.

Jos ensimmäinen musta ässä on pakan päällimmäisenä, voi toinen ässä sijoittua 51 eri tavalla. Jos ensimmäinen musta ässä on pakassa kymmenentenä, voi toinen ässä sijoittua 42 eri tavalla. Jos ensimmäinen musta ässä olisi vasta toiseksi viimeinen kortti, olisi toisella ässällä vain yksi mahdollinen paikka.

Tästä nähdään, että eniten on sellaisia erilaisia vaihtoehtoja, joissa musta ässä on pakassa ensimmäisenä. Todennäköisyys on kuitenkin vain 51 / 1326. Kovin suurella panoksella ei siis tätäkään vaihtoehtoa kannata veikata.

Mustasukkaisuutta

Viisi avioparia on matkalla loman viettoon saarelle. Matka mantereelta saareen kuljetaan kiikkerällä soutuveneellä. Soutuveneeseen mahtuu kerrallaan kolme henkilöä. Kaikki miehet osaavat soutaa ja myös yksi naisista. Muut neljä naista eivät missään tapauksessa suostu käymään airoihin.

Jotta saareen pääsy ei olisi aivan helppoa, ovat miehet äärimmäisen mustasukkaisia eikä kukaan heistä suostu jättämään vaimoaan muiden miesten seuraan mantereen puolelle, saareen tai veneeseen. Jokaisen naisen tulee siis olla joka hetki joko pelkästään naisseurassa tai niin, että hänen oma miehensä on seurassa mukana.

Millä tavalla koko väki pääsee saareen?

Merkitään naisia isoilla kirjaimilla A, B, C, D ja E. Miehiä merkitään pienillä kirjaimilla a, b, c, d ja e. A ja a ovat aviopari, muut vastaavasti. A on se naisista, joka suostuu soutamaan. V on vene.

Lähtö				Kohde
ABCDE	V			_____
abcde				_____
___DE			V	ABC__
abcde				_____
A__DE	V			_BC__
abcde				_____
____E			V	ABCD_
abcde				_____
A___E	V			_BCD_
abcde				_____
A___E			V	_BCD_
a___e				_bcd_
A__DE	V			_BC__
a__de				_bc__
___DE			V	ABC__
___de				abc__
__CDE	V			AB___
__cde				ab___
__CDE			V	AB___
_____				abcde
A_CDE	V			_B___
_____				abcde
____E			V	ABCD_
_____				abcde
A___E	V			_BCD_
_____				abcde
_____			V	ABCDE
_____				abcde

Ontto vai umpinainen

Kuva: SoylentGreen. Lisenssi: CC-BY-SA 3.0

Eräällä retkelläsi olet eksynyt metsään. Vastaasi tulee metsässä asuva erakko, joka lupaa neuvoa sinulle tien takaisin sivistyksen pariin, jos pystyt ratkaisemaan hänen antamansa pulman.

Erakolla on kaksi kookasta kuulaa. Toinen on ontto ja toinen täysin umpinainen. Ulkonäöltään, kooltaan ja painoltaan ne ovat kuitenkin aivan samanlaisia. Erakko lupaa neuvoa sinulle tien pois metsästä, jos pystyt kertomaan kumpi kuula on ontto ja kumpi umpinainen. Pystytkö selvittämään pulman?

Onton ja umpinaisen kuulan massat ovat jakautuneet eri tavoin. Ontossa kuulassa keskusta on tyhjä, joten massa on kauttaaltaan kauempana keskipisteestä. Sen vuoksi onton kuulan hitausmomentti on suurempi, eli sen pyörittämiseen tiettyyn nopeuteen vaaditaan enemmän voimaa kuin umpinaisen kuulan tapauksessa. Siispä jos kuulat asettaa kaltevalle tasolle ja antaa niiden vieriä samaan aikaan alas, umpinainen kuula kerää vauhtia nopeammin ja ehtii ensimmäisenä alas.

Kolikot pöydällä

public domain

Pelaat paholaisen kanssa peliä, jonka panoksena on sielusi. Istutte pyöreän pöydän ääreen ja molemmat saatte kasan samanlaisia kolikoita. Kumpikin asettaa vuorollaan pöydälle kolikon. Kolikot eivät saa olla päällekkäin, aiemmin asetettuja kolikoita ei saa siirtää, eivätkä kolikot saa pudota pöydän reunalta.

Se pelaaja häviää, joka ei enää pysty laittamaan kolikkoa pöydälle. Saat valita kumpi aloittaa pelin. Millä tavalla voit varmasti voittaa pelin?

Valitse aloitusvuoro. Aseta ensimmäinen kolikko tarkasti pöydän keskelle. Sen jälkeen paholainen asettaa oman kolikkonsa johonkin kohtaan pöytää. Aseta oma kolikkosi täsmälleen samaan kohtaan vastakkaiselle puolelle pöytää. Toimi näin joka kierroksella, eli matki paholaisen valintoja. Näin toimiessasi pöytä täyttyy kolikoista symmetrisesti ja joka vuorolla paholaisen valintaa vastaava paikka pöydän toisella puolella on varmasti vapaa sinun kolikollesi. Lopulta paholaisen eteen tulee ensimmäisenä tilanne, jossa pöydälle ei enää saa asetettua yhtään kolikkoa.

Viimeinen pallo

Kuva: ILA-boy. Lisenssi: CC-BY-SA 3.0

Astia on täytetty sinisillä ja punaisilla palloilla. Palloista 20 on sinisiä ja 14 punaisia. Palloja poimitaan kaksi kerrallaan satunnaisesti. Jos saatiin kaksi samanväristä palloa, lisätään astiaan yksi sininen pallo. Jos saatiin kaksi eriväristä palloa, lisätään astiaan punainen pallo. Näin siis joka kierroksella astiassa olevien pallojen määrä vähenee yhdellä.

Minkä värinen on viimeinen astiassa oleva pallo?

Entä minkä värinen viimeinen pallo on, jos punaisia palloja onkin aluksi 13?

Tutkitaan kaikki yhden noston tapaukset sääntöjen mukaan.
1) Kun nostetaan kaksi sinistä palloa, sinisten pallojen määrä astiassa vähenee yhdellä.
2) Kun nostetaan kaksi punaista palloa, punaisten määrä vähenee kahdella ja sinisten määrä lisääntyy yhdellä.
3) Kun nostetaan sekä sininen että punainen pallo, sinisten pallojen määrä vähenee yhdellä.

Tästä huomataan, että punaiset pallot vähenevät aina kaksi kerrallaan ja siniset pallot yksi kerrallaan. Jos punaisia palloja on 14, ei voi tulla tilannetta, jossa astiassa olisi vain yksi punainen pallo. Siispä viimeinen pallo on sininen. Mutta jos punaisia palloja onkin 13, ei astiasta missään tilanteessa saada viimeistä yksittäistä punaista palloa pois. Viimeisen pallon on siis oltava punainen.

Turkinpippurit

Kuva: str4nd. Lisenssi: CC-BY-SA 3.0

Pöydällä on kaksi kulhoa. Ensimmäisessä on 50 mustaa ja toisessa 50 valkoista karkkia. Silmäsi sidotaan ja saat poimia yhden makeisen sokkona yhdestä kulhosta. Pidät eniten mustista salmiakkikarkeista, joten yrität tietysti saada poimittua sellaisen. Ennen kun silmäsi sidotaan saat vielä tilaisuuden järjestellä karkit kulhoihin niin kuin haluat.

Miten karkit kannattaa järjestää, jotta todennäköisyys poimia sokkona musta karkki olisi suurin?

Lähtötilanteessa todennäköisyys saada musta karkki on 1/2, sillä joko valitset kulhon 1, jossa on vain mustia karkkeja (todennäköisyys saada musta karkki = 1) tai valitset kulhon 2, jossa ei ole mustia karkkeja (todennäköisyys saada musta karkki = 0).

Todennäköisyyksiä kannattaa säätää siten, että kulhosta 1 siirretään mustia karkkeja kulhoon 2. Silloin todennäköisyys saada musta karkki kulhosta 1 on edelleen 1, mutta todennäköisyys saada musta karkki kulhosta 2 nousee. Esim. jos kulhossa 2 on yksi musta karkki valkoisten lisäksi, on todennäköisyys silloin kulhon 2 osalta 1/51.

Tätä päättelyä seuraamalla huomataan, että ensimmäiseen kulhoon kannattaa jättää vain yksi musta karkki ja siirtää toiseen kulhoon kaikki loput mustat karkit valkoisten seuraksi.

Kun valitset sokkona yhden kulhon ja siitä yhden karkin, ovat vaihtoehdot seuraavat:
1) Valitset kulhon 1 ja sieltä ainoan eli mustan karkin. Tämän tapahtuman todennäköisyys on 1/2 x 1/1 = 1/2.
2) Valitset kulhon 2 ja sieltä mustan karkin. Todennäköisyys 1/2 x 49/99 = 49/198.
3) Valitset kulhon 2 ja sieltä valkoisen karkin. Todennäköisyys 1/2 x 50/99 = 50/198.

Näin ollen musta karkki sattuu sormiin todennäköisyydellä 1/2 + 49/198 = 99/198 + 49/198 = 148/198, ja valkoinen karkki puolestaan todennäköisyydellä 50/198. Todennäköisyys osua mustaan on siis melkein 3/4.

Yksi kysymys ja palkinto on sinun

Kuva: Dark Tichondries. Lisenssi: CC-BY-SA 3.0

Edessäsi on kolme laatikkoa, joista yhdessä on arvokas palkinto. Laatikot on numeroitu yhdestä kolmeen. Minä tiedän missä laatikossa palkinto on, mutta sinä et. Saat kysyä minulta yhden kysymyksen, johon vastaan kyllä tai ei, jos pystyn. Tuon yhden ainoan kysymyksen avulla sinun pitäisi voida selvittää missä laatikossa palkinto on. Minkä kysymyksen esität?

Pelkästään vastaukset "kyllä" ja "ei" eivät riitä selvittämään kolmesta vaihtoehdosta oikeaa. Siispä kysymyksen pitää olla sellainen, että siihen on kolme vastausta: "kyllä", "ei" ja hiljaisuus, jos en pysty vastaamaan kysymykseen.

Voit kysyä minulta seuraavasti: "Ajattelen joko lukua 1,5 tai 2,5. Onko palkintolaatikon numero suurempi kuin ajattelemani luku?"

Jos palkinto on laatikossa 1, vastaan "ei", ja jos palkinto on laatikossa 3, vastaan "kyllä". Jos palkinto on laatikossa 2, en voi vastata mitään, koska en tiedä onko ajattelemasi luku pienempi vai suurempi kuin 2.

Muitakin vastaavia kysymyksiä lienee mahdollista keksiä.

Laseja pöytään

Kuva: gcardinal. Lisenssi: CC-BY 2.0.

Baarissa on nelikulmainen pöytä, jonka jokaiseen nurkkaan asetetaan lasi, joko oikein päin tai ylösalaisin. Silmäsi ovat sidotut, joten et näe miten päin lasit ovat. Tehtäväsi on kääntää kaikki neljä lasia samoin päin mahdollisimman vähin yrityksin.

Joka yrityksellä voit ottaa sokkona kaksi lasia pöydästä ja valita käännätkö jomman kumman tai molemmat ympäri. Tunnustelemalla tiedät miten päin valitsemasi lasit ovat. Sen jälkeen pöytää pyöräytetään, mutta et voi tietää kuinka paljon. Sitten on taas vuorosi kääntää laseja. Avustajat kertovat, kun kaikki lasit ovat samoin päin.

Kuinka monta yritystä tarvitset, että saat varmasti kaikki lasit käännettyä samoin päin, riippumatta siitä miten pöytää pyöritetään yritysten välissä?

Tehtävän suorittamiseen vaaditaan korkeintaan viisi kierrosta. Ensin poimi kaksi vierekkäistä lasia ja käännä ne samoin päin, esim. pohja ylöspäin. Pöydän pyörityksen jälkeen valitse kaksi ristikkäin vastakkaista lasia ja käännä nekin pohja ylöspäin. Nyt varmuudella ainakin kolme neljästä lasista on pohja ylöspäin.

Toisen pyöräytyksen jälkeen ota jälleen kaksi ristikkäin vastakkaista lasia. Jos toinen niistä on pohja alaspäin, käännä se ympäri ja olet valmis. Jos molemmat olivat pohja ylöspäin, käännä toinen pohja alaspäin. Nyt pöydällä on kaksi vierekkäistä lasia pohja ylöspäin ja toiset kaksi lasia pohja alaspäin.

Seuraavan pyöräytyksen jälkeen valitse kaksi vierekkäistä lasia. Jos ne ovat samoin päin, käännä ne ympäri ja tehtävä on suoritettu. Jos lasit ovat eripäin, käännä ne silti ympäri. Nyt pöydällä on kaksi ristikkäin vastakkaista lasia pohja ylöspäin ja toiset kaksi pohja alaspäin. Neljännen pyöräytyksen jälkeen valitse kaksi ristikkäin vastakkaista lasia ja käännä ne ympäri. Nyt kaikki lasit ovat samoin päin.

Aarresaari

40 merirosvoa on haaksirikkoutunut autiolle saarelle. He huomaavat pian, että saaren keskelle on piilotettu aarre. Kaikki merirosvot ovat hyvin älykkäitä mutta itsekkäitä, täysin yhteistyökyvyttömiä, erittäin ahneita, eivätkä kaihda väkivaltaa. Jokainen heistä haluaisi aarteen itselleen. Jokainen heistä on myös valmis tappamaan sen, jolla aarre on, saadakseen sen haltuunsa. Kukaan heistä ei kuitenkaan halua kuolla ja on valmis jättämään aarteen rauhaan, jos sen omiminen johtaisi kuolemaan.

Mitä saarella tulee tapahtumaan ja miksi?

Oletetaan, että merirosvoja olisi vain yksi. Hän ottaisi aarteen heti itselleen, koska ei olisi vaarassa joutua kenenkään tappamaksi. Jos taas merirosvoja olisi kaksi ja yksi heistä ottaisi aarteen itselleen, hyökkäisi toinen heti aarteen ottajan kimppuun.
Entä jos merirosvoja on kolme? He kaikki tietävät, että jos yksi heistä ottaa aarteen haltuunsa, ei kumpikaan muista kahdesta uskalla hyökätä hänen kimppuunsa, koska lopulta saisi viimeisen merirosvon peräänsä samoin kuin kahden merirosvon tapauksessa. Yksi heistä siis ottaa nopeasti aarteen itselleen ja kaksi muuta jäävät nuolemaan näppejään.

Jos taas merirosvoja on neljä ja joku heistä nappaisi aarteen itselleen, voi joku kolmesta muusta hyökätä kimppuun tietäen, että aarteen saatuaan kaksi jäljelle jäänyttä merirosvoa eivät tekisi mitään. Siispä kukaan heistä ei yritä haalia aarretta.

Tapauksia tutkimalla käy selväksi, että aina kun merirosvoja on pariton määrä, ottaa yksi heistä aarteen itselleen ja muut eivät uskalla tehdä mitään. Jos merirosvoja on parillinen määrä, kukaan ei halua ottaa aarretta itselleen, koska sen jälkeen muilla on turvallinen tilaisuus käydä hänen kimppuunsa. Siispä kun saarella on 40 merirosvoa, kukaan heistä ei kajoa aarteeseen.

Seitsemän lamppua

4028mdk09. CC-BY-SA 3.0

Makuuhuoneen katossa palaa 7 lamppua, jotka pitäisi saada sammutettua. Lamput ovat vierekkäin siten, että ne muodostavat ympyrän. Seinällä on vastaavassa muodostelmassa 7 kytkintä. Yksi kytkin kutakin lamppua varten.

Sähköasentaja on kuitenkin tehnyt kiusaa ja yhdistänyt kytkimet siten, että kunkin kytkimen kääntäminen vaikuttaa yhden lampun lisäksi myös sen vieressä kummallakin puolella oleviin lamppuihin. Jos siis kolme vierekkäistä lamppua palaa, keskimmäisen lampun kytkimen kääntäminen sammuttaa ne kaikki. Jos taas jokin tai useampi kyseisistä kolmesta lampusta on jo sammutettu, syttyvät ne uudestaan palamaan.

Miten kaikki lamput saa pois päältä vähimmällä vaivalla? (Rikkomatta lamppuja!)

Lampun kytkimen kääntäminen kerran sammuttaa sen, toinen kerta jälleen sytyttää sen, kolmas kerta sammuttaa jne. Jokaisen lampun tilan tulee siis vaihtua 1, 3, 5 jne. kertaa eli vaihtokertoja on oltava pariton määrä lamppua kohti. Lisäksi jokaisella käännöllä kolmen lampun tila vaihtuu kerran ja lamppuja on pariton määrä. Näistä voi arvellakin, että kytkimen kääntöjä tulee olemaan pariton määrä. On myös niin, että järjestyksellä ei ole väliä, vaan samat kytkimet voi käydä läpi eri järjestyksissä, ja tulos on silti sama, koska lampun lopullisen tilan määrää vain se kuinka monta kertaa lampun tila on vaihdettu.

On helppo kokeilla, että 1, 3 tai 5 kääntöä ei riitä lamppujen sammuttamiseen. Yksinkertaisin tapa saada lamput sammuksiin onkin käydä kaikki seitsemän kytkintä läpi järjestyksessä yksitellen. Kytkin 1 kääntää lamput 7, 1 ja 2 pois päältä. Kytkin 2 kääntää lamput 1 ja 2 takaisin päälle ja lampun 3 pois päältä. Kytkin 3 kääntää lampun 2 taas pois päältä, lampun 3 takaisin päälle ja lampun 4 pois päältä. Näin edeten jokaisen lampun tila vaihtuu 3 kertaa, eli pois päältä, päälle ja pois päältä.

Kolikkopeli

Baarissa pelataan yksinkertaista uhkapeliä kolikoilla. Pelissä kaksi pelaajaa heittää kolikkoa yhtä aikaa. Pelaajan A tavoite on saada peräjälkeen kaksi kruunaa, pelaajan B tavoitteena on ensin kruuna ja sitten klaava. Heittokierroksia pelataan niin kauan kunnes toinen pelaajista voittaa. Jos molemmat saavat voittotuloksen samalla kierroksella, peli jatkuu.

Merkitään kruunaa X:llä ja klaavaa O:lla. Erilaisia yhden pelaajan kahden heiton sarjoja on siis neljä, joissa voitot menevät seuraavasti:
- XX: tällä heittosarjalla A voittaa
- XO: tällä heittosarjalla B voittaa
- OX: kumpikaan ei voita
- OO: kumpikaan ei voita

Jos osallistut peliin, onko sillä merkitystä pelaatko A:n vai B:n roolissa, eli pyritkö saamaan kaksi kruunaa vai kruunan ja klaavan?

Kahden heiton perusteella näyttäisi siltä, että molemmilla pelaajilla on yhtä hyvät mahdollisuudet, mutta kun lisätään kolmas heittokierros saadaan seuraavat kahdeksan sarjaa:
- XXX: A voittaisi
- XXO: A ja B voittaisi
- XOX: B voittaisi
- XOO: B voittaisi
- OXX: A voittaisi
- OXO: B voittaisi
- OOX: kumpikaan ei voittaisi
- OOO: kumpikaan ei voittaisi

Kaikista kolmen heiton sarjoista suosiollisia A:lle on 3, mutta B:lle 4.

Otetaan vielä esimerkiksi viiden heiton sarja, jossa on 2^5 eli 32 mahdollista heittosarjaa. B:lle epäsuotuisia vaihtoehtoja on vain 6 kpl (XXXXX, OXXXX, OOXXX, OOOXX, OOOOX ja OOOOO). B:lle suotuisia sarjoja on siis 26 kpl 32:sta.

Niitä sarjoja, jotka ovat A:lle epäsuotuisia on 13 kpl (OOOOO, OOOOX, OOOXO, OOXOO, OOXOX, OXOOO, OXOOX, OXOXO, XOOOO, XOOOX, XOOXO, XOXOO, XOXOX). Suotuisia sarjoja on siis 19 kpl 32:sta.

B:llä on siis selvästi paremmat mahdollisuudet voittaa.

Uskottomuus

Jeff Belmonte. Lisenssi CC-BY 2.0

Eräässä eristäytyneessä kylässä on vanha omalaatuinen tapa vaalia kyläläisten avioliittoja. Jos nimittäin vaimo saa tietää, että hänen miehensä on ollut uskoton, on vaimon julistettava miehensä uskottomuus koko kylälle saman päivän iltana. Mies häädetään silloin heti kylästä.

Koska kyläläiset ovat kovia juoruamaan toisensa asioista, käy aina niin, että kaikki muut tietävät pettämisestä ennen kuin asia selviää petetylle vaimolle. Aviorikoksen paljastamista petetylle vaimolle pidetään erittäin häpeällisenä, joten niin ei tehdä.

Eräänä kesänä muuan vieras vietti muutaman viikon kyläläisten keskuudessa ja tutustui heihin. Poislähtiessään hän ilmoitti kaikille, että kylässä on ollut uskottomuutta. Seitsemän päivää myöhemmin joukko naisia julisti tietävänsä, että heidän aviomiehensä ovat pettäneet heitä.

Kuinka monta miestä sai lähtöpassit kylästä tuona iltana?

Kylässä on siis vähintään yksi pettämistapaus. Oletetaan ensin, että kylässä olisi yksi uskoton mies. Petetty vaimo ei tiedä yhtäkään pettäjää, joten hän päättelee nopeasti oman miehensä olleen uskoton. Paljastuksessa kesti kuitenkin seitsemän päivää, joten uskottomia on oltava enemmän kuin yksi.

Oletetaan sitten, että kylässä olisi kaksi uskotonta miestä. Molemmat petetyt vaimot tietävät toistensa pettämistapauksista, mutta eivät omistaan. Kumpikin voi päätellä näin: "jos hän ei illalla julista miehensä uskottomuutta, hänen täytyy tietää minun mieheni olevan uskoton." Niinpä toisena päivänä molemmat vaimot julistavat oman miehensä uskottomuuden.

Jos petettyjä olisi kolme, he voisivat päätellä näin: "tiedän kaksi petettyä, joten jos he eivät huomenna julista miehiään uskottomiksi, on myös minun mieheni oltava uskoton." Kolmantena päivänä siis kolme vaimoa paljastaa miestensä uskottomuuden.

Vastaavasti myös jos petettyjä olisi 4, 5, 6 tai 7. Seitsemäntenä päivänä siis seitsemän miestä häädetään kylästä.

Punainen täplä otsassa

Leo Reynolds. CC-BY-NC-SA.

Kolme viisasten kerhon jäsentä kiistelee siitä kenellä heistä on nopeimmat hoksottimet. Kerhon puheenjohtaja sattuu kuulemaan keskustelun ja ehdottaa tapaa selvittää asia: "Sulkekaa silmänne. Maalaan jokaisen otsaan täplän, joko punaisen tai sinisen. Sitten avatkaa silmänne ja nostakaa toinen kätenne ylös, jos näette yhdenkin punaisen täplän. Nokkelin teistä on se, joka ensimmäiseksi pystyy sanomaan oman täplänsä värin."

Kaikki kolme sulkevat silmänsä ja puheenjohtaja maalaa punaisen täplän jokaisen otsaan. He avaavat silmänsä, näkevät punaiset täplät toistensa otsissa ja kaikki kolme nostavat kätensä ylös.

Hetken päästä yksi heistä sanoo, että hänen otsassaan on punainen täplä. Miten hän päätteli värin?

Merkitään kilpailijoita kirjaimilla A, B ja C. Otetaan tarkasteluun A, joka voi päätellä seuraavasti. Jos A:lla olisi sininen täplä otsassaan, voisivat B ja C helposti päätellä oman täplänsä värin. B nimittäin näkisi, että C on nostanut kätensä, mutta A:lla on sininen täplä, joten B:llä itsellään olisi oltava punainen täplä. Jos siis B tai C eivät nopeasti ilmoita oman täplänsä väriä, on selvää, että A:n täplän väri ei voi olla sininen. A:n sijasta saman päättelyn voisi tietysti tehdä myös B tai C. Nopein päättelijä voittaa.

Kello on pysähtynyt

Muuan erakko asuu kaukana sivistyksen ulkopuolella majassaan. Eräänä päivänä hän huomaa, että hän on unohtanut vetää seinäkellonsa ja se on pysähtynyt. Hänellä ei siis ole mitään tietoa oikeasta ajasta. Ajankulusta tarkka erakko päättää selvittää mitä kello on.

Erakko pitää yhteyttä muualle maailmaan vain kirjekyyhkyn avulla, joka osaa lentää läheiseen kylään erakon siskon luokse. Erakko tietää, että koulutettu kyyhky kulkee matkan suorinta reittiä ja aina yhtä nopeasti, mutta ei tiedä, kuinka kauan aikaa matkaan kuluu.

Millä tavalla erakko saa kellonsa näyttämään jälleen oikeaa aikaa?

Erakko kirjoittaa kirjekyyhkyn mukaan viestin, jossa hän pyytää siskoaan kirjoittamaan ylös kellonajan jolloin kyyhky saapui ja kellonajan jolloin kyyhky lähti takaisin. Sitten erakko vetää kellon käyntiin, kirjoittaa ylös mitä aikaa kello näyttää ja lähettää kyyhkyn matkaan. Kirhekyyhky lentää kylään, sisko tekee työtä käskettyä ja lähettää kyyhkyn takaisin.

Erakko tietää nyt mihin aikaan hänen kellonsa mukaan kyyhky lähti (A), mihin oikeaan aikaan se oli perillä (B) ja mihin aikaan lähti takaisin (C), sekä mihin aikaan hänen oman kellonsa mukaan kyyhky palasi (D). Sanotaan, että X on B:n ja C:n välinen aikaero, eli kuinka kauan aikaa kului kyyhkyn ollessa perillä siskon luona, ja Y on A:n ja D:n välinen aikaero, eli kuinka paljon aikaa kului kaiken kaikkiaan.

Y:n ja X:n erotus Z on aika, joka kyyhkyltä kului matkoihin, joten sen puolikas on yhdensuuntaiseen matkaan kulunut aika. Oikea kellonaika kyyhkyn palatessa on siis C + Z/2.