Kohti uutta aikaa

Eräällä työmatkallani kuljin yhdeltä aikavyöhykkeeltä toiselle viereiselle aikavyöhykkeelle. Jouduin siis kääntämään kelloani eteen- tai taaksepäin. Vai onko mahdollista välttyä kellon kääntämiseltä?

Kelloa ei tarvitse kääntää, jos sattuu kulkemaan aikavyöhykerajan yli tarkalleen silloin, kun kelloa käännetään matkan kohteessa vastakkaiseen suuntaan kesä- tai talviaikaan siirtymisen vuoksi. Näin voisi siis käydä matkustaessa idästä länteen kesäaikaan siirryttäessä tai lännestä itään talviaikaan siirryttäessä. Kesä- ja talviajan ero on tavallisesti tunti, joten vyöhykkeiden aikaeron on oltava sama.

Norsupalloturnaus

Kuva: The Brit_2. Lisenssi: CC-BY-NC-ND 2.0

Suomen norsupallojoukkue pelaa pohjoismaisessa turnauksessa kolme peliä kahta vastustajaansa, Ruotsia ja Norjaa vastaan. Turnauksen säännöt ovat sellaiset, että joukkue voittaa koko turnauksen, jos se voittaa kaksi peräkkäistä pelaamaansa peliä. Koska Suomi on turnauksen isäntämaa, se saa sääntöjen mukaan valita vastustajiensa järjestyksen: pelaako Suomi ensin Ruotsia, sitten Norjaa ja lopuksi Ruotsia vastaan, vai ensin Norjaa, sitten Ruotsia ja lopuksi Norjaa vastaan. Ruotsi on turnauksen ennakkosuosikki.

Missä järjestyksessä Suomen kannattaa pelata Ruotsia ja Norjaa vastaan?

Helposti ajatellaan, että vaikeinta vastustajaa vastaan kannattaa pelata niin vähän pelejä kuin suinkin, eli aloittaa Norjaa vastaan, sitten pelata Ruotsia vastaan ja lopuksi Norjaa vastaan. Asia ei kuitenkaan ole niin yksinkertainen.

Suomi voittaa turnauksen, jos se voittaa kaksi ensimmäistä, kaksi viimeistä tai kaikki kolme peliä. Merkitään todennäköisyyttä voittaa Ruotsi R:llä ja todennäköisyyttä voittaa Norja N:llä. Jos aloitetaan pelaamalla Norjaa vastaan ovat voittoisat tapahtumasarjat NR(1-N), (1-N)RN ja NRN eli todennäköisyys voittaa turnaus on: NR(1-N) + (1-N)RN + NRN = NR(2-N). Jos taas aloitetaan pelaamalla Ruotsia vastaan, todennäköisyys voittaa on: RN(1-R) + (1-R)NR + RNR = NR(2-R). N > R, joten 2-R > 2-N. Todennäköisyys voittaa turnaus on siis suurempi, jos ensimmäinen peli on Ruotsia vastaan.

Koska keskimmäinen peli on pakko voittaa, on parasta valita siihen heikompi vastus. Vaikeamman vastustajan voittamiseen on sitten kaksi mahdollisuutta.

Hätäpysäytys!

Achim Hering. Public domain.

Voimalan ohjauspaneelissa on tuhansien muiden säädinten lisäksi neljä painiketta, jotka ohjaavat neljää voimalan keskeistä osajärjestelmää. Hätäpysäytystilanteessa kaikki neljä tulee kytkeä pois päältä hyvin nopeasti. Normaalisti painikkeiden vieressä olevat valot kertoisivat onko napin ohjaama osajärjestelmä päällä vai pois päältä, mutta huonon huollon vuoksi kaikki valot ovat rikki. Mistään ei siis näe mitkä painikkeista on painettu päälle ja mitkä ovat pois päältä. Kuitenkin kun kaikki osajärjestelmät on sammutettu, syttyy hätäpysäytyksen merkkivalo.

Montako painallusta korkeintaan tarvitaan, jotta voimalan saa varmasti pysäytettyä? Mikä on todennäköisyys, että voimalan saa suljettua enintään kahdella painalluksella?

Neljä painiketta voivat olla 2⁴ = 16 eri asennossa. Alkuasetelma on jokin viidestätoista vaihtoehdosta, joissa vähintään yksi osajärjestelmistä on päällä. Voimalan saa suljettua käymällä läpi kaikki vaihtoehdot Greyn koodin mukaisesti, jolloin tarvitaan korkeintaan 15 painallusta. Painelujärjestys: 1, 2, 1, 3, 1, 2, 1, 4, 1, 2, 1, 3, 1, 2, 1.

Kaikista osajärjestelmien 15 vaihtoehdosta neljä on sellaisia, että vain yksi osajärjestelmä on päällä. Oikeaan vaihtoehtoon osumisen todennäköisyys yhdellä painalluksella on 1/15. Vastaavasti kahden osajärjestelmän ollessa päällä todennäköisyys valita juuri oikeat kaksi kahdella painalluksella on 1/15. Aivan samalla tavalla on jokaisella painallusmäärällä. Todennäköisyys saada voimala suljettua enintään kahdella painalluksella on siis 2/15.

Selviytyjät

Kuva: Cuijk. CC-BY-SA 3.0

TV-yhtiön uudessa tosi-TV-selviytymiskilpailussa kilpailijat on jaettu kolmeen joukkueeseen. Joukkueiden nimet ovat "kivi", "paperi" ja "sakset". Jos joukkue "kivi" onnistuu voittamaan viikon haastetehtävän, saavat he valita kuka joukkueesta "sakset" pudotetaan kilpailusta. Jos joukkue "sakset" voittaa, he saavat valita kuka kilpailija joukkueesta "paperi" saa lähteä kotiin. Vastaavasti joukkue "paperi" saa voittaessaan valita kuka pudotetaan joukkueesta "kivi".

Ohjelman teko on jo aloitettu, kun tuotantotiimi huomaa säännöissä vakavan ongelman. Mikä se mahtaa olla?

Yksikään joukkue ei pääse pudottamaan oman pahimman kilpailijajoukkueensa osallisia, vaan auttavat kilpailijaansa pudottamalla kolmannen joukkueen jäseniä. Siis esim. joukkue "kivi" pudottaa joukkueen "sakset" jäseniä, jotka voisivat muuten auttaa joukkueen "paperi" eliminoimisessa. Jos joukkue "kivi" onnistuu pudottamaan joukkueesta "sakset" kaikki kilpailijat, voittaa joukkue "paperi" varmasti. Näin ollen paras strategia on aina hävitä haastetehtävät. Kun kaikki huomaavat tämän, ei yksikään joukkue tee elettäkään haasteiden voittamiseksi.

Kaksosten syntymäpäivät

Kuva: MultipleParent. Lisenssi: CC-BY-SA 3.0

Eräänä päivänä nuorempi kaksospojista viettää syntymäpäiväänsä. Kaksi päivää myöhemmin hänen vanhempi veljensä juhlii omaa syntymäpäiväänsä. Miten tämä on mahdollista?

Kaksoset ovat syntyneet helmi- ja maaliskuun vaihteessa ei-karkausvuonna valtamerilaivassa, joka on matkalla länteen. Vanhempi kaksosista on syntynyt laivan kellon ollessa puoliyön ja kello yhden välillä 1. maaliskuuta. Sen jälkeen laiva on ylittänyt aikavyöhykkeen rajan länteen, jossa kello on vielä ilta yhdentoista ja kahdentoista välillä 28. helmikuuta. Karkausvuosina väliin tulee vielä 29. helmikuuta, joten silloin nuorempi kaksosista viettää syntymäpäiviään kaksi päivää vanhempaa ennen.

Musta ässä

Sinut on jujutettu pelaamaan uhkapeliä korteilla. Tavallinen 52 kortin korttipakka on sekoitettu hyvin. Käydään pakkaa läpi järjestyksessä yksi kortti kerrallaan. Sinun pitäisi arvata monesko kortti on ensimmäinen vastaan tuleva musta ässä. Mitä arvaisit, jotta sinulla olisi paras todennäköisyys olla oikeassa?

Kannattaa arvata, että ensimmäinen pakasta käännettävä kortti on musta ässä.

Tutkitaan kahden mustan ässän sijoittumismahdollisuuksia. Kaksi mustaa ässää voi sijoittaa pakkaan 52 x 51 / 2 = 1326 eri tavalla, kun maiden keskinäisestä järjestyksestä ei välitetä.

Muiden korttien kuin ässien järjestyksestä ei tarvitse välittää, koska ne voivat jokaisessa eri vaihtoehdossa sijoittua jäljelle jääville 50 paikalle yhtä monella eri tavalla.

Jos ensimmäinen musta ässä on pakan päällimmäisenä, voi toinen ässä sijoittua 51 eri tavalla. Jos ensimmäinen musta ässä on pakassa kymmenentenä, voi toinen ässä sijoittua 42 eri tavalla. Jos ensimmäinen musta ässä olisi vasta toiseksi viimeinen kortti, olisi toisella ässällä vain yksi mahdollinen paikka.

Tästä nähdään, että eniten on sellaisia erilaisia vaihtoehtoja, joissa musta ässä on pakassa ensimmäisenä. Todennäköisyys on kuitenkin vain 51 / 1326. Kovin suurella panoksella ei siis tätäkään vaihtoehtoa kannata veikata.

Ei kaikki ole kultaa

Muuan erikoinen miljonääri asettaa torilla esille joukon kultaesineitä. Ne kaikki ovat täsmälleen saman painoisia mutta eri muotoisia möhkäleitä. Kaikki esineet näyttävät ulkoisesti kullalta, mutta yksi niistä on muuta ainetta, joka painaa kultaan verrattuna gramman vähemmän kuutiosenttiä kohti. Se, joka pystyy ensiksi osoittamaan mikä esineistä ei ole kultaa, saa ne kaikki itselleen. Mikä olisi helpoin tapa selvittää tehtävä?

Sen esineen, joka on tehty kevyemmästä aineesta, täytyy olla hieman isompi kuin muut. Jos kaikki esineet upottaa yksitellen samalla vesimäärällä täytettyyn vesiastiaan, isompi esine nostaa veden pintaa enemmän kuin muut. Tässä täytyy toki olla hyvin tarkkana, koska painoero on niin pieni.

Mustasukkaisuutta

Viisi avioparia on matkalla loman viettoon saarelle. Matka mantereelta saareen kuljetaan kiikkerällä soutuveneellä. Soutuveneeseen mahtuu kerrallaan kolme henkilöä. Kaikki miehet osaavat soutaa ja myös yksi naisista. Muut neljä naista eivät missään tapauksessa suostu käymään airoihin.

Jotta saareen pääsy ei olisi aivan helppoa, ovat miehet äärimmäisen mustasukkaisia eikä kukaan heistä suostu jättämään vaimoaan muiden miesten seuraan mantereen puolelle, saareen tai veneeseen. Jokaisen naisen tulee siis olla joka hetki joko pelkästään naisseurassa tai niin, että hänen oma miehensä on seurassa mukana.

Millä tavalla koko väki pääsee saareen?

Merkitään naisia isoilla kirjaimilla A, B, C, D ja E. Miehiä merkitään pienillä kirjaimilla a, b, c, d ja e. A ja a ovat aviopari, muut vastaavasti. A on se naisista, joka suostuu soutamaan. V on vene.

Lähtö				Kohde
ABCDE	V			_____
abcde				_____
___DE			V	ABC__
abcde				_____
A__DE	V			_BC__
abcde				_____
____E			V	ABCD_
abcde				_____
A___E	V			_BCD_
abcde				_____
A___E			V	_BCD_
a___e				_bcd_
A__DE	V			_BC__
a__de				_bc__
___DE			V	ABC__
___de				abc__
__CDE	V			AB___
__cde				ab___
__CDE			V	AB___
_____				abcde
A_CDE	V			_B___
_____				abcde
____E			V	ABCD_
_____				abcde
A___E	V			_BCD_
_____				abcde
_____			V	ABCDE
_____				abcde

Sisään ja ulos

Kuva: public domain

Eräisiin juhliin on kutsuttu suurehko määrä ihmisiä. Juhlien emännällä on usein erilaisia erikoisia pakkomielteitä, niin myös tällä kertaa. Hän on päättänyt, että kerrallaan juhlahuoneistoon saa astua vain yksi vieras sisään tai tai yksi vieras ulos, ja että illan aikana on jokaisen mahdollisen vieraiden osajoukon oltava kokoontuneena juhlahuoneistoon, mutta vain kerran. Siis esimerkiksi niin, että jos vieraita olisi kolme (A, B ja C), olisi illan aikana huoneistossa oltava vierasjoukot A, B, C, AB, AC, BC ja ABC, mutta mikään niistä ei enempää kuin kerran.

Onko emännän idea mahdollinen toteuttaa, eli onko olemassa tapaa käydä läpi kaikki vierasjoukon erikokoiset osajoukot siten, että jokainen joukko on huoneessa vain kerran ja kerrallaan huoneeseen saa tuoda tai sieltä poistaa vain yhden henkilön?

Kyllä se on mahdollista. Seuraavassa yksi tapa.

Ensin esimerkiksi kahden vieraan tapaus:
A_
AB
_B

Sitten kolmen vieraan tapaus:
A__
AB_
_B_
_BC
ABC
A_C
__C

Neljän vieraan tapaus:
A___
AB__
_B__
_BC_
ABC_
A_C_
__C_
__CD
A_CD
ABCD
_BCD
_B_D
AB_D
A__D
___D

Suuremmilla vierasmäärillä käytetään samaa periaatetta. Esimerkiksi neljän vieraan tapauksessa käydään läpi kolmen vieraan ratkaisu kahdesti, kerran yhteen suuntaan ilman neljättä vierasta ja kerran toiseen suuntaan symmetrisesti neljännen vieraan kanssa. Vastaavasti viiden vieraan tapauksessa käydään neljän vieraan ratkaisu läpi kerran yhteen ja kerran toiseen suuntaan.

Tämä tapa käydä joukot läpi vastaa Greyn koodia. Lisää aiheesta Wikipediassa.

Valheen lyhyet jäljet

Kuva: public domain

Edellisessä tehtävässä arvuuteltiin kuka on kukin kolmesta veljeksestä. Yksi heistä puhuu aina totta, toinen valehtelee aina ja kolmannen puheista joka toinen virke on totta ja joka toinen valhetta.

Eräänä päivänä veljesten luokse vieras, joka haluaisi tietää, kuka veljistä on kuka. Veljistä on kuitenkin paikalla vain yksi, veli A. Tämä kertoo vieraalle seuraavasti:

"En ole se, joka puhuu aina totta.
Veljeni B ei ole se, joka valehtelee aina.
Veljeni C ei ole se, joka puhuu totta ja valehtelee vuoron perään."

Vieras päätteli heti kuka on kukin. Pystytkö sinä päättelemään saman?

A ei voi olla todenpuhuja, koska jos hän olisi, hänen ensimmäisen virkkeensä mukaan hän ei olisi todenpuhuja. Hän ei myöskään voi olla ikuinen valehtelija, koska silloin hänen ensimmäinen väitteensä tarkoittaisi, että hän olisi todenpuhuja. Koska nämä ovat molemmat ristiriitaisia väitteitä, A:n täytyy olla se, joka vuorotellen puhuu totta ja valehtelee. A:n ensimmäinen väite on siis tosi, joten seuraavan on oltava valhe ja kolmannen taas totta. B:n on siis oltava valehtelija. Jäljelle jää enää vain C, jonka on oltava todenpuhuja.

Paljastavat valheet

Kuva: public domain

Olipa kerran kolme erilaista veljestä. Yksi heistä puhuu aina totta. Toinen veli on pakonomainen valehtelija. Kolmas veljistä sairastaa harvinaista luusairautta, jonka vuoksi joka toinen hänen lausumansa virke on totta ja joka toinen valhetta.

Veljien luokse tuli vieras, joka halusi tietää kuka heistä on kukin. Veljet A, B ja C vastasivat seuraavasti:
A: Olen todenpuhuja.
B: Olen valehtelija.
C: He molemmat valehtelevat. Minä olen se, jolla on luusairaus.

Kuka on kukin?

Jos B olisi todenpuhuja, hänen olisi oman väitteensä mukaan oltava valehtelija. Hän ei siis ole todenpuhuja. Jos B olisi valehtelija, hänen väitteensä olisi totta, jolloin hän ei olisi valehtelija. B ei siis ole todenpuhuja eikä valehtelija, joten hänellä täytyy olla luusairaus ja väite on valhe.

Tästä seuraa, että C:n täytyy olla valehtelija, koska hänen toinen väitteensä on varmasti valhe, kuten on siis myös ensimmäinen väite. A on todenpuhuja, kuten sanoikin.

Ontto vai umpinainen

Kuva: SoylentGreen. Lisenssi: CC-BY-SA 3.0

Eräällä retkelläsi olet eksynyt metsään. Vastaasi tulee metsässä asuva erakko, joka lupaa neuvoa sinulle tien takaisin sivistyksen pariin, jos pystyt ratkaisemaan hänen antamansa pulman.

Erakolla on kaksi kookasta kuulaa. Toinen on ontto ja toinen täysin umpinainen. Ulkonäöltään, kooltaan ja painoltaan ne ovat kuitenkin aivan samanlaisia. Erakko lupaa neuvoa sinulle tien pois metsästä, jos pystyt kertomaan kumpi kuula on ontto ja kumpi umpinainen. Pystytkö selvittämään pulman?

Onton ja umpinaisen kuulan massat ovat jakautuneet eri tavoin. Ontossa kuulassa keskusta on tyhjä, joten massa on kauttaaltaan kauempana keskipisteestä. Sen vuoksi onton kuulan hitausmomentti on suurempi, eli sen pyörittämiseen tiettyyn nopeuteen vaaditaan enemmän voimaa kuin umpinaisen kuulan tapauksessa. Siispä jos kuulat asettaa kaltevalle tasolle ja antaa niiden vieriä samaan aikaan alas, umpinainen kuula kerää vauhtia nopeammin ja ehtii ensimmäisenä alas.

Kolmentoista kopla

VladimirZhV. Public domain.

Kolmentoista mestarivarkaan kopla on tehnyt ison jalokivikeikan. Ryöstösaalis on päätetty piilottaa erääseen kellariin kunnes tilanne rauhoittuu. Varkaat päättävät yhdessä, että jalokivet voidaan myydä sitten, kun enemmistö heistä on sitä mieltä. Jotta saalis säilyy siihen asti koskemattomana, he päättävät lukita kellarin usealla lukolla ja jakaa avaimet keskuudessaan niin, että vain enemmistö voi yhdessä avata oven. Mikä tahansa seitsemän tai useamman varkaan joukko voisi siis avata oven, mutta pienempi porukka ei. Jokaiseen lukkoon voi olla useita avaimia, mutta kukin avain sopii vain yhteen lukkoon.

Onko olemassa tapaa lukita ovi niin kuin varkaat haluaisivat?

Ainakin eräs tapa löytyy. Oveen asennetaan lukko jokaista erilaista kuuden varkaan osajoukkoa kohti ja jaetaan lukon avain muille seitsemälle varkaalle. Näin jokaisella kuuden varkaan porukalla on esteenään yksi lukko, jota he eivät saa auki. Jos heidän joukkoonsa liittyy vielä kuka tahansa yksi varas, saavat he lukon auki.

Käytännöllinen tämä tapa ei ole, sillä 13 varkaan tapauksessa erilaisia kuuden varkaan kombinaatioita on 13!/6!7! = 1716, eli oveen pitäisi asentaa 1716 lukkoa!

Kolikot pöydällä

public domain

Pelaat paholaisen kanssa peliä, jonka panoksena on sielusi. Istutte pyöreän pöydän ääreen ja molemmat saatte kasan samanlaisia kolikoita. Kumpikin asettaa vuorollaan pöydälle kolikon. Kolikot eivät saa olla päällekkäin, aiemmin asetettuja kolikoita ei saa siirtää, eivätkä kolikot saa pudota pöydän reunalta.

Se pelaaja häviää, joka ei enää pysty laittamaan kolikkoa pöydälle. Saat valita kumpi aloittaa pelin. Millä tavalla voit varmasti voittaa pelin?

Valitse aloitusvuoro. Aseta ensimmäinen kolikko tarkasti pöydän keskelle. Sen jälkeen paholainen asettaa oman kolikkonsa johonkin kohtaan pöytää. Aseta oma kolikkosi täsmälleen samaan kohtaan vastakkaiselle puolelle pöytää. Toimi näin joka kierroksella, eli matki paholaisen valintoja. Näin toimiessasi pöytä täyttyy kolikoista symmetrisesti ja joka vuorolla paholaisen valintaa vastaava paikka pöydän toisella puolella on varmasti vapaa sinun kolikollesi. Lopulta paholaisen eteen tulee ensimmäisenä tilanne, jossa pöydälle ei enää saa asetettua yhtään kolikkoa.

Viimeinen pallo

Kuva: ILA-boy. Lisenssi: CC-BY-SA 3.0

Astia on täytetty sinisillä ja punaisilla palloilla. Palloista 20 on sinisiä ja 14 punaisia. Palloja poimitaan kaksi kerrallaan satunnaisesti. Jos saatiin kaksi samanväristä palloa, lisätään astiaan yksi sininen pallo. Jos saatiin kaksi eriväristä palloa, lisätään astiaan punainen pallo. Näin siis joka kierroksella astiassa olevien pallojen määrä vähenee yhdellä.

Minkä värinen on viimeinen astiassa oleva pallo?

Entä minkä värinen viimeinen pallo on, jos punaisia palloja onkin aluksi 13?

Tutkitaan kaikki yhden noston tapaukset sääntöjen mukaan.
1) Kun nostetaan kaksi sinistä palloa, sinisten pallojen määrä astiassa vähenee yhdellä.
2) Kun nostetaan kaksi punaista palloa, punaisten määrä vähenee kahdella ja sinisten määrä lisääntyy yhdellä.
3) Kun nostetaan sekä sininen että punainen pallo, sinisten pallojen määrä vähenee yhdellä.

Tästä huomataan, että punaiset pallot vähenevät aina kaksi kerrallaan ja siniset pallot yksi kerrallaan. Jos punaisia palloja on 14, ei voi tulla tilannetta, jossa astiassa olisi vain yksi punainen pallo. Siispä viimeinen pallo on sininen. Mutta jos punaisia palloja onkin 13, ei astiasta missään tilanteessa saada viimeistä yksittäistä punaista palloa pois. Viimeisen pallon on siis oltava punainen.

Turkinpippurit

Kuva: str4nd. Lisenssi: CC-BY-SA 3.0

Pöydällä on kaksi kulhoa. Ensimmäisessä on 50 mustaa ja toisessa 50 valkoista karkkia. Silmäsi sidotaan ja saat poimia yhden makeisen sokkona yhdestä kulhosta. Pidät eniten mustista salmiakkikarkeista, joten yrität tietysti saada poimittua sellaisen. Ennen kun silmäsi sidotaan saat vielä tilaisuuden järjestellä karkit kulhoihin niin kuin haluat.

Miten karkit kannattaa järjestää, jotta todennäköisyys poimia sokkona musta karkki olisi suurin?

Lähtötilanteessa todennäköisyys saada musta karkki on 1/2, sillä joko valitset kulhon 1, jossa on vain mustia karkkeja (todennäköisyys saada musta karkki = 1) tai valitset kulhon 2, jossa ei ole mustia karkkeja (todennäköisyys saada musta karkki = 0).

Todennäköisyyksiä kannattaa säätää siten, että kulhosta 1 siirretään mustia karkkeja kulhoon 2. Silloin todennäköisyys saada musta karkki kulhosta 1 on edelleen 1, mutta todennäköisyys saada musta karkki kulhosta 2 nousee. Esim. jos kulhossa 2 on yksi musta karkki valkoisten lisäksi, on todennäköisyys silloin kulhon 2 osalta 1/51.

Tätä päättelyä seuraamalla huomataan, että ensimmäiseen kulhoon kannattaa jättää vain yksi musta karkki ja siirtää toiseen kulhoon kaikki loput mustat karkit valkoisten seuraksi.

Kun valitset sokkona yhden kulhon ja siitä yhden karkin, ovat vaihtoehdot seuraavat:
1) Valitset kulhon 1 ja sieltä ainoan eli mustan karkin. Tämän tapahtuman todennäköisyys on 1/2 x 1/1 = 1/2.
2) Valitset kulhon 2 ja sieltä mustan karkin. Todennäköisyys 1/2 x 49/99 = 49/198.
3) Valitset kulhon 2 ja sieltä valkoisen karkin. Todennäköisyys 1/2 x 50/99 = 50/198.

Näin ollen musta karkki sattuu sormiin todennäköisyydellä 1/2 + 49/198 = 99/198 + 49/198 = 148/198, ja valkoinen karkki puolestaan todennäköisyydellä 50/198. Todennäköisyys osua mustaan on siis melkein 3/4.

Summapäivät

Kuva: Kalender of Shepherdes

Kutsukaamme summapäiviksi sellaisia päivämääriä, jotka muodostavat yhteenlaskun seuraavasti: päivä + kuukausi = vuoden kaksi viimeistä numeroa. Siis esimerkiksi 1.1.2002 eli 01.01.02 on summapäivä, koska 01 + 01 = 02.

1.1.2002 on kuluvan vuosisadan ensimmäinen summapäivä, mutta mikä mahtaa olla viimeinen? Entä kuinka monta summapäivää vuosisadallamme on?

Viimeisin summapäivä löytyy helposti kun otetaan suurin päivä ja kuukausi eli 31.12. jolloin vuodeksi tulee 31 + 12 = 43. Päivämäärä on siis 31.12.2043.

Summapäivien määrä on helppo laskea, sillä jokaista kalenterivuoden päivää kohti on sadassa vuodessa yksi summapäivä. Esim. 21.05. on summapäivä vain vuonna 2026. Summapäiviä on siis vuosisadan aikana 365.

Huomaa, että karkauspäivä on syytä tarkistaa erikseen: karkauspäivän summapäivä olisi 29.02.2031, mutta vuosi 2031 ei ole karkausvuosi, joten karkauspäivälle ei löydy summapäivää lainkaan.

Yksi kysymys ja palkinto on sinun

Kuva: Dark Tichondries. Lisenssi: CC-BY-SA 3.0

Edessäsi on kolme laatikkoa, joista yhdessä on arvokas palkinto. Laatikot on numeroitu yhdestä kolmeen. Minä tiedän missä laatikossa palkinto on, mutta sinä et. Saat kysyä minulta yhden kysymyksen, johon vastaan kyllä tai ei, jos pystyn. Tuon yhden ainoan kysymyksen avulla sinun pitäisi voida selvittää missä laatikossa palkinto on. Minkä kysymyksen esität?

Pelkästään vastaukset "kyllä" ja "ei" eivät riitä selvittämään kolmesta vaihtoehdosta oikeaa. Siispä kysymyksen pitää olla sellainen, että siihen on kolme vastausta: "kyllä", "ei" ja hiljaisuus, jos en pysty vastaamaan kysymykseen.

Voit kysyä minulta seuraavasti: "Ajattelen joko lukua 1,5 tai 2,5. Onko palkintolaatikon numero suurempi kuin ajattelemani luku?"

Jos palkinto on laatikossa 1, vastaan "ei", ja jos palkinto on laatikossa 3, vastaan "kyllä". Jos palkinto on laatikossa 2, en voi vastata mitään, koska en tiedä onko ajattelemasi luku pienempi vai suurempi kuin 2.

Muitakin vastaavia kysymyksiä lienee mahdollista keksiä.

Laseja pöytään

Kuva: gcardinal. Lisenssi: CC-BY 2.0.

Baarissa on nelikulmainen pöytä, jonka jokaiseen nurkkaan asetetaan lasi, joko oikein päin tai ylösalaisin. Silmäsi ovat sidotut, joten et näe miten päin lasit ovat. Tehtäväsi on kääntää kaikki neljä lasia samoin päin mahdollisimman vähin yrityksin.

Joka yrityksellä voit ottaa sokkona kaksi lasia pöydästä ja valita käännätkö jomman kumman tai molemmat ympäri. Tunnustelemalla tiedät miten päin valitsemasi lasit ovat. Sen jälkeen pöytää pyöräytetään, mutta et voi tietää kuinka paljon. Sitten on taas vuorosi kääntää laseja. Avustajat kertovat, kun kaikki lasit ovat samoin päin.

Kuinka monta yritystä tarvitset, että saat varmasti kaikki lasit käännettyä samoin päin, riippumatta siitä miten pöytää pyöritetään yritysten välissä?

Tehtävän suorittamiseen vaaditaan korkeintaan viisi kierrosta. Ensin poimi kaksi vierekkäistä lasia ja käännä ne samoin päin, esim. pohja ylöspäin. Pöydän pyörityksen jälkeen valitse kaksi ristikkäin vastakkaista lasia ja käännä nekin pohja ylöspäin. Nyt varmuudella ainakin kolme neljästä lasista on pohja ylöspäin.

Toisen pyöräytyksen jälkeen ota jälleen kaksi ristikkäin vastakkaista lasia. Jos toinen niistä on pohja alaspäin, käännä se ympäri ja olet valmis. Jos molemmat olivat pohja ylöspäin, käännä toinen pohja alaspäin. Nyt pöydällä on kaksi vierekkäistä lasia pohja ylöspäin ja toiset kaksi lasia pohja alaspäin.

Seuraavan pyöräytyksen jälkeen valitse kaksi vierekkäistä lasia. Jos ne ovat samoin päin, käännä ne ympäri ja tehtävä on suoritettu. Jos lasit ovat eripäin, käännä ne silti ympäri. Nyt pöydällä on kaksi ristikkäin vastakkaista lasia pohja ylöspäin ja toiset kaksi pohja alaspäin. Neljännen pyöräytyksen jälkeen valitse kaksi ristikkäin vastakkaista lasia ja käännä ne ympäri. Nyt kaikki lasit ovat samoin päin.

Numeroiden numero

Kuva: Christian "VisualBeo" Horvat. Lisenssi: CC-BY-SA 3.0.

Keksitkö sellaisen "itsetietoisen" luvun, jossa on 10 numeroa, ja joka kuvaa itsensä seuraavasti:
- Ensimmäinen numero kertoo montako nollaa luvussa on
- Toinen numero kertoo montako ykköstä luvussa on
- Kolmas numero kertoo montako kakkosta luvussa on
jne.
- Kymmenes numero kertoo montako yhdeksikköä luvussa on

Ensin voi huomata, että luvun numeroiden summan tulee olla 10. Lisäksi isoja numeroita ei voi esiintyä kovin paljon eikä varsinkaan luvun loppupäässä. Esim. jos viides numero olisi 3, pitäisi luvussa olla kolme nelosta, joka tarkoittaisi, että kolmea eri numeroa pitäisi olla neljä kutakin. Voidaan arvata, että nollia on oltava melko paljon, jotta muita numeroita ei tulisi liikaa.

Aloitetaan etsiminen numerosarjasta 0000000000. Merkitään ensimmäiseksi numeroksi 9, koska silloin luvussa on yhdeksän nollaa: 9000000000. Nyt luvussa on yksi yhdeksikkö, joten merkitään sekin: 9000000001. Nythän luvussa onkin vain kahdeksan nollaa, joten korjataan se: 8000000010. Luvussa on myös ykkönen, joten lisätään sillekin lukumäärä: 8100000010. Ei täsmää, koska ykkösiä onkin jo kaksi, ja nollia on taas yksi vähemmän, siispä korjataan: 7200000100. Nyt onkin mukana myös kakkonen ja samalla ykkösten määrä väheni. Lisätään kakkosten määräksi yksi jolloin ykkösetkin taas täsmäävät: 7210000100. Melkein oikein, mutta nollia on enää kuusi, joten korjataan vielä se: 6210001000.

Baarimestarin ongelma

Frank C. Müller. CC-BY-SA 2.5

Baaritiskillä on 25 tuolia. Baarimestari haluaa, että paikat täytetään mahdollisimman tehokkaasti. Baarin asiakkaat puolestaan ovat hieman kummallista väkeä ja heitä yhdistää se, että kukaan heistä ei suostu istumaan toisen vieressä, vaan jokainen valitsee paikkansa mahdollisimman kaukaa muista.

Baarimestari voi vaikuttaa istumisjärjestykseen siten, että määrää kaksi tuolia, joista ensimmäisen asiakkaan tulee valita paikkansa. Sen jälkeen muut baariin tulevat janoiset valitsevat paikkansa itse. Kukaan ei tietenkään poistu baarista ennen sulkemisaikaa eikä vaihda paikkaa sillä välin.

Mitkä kaksi tuolia baarimestarin kannattaa määrätä ensimmäisiksi paikoiksi?

Asiakkaita voi olla korkeintaan 13, kun joka toinen tuoli on käytössä. Baarimestarin kannattaa valita tuolit 9 ja 17. Jos ensimmäinen asiakas valitsee tuolin 9, seuraava istuu paikalle 25. Seuraavat kaksi asiakasta valitsevat paikat 1 ja 17, järjestys voi olla kumpi vain. Jos ensimmäinen asiakas valitsi tuolin 17, istuu seuraava paikalle 1 ja sitä seuraavat kaksi paikoille 9 ja 25.

Tässä vaiheessa kaikki asiakkaat istuvat yhtä kaukana toisistaan ja kaikkien välissä on seitsemän tyhjää tuolia. Seuraavaksi jokaiseen väliin tulee yksi asiakas, jolloin kaikki ovat edelleen yhtä kaukana toisistaan mutta välimatka on kolme tuolia. Viimeiseksi jokaiseen näistä väleistä istuu vielä yksi asiakas.

Robotille puuhaa

Kotaro-robotti, Tokion yliopisto. Kuva: Manfred Werner. Lisenssi CC-BY-SA 3.0

Eräs keksijä oli rakentanut robotin suorittamaan yksitoikkoisia tehtäviä. Ensimmäiseksi tehtäväkseen robotti sai käännellä kolikoita. Tehtävää varten keksijä oli levittänyt huoneen lattialle satoja kolikoita. Robotin tehtävä oli seuraava: valitse lattialta satunnaisesti yksi kolikko; jos se on klaavapuoli ylöspäin, heitä se ilmaan, ja jos se on kruunapuoli ylöspäin, käännä se ympäri. Tätä tehtävää robotin tuli suorittaa kunnes se sai käskyn lopettaa.

Robotti alkoi suorittaa tehtävää. Keksijä antoi sen jatkaa muutaman tunnin ajan. Mikä oli klaavojen ja kruunien suhde tehtävän suorituksen jälkeen?

Jokaisella kierroksella robotti valitsee yhden kolikon. Jos robotti on valinnut klaavan, muuttuu se kruunaksi todennäköisyydellä 1/2 (merkitään A:lla) ja pysyy klaavana samalla todennäköisyydellä 1/2. Jos robotti on valinnut kruunan, siitä tulee klaava varmasti eli todennäköisyydella 1 (merkitään B:llä).

Oletetaan, että klaavoja ja kruunia olisi yhtä paljon. Silloin robotti valitsee yhtä todennäköisesti klaavan tai kruunan. Siispä klaava muuttuu kruunaksi todennäköisyydellä 1/2 x 1/2 = 1/4, ja kruuna klaavaksi todennäköisyydellä 1/2 x 1 = 1/2. On siis paljon todennäköisempää, että klaavojen määrä kasvaa, eli klaavoja on tehtävän jälkeen varmastikin enemmän kuin kruunia.

Kokeillaan sitten tilannetta, jossa kruunia on vain 10% kaikista kolikoista. Silloin todennäköisyys, että klaava muuttuu kruunaksi, on 9/10 x 1/2 = 9/20. Kruuna muuttuu klaavaksi todennäköisyydellä 1/10 x 1 = 1/10. Klaava muuttuu siis kruunaksi paljon todennäköisemmin.

Millä kruunien ja klaavojen suhteella todennäköisyydet ovat tasapainossa? Tämän voi jo arvatakin siitä mikä oli todennäköisyyksien A ja A+B suhde, eli 1/3. Jos kruunia on 1/3 ja klaavoja 2/3, muuttuu klaava kruunaksi todennäköisyydellä 2/3 x 1/2 = 1/3, ja kruuna klaavaksi todennäköisyydellä 1/3 x 1 = 1/3. Todennäköisyys on sama, joten klaavojen ja kruunien suhde vaihtelee hieman tämän suhteen ympärillä.

Aarresaari

40 merirosvoa on haaksirikkoutunut autiolle saarelle. He huomaavat pian, että saaren keskelle on piilotettu aarre. Kaikki merirosvot ovat hyvin älykkäitä mutta itsekkäitä, täysin yhteistyökyvyttömiä, erittäin ahneita, eivätkä kaihda väkivaltaa. Jokainen heistä haluaisi aarteen itselleen. Jokainen heistä on myös valmis tappamaan sen, jolla aarre on, saadakseen sen haltuunsa. Kukaan heistä ei kuitenkaan halua kuolla ja on valmis jättämään aarteen rauhaan, jos sen omiminen johtaisi kuolemaan.

Mitä saarella tulee tapahtumaan ja miksi?

Oletetaan, että merirosvoja olisi vain yksi. Hän ottaisi aarteen heti itselleen, koska ei olisi vaarassa joutua kenenkään tappamaksi. Jos taas merirosvoja olisi kaksi ja yksi heistä ottaisi aarteen itselleen, hyökkäisi toinen heti aarteen ottajan kimppuun.
Entä jos merirosvoja on kolme? He kaikki tietävät, että jos yksi heistä ottaa aarteen haltuunsa, ei kumpikaan muista kahdesta uskalla hyökätä hänen kimppuunsa, koska lopulta saisi viimeisen merirosvon peräänsä samoin kuin kahden merirosvon tapauksessa. Yksi heistä siis ottaa nopeasti aarteen itselleen ja kaksi muuta jäävät nuolemaan näppejään.

Jos taas merirosvoja on neljä ja joku heistä nappaisi aarteen itselleen, voi joku kolmesta muusta hyökätä kimppuun tietäen, että aarteen saatuaan kaksi jäljelle jäänyttä merirosvoa eivät tekisi mitään. Siispä kukaan heistä ei yritä haalia aarretta.

Tapauksia tutkimalla käy selväksi, että aina kun merirosvoja on pariton määrä, ottaa yksi heistä aarteen itselleen ja muut eivät uskalla tehdä mitään. Jos merirosvoja on parillinen määrä, kukaan ei halua ottaa aarretta itselleen, koska sen jälkeen muilla on turvallinen tilaisuus käydä hänen kimppuunsa. Siispä kun saarella on 40 merirosvoa, kukaan heistä ei kajoa aarteeseen.

Seitsemän lamppua

4028mdk09. CC-BY-SA 3.0

Makuuhuoneen katossa palaa 7 lamppua, jotka pitäisi saada sammutettua. Lamput ovat vierekkäin siten, että ne muodostavat ympyrän. Seinällä on vastaavassa muodostelmassa 7 kytkintä. Yksi kytkin kutakin lamppua varten.

Sähköasentaja on kuitenkin tehnyt kiusaa ja yhdistänyt kytkimet siten, että kunkin kytkimen kääntäminen vaikuttaa yhden lampun lisäksi myös sen vieressä kummallakin puolella oleviin lamppuihin. Jos siis kolme vierekkäistä lamppua palaa, keskimmäisen lampun kytkimen kääntäminen sammuttaa ne kaikki. Jos taas jokin tai useampi kyseisistä kolmesta lampusta on jo sammutettu, syttyvät ne uudestaan palamaan.

Miten kaikki lamput saa pois päältä vähimmällä vaivalla? (Rikkomatta lamppuja!)

Lampun kytkimen kääntäminen kerran sammuttaa sen, toinen kerta jälleen sytyttää sen, kolmas kerta sammuttaa jne. Jokaisen lampun tilan tulee siis vaihtua 1, 3, 5 jne. kertaa eli vaihtokertoja on oltava pariton määrä lamppua kohti. Lisäksi jokaisella käännöllä kolmen lampun tila vaihtuu kerran ja lamppuja on pariton määrä. Näistä voi arvellakin, että kytkimen kääntöjä tulee olemaan pariton määrä. On myös niin, että järjestyksellä ei ole väliä, vaan samat kytkimet voi käydä läpi eri järjestyksissä, ja tulos on silti sama, koska lampun lopullisen tilan määrää vain se kuinka monta kertaa lampun tila on vaihdettu.

On helppo kokeilla, että 1, 3 tai 5 kääntöä ei riitä lamppujen sammuttamiseen. Yksinkertaisin tapa saada lamput sammuksiin onkin käydä kaikki seitsemän kytkintä läpi järjestyksessä yksitellen. Kytkin 1 kääntää lamput 7, 1 ja 2 pois päältä. Kytkin 2 kääntää lamput 1 ja 2 takaisin päälle ja lampun 3 pois päältä. Kytkin 3 kääntää lampun 2 taas pois päältä, lampun 3 takaisin päälle ja lampun 4 pois päältä. Näin edeten jokaisen lampun tila vaihtuu 3 kertaa, eli pois päältä, päälle ja pois päältä.

Muista lääkkeet

Michelle Tribe. Lisenssi CC-BY 2.0

Lääkäri on määrännyt sinulle kahta lääkettä. Sinun olisi otettava yksi tabletti kumpaakin lääkettä kerran päivässä. Jos jätät toisen lääkkeen ottamatta tai otat usempia tabletteja kumpaa vain lääkettä, voi siitä seurata hengenvaarallinen myrkytystila.

Eräänä päivänä sattuu vahinko ja otat käteesi yhden tabletin toista lääkettä mutta kaksi tablettia toisesta lääkepurkista. Tabletit näyttävät ulkoisesti täsmälleen samalta; ne ovat valkoisia, 10 gramman painoisia, pyöreitä ja halkaisijaltaan yhden sentin kokoisia. Kädessäsi on siis kolme tablettia, joista kaksi on samaa lääkettä, mutta et pysty erottamaan lääkkeitä toisistaan.

Miten sinun kannattaa toimia, jotta voit turvallisesti syödä päivän lääkeannoksen? Lääkkeet ovat erittäin kalliita, joten yhtään tablettia ei pitäisi hukata.

Lisää sekaan vielä tabletti ensimmäisestä purkista, josta poimit aluksi vain yhden tabletin. Puolita sitten kaikki tabletit ja ota puolikas jokaisesta. Seuraavana päivänä voit ottaa loput puolikkaat.

Kolikkopeli

Baarissa pelataan yksinkertaista uhkapeliä kolikoilla. Pelissä kaksi pelaajaa heittää kolikkoa yhtä aikaa. Pelaajan A tavoite on saada peräjälkeen kaksi kruunaa, pelaajan B tavoitteena on ensin kruuna ja sitten klaava. Heittokierroksia pelataan niin kauan kunnes toinen pelaajista voittaa. Jos molemmat saavat voittotuloksen samalla kierroksella, peli jatkuu.

Merkitään kruunaa X:llä ja klaavaa O:lla. Erilaisia yhden pelaajan kahden heiton sarjoja on siis neljä, joissa voitot menevät seuraavasti:
- XX: tällä heittosarjalla A voittaa
- XO: tällä heittosarjalla B voittaa
- OX: kumpikaan ei voita
- OO: kumpikaan ei voita

Jos osallistut peliin, onko sillä merkitystä pelaatko A:n vai B:n roolissa, eli pyritkö saamaan kaksi kruunaa vai kruunan ja klaavan?

Kahden heiton perusteella näyttäisi siltä, että molemmilla pelaajilla on yhtä hyvät mahdollisuudet, mutta kun lisätään kolmas heittokierros saadaan seuraavat kahdeksan sarjaa:
- XXX: A voittaisi
- XXO: A ja B voittaisi
- XOX: B voittaisi
- XOO: B voittaisi
- OXX: A voittaisi
- OXO: B voittaisi
- OOX: kumpikaan ei voittaisi
- OOO: kumpikaan ei voittaisi

Kaikista kolmen heiton sarjoista suosiollisia A:lle on 3, mutta B:lle 4.

Otetaan vielä esimerkiksi viiden heiton sarja, jossa on 2^5 eli 32 mahdollista heittosarjaa. B:lle epäsuotuisia vaihtoehtoja on vain 6 kpl (XXXXX, OXXXX, OOXXX, OOOXX, OOOOX ja OOOOO). B:lle suotuisia sarjoja on siis 26 kpl 32:sta.

Niitä sarjoja, jotka ovat A:lle epäsuotuisia on 13 kpl (OOOOO, OOOOX, OOOXO, OOXOO, OOXOX, OXOOO, OXOOX, OXOXO, XOOOO, XOOOX, XOOXO, XOXOO, XOXOX). Suotuisia sarjoja on siis 19 kpl 32:sta.

B:llä on siis selvästi paremmat mahdollisuudet voittaa.

Uskottomuus

Jeff Belmonte. Lisenssi CC-BY 2.0

Eräässä eristäytyneessä kylässä on vanha omalaatuinen tapa vaalia kyläläisten avioliittoja. Jos nimittäin vaimo saa tietää, että hänen miehensä on ollut uskoton, on vaimon julistettava miehensä uskottomuus koko kylälle saman päivän iltana. Mies häädetään silloin heti kylästä.

Koska kyläläiset ovat kovia juoruamaan toisensa asioista, käy aina niin, että kaikki muut tietävät pettämisestä ennen kuin asia selviää petetylle vaimolle. Aviorikoksen paljastamista petetylle vaimolle pidetään erittäin häpeällisenä, joten niin ei tehdä.

Eräänä kesänä muuan vieras vietti muutaman viikon kyläläisten keskuudessa ja tutustui heihin. Poislähtiessään hän ilmoitti kaikille, että kylässä on ollut uskottomuutta. Seitsemän päivää myöhemmin joukko naisia julisti tietävänsä, että heidän aviomiehensä ovat pettäneet heitä.

Kuinka monta miestä sai lähtöpassit kylästä tuona iltana?

Kylässä on siis vähintään yksi pettämistapaus. Oletetaan ensin, että kylässä olisi yksi uskoton mies. Petetty vaimo ei tiedä yhtäkään pettäjää, joten hän päättelee nopeasti oman miehensä olleen uskoton. Paljastuksessa kesti kuitenkin seitsemän päivää, joten uskottomia on oltava enemmän kuin yksi.

Oletetaan sitten, että kylässä olisi kaksi uskotonta miestä. Molemmat petetyt vaimot tietävät toistensa pettämistapauksista, mutta eivät omistaan. Kumpikin voi päätellä näin: "jos hän ei illalla julista miehensä uskottomuutta, hänen täytyy tietää minun mieheni olevan uskoton." Niinpä toisena päivänä molemmat vaimot julistavat oman miehensä uskottomuuden.

Jos petettyjä olisi kolme, he voisivat päätellä näin: "tiedän kaksi petettyä, joten jos he eivät huomenna julista miehiään uskottomiksi, on myös minun mieheni oltava uskoton." Kolmantena päivänä siis kolme vaimoa paljastaa miestensä uskottomuuden.

Vastaavasti myös jos petettyjä olisi 4, 5, 6 tai 7. Seitsemäntenä päivänä siis seitsemän miestä häädetään kylästä.

Perintöä odotellessa

vittis m. CC-BY 2.0

Kolme veljestä kiertelee isänsä viinitilan kellarissa. He katselevat ympärillään olevia viinitynnyreitä ja pohtivat perintöään. Eräässä pienessä huoneessa on 21 viinitynnyriä, joista 7 on täynnä, 7 tyhjiä ja 7 puolillaan. Veljekset alkavat miettiä miten viinitynnyrit voisi jakaa heidän kolmen kesken tasapuolisesti niin, että jokainen saisi yhtä monta tyhjää, yhtä monta täyttä ja yhtä monta puolillaan olevaa tynnyriä. Minkäänlaisia muita astioita tai mittausvälineitä heillä ei ole. Miten jako voidaan järjestää?

He voisivat täyttää kaksi puolillaan olevaa tynnyriä kahdesta muusta puolillaan olevasta tynnyristä. Näin täysiä tynnyreitä olisi 9, tyhjiä 9 ja puolillaan olevia 3. Nämä on helppo jakaa siten, että jokainen saa 3 täyttä, 3 tyhjää ja yhden puolillaan olevan tynnyrin.

Viisasten kerho kokoontuu jälleen

ginfox. CC-BY-NC 2.0

Kerhon edellisen tapaamisen yhteydessä kolme viisasten kerhon jäsentä kiistelivät siitä, kuka heistä on älykkäin. Kerhon puheenjohtaja järjesti heille kilpailun. Kisan päätyttyä kaksi häviäjää protestoivat ja vaativat uusintaa. Puheenjohtaja suostui ja lupasi, että uusi tehtävä tulisi olemaan vaikea mutta kaikille varmasti tasapuolinen.

Puheenjohtaja pyytää kilpailijoita istumaan rinkiin, jotta jokainen näkee muut kaksi. Sitten hän hakee kaapista viisi hattua: kaksi valkoista ja kolme mustaa. Näytettyään hatut kilpailijoille hän sitoo kaikkien silmät ja asettaa kunkin päähän yhden hatun. Loput kaksi hattua hän vie takaisin kaappiin.

Kilpailijoiden tehtävänä on ilmoittaa oman hattunsa väri. Omaa hattuaan he eivät voi nähdä, mutta muiden hatut kyllä. Ennen kuin puheenjohtaja ehtii poistaa siteet kilpailijoiden silmiltä, yksi heistä ilmoittaa jo ääneen oman hattunsa värin aivan oikein.

Miten kilpailija pystyi päättelemään hattunsa värin näkemättä vielä mitään vihjeitä?

Mikäli puheenjohtaja olisi asettanut kilpailijoiden päihin kaksi valkoista hattua ja yhden mustan, olisi mustan hatun omaavalla kilpailijalla etulyöntiasema. Hän pystyisi helposti tietämään oman hattunsa mustaksi, koska hän näkee molemmat valkoiset hatut.

Jos taas puheenjohtaja olisi asettanut kilpailijoiden päihin kaksi mustaa hattua ja yhden valkoisen, voisivat mustan hatun omaavat kilpailijat päätellä hattunsa värin siitä, että toinen mustan hatun omaava ei äkkiä ilmoita tietävänsä oman hattunsa väriä, kuten kävisi edellä kuvatussa ensimmäisessä tapauksessa. Tässä tapauksessa siis valkoisen hatun omaava kilpailija olisi heikommassa asemassa.

Koska puheenjohtaja lupasi, että kilpa on kaikille kisaajille tasapuolinen, ei kumpikaan edellisistä vaihtoehdoista käy. Siispä kaikilla on oltava mustat hatut, koska vain silloin kisa on kaikille yhtä vaikea. Nokkelin kisaaja keksii tämän ensin, eikä hänen siis tarvitse edes odottaa, että näkee muiden hatut.

Punainen täplä otsassa

Leo Reynolds. CC-BY-NC-SA.

Kolme viisasten kerhon jäsentä kiistelee siitä kenellä heistä on nopeimmat hoksottimet. Kerhon puheenjohtaja sattuu kuulemaan keskustelun ja ehdottaa tapaa selvittää asia: "Sulkekaa silmänne. Maalaan jokaisen otsaan täplän, joko punaisen tai sinisen. Sitten avatkaa silmänne ja nostakaa toinen kätenne ylös, jos näette yhdenkin punaisen täplän. Nokkelin teistä on se, joka ensimmäiseksi pystyy sanomaan oman täplänsä värin."

Kaikki kolme sulkevat silmänsä ja puheenjohtaja maalaa punaisen täplän jokaisen otsaan. He avaavat silmänsä, näkevät punaiset täplät toistensa otsissa ja kaikki kolme nostavat kätensä ylös.

Hetken päästä yksi heistä sanoo, että hänen otsassaan on punainen täplä. Miten hän päätteli värin?

Merkitään kilpailijoita kirjaimilla A, B ja C. Otetaan tarkasteluun A, joka voi päätellä seuraavasti. Jos A:lla olisi sininen täplä otsassaan, voisivat B ja C helposti päätellä oman täplänsä värin. B nimittäin näkisi, että C on nostanut kätensä, mutta A:lla on sininen täplä, joten B:llä itsellään olisi oltava punainen täplä. Jos siis B tai C eivät nopeasti ilmoita oman täplänsä väriä, on selvää, että A:n täplän väri ei voi olla sininen. A:n sijasta saman päättelyn voisi tietysti tehdä myös B tai C. Nopein päättelijä voittaa.

Kello on pysähtynyt

Muuan erakko asuu kaukana sivistyksen ulkopuolella majassaan. Eräänä päivänä hän huomaa, että hän on unohtanut vetää seinäkellonsa ja se on pysähtynyt. Hänellä ei siis ole mitään tietoa oikeasta ajasta. Ajankulusta tarkka erakko päättää selvittää mitä kello on.

Erakko pitää yhteyttä muualle maailmaan vain kirjekyyhkyn avulla, joka osaa lentää läheiseen kylään erakon siskon luokse. Erakko tietää, että koulutettu kyyhky kulkee matkan suorinta reittiä ja aina yhtä nopeasti, mutta ei tiedä, kuinka kauan aikaa matkaan kuluu.

Millä tavalla erakko saa kellonsa näyttämään jälleen oikeaa aikaa?

Erakko kirjoittaa kirjekyyhkyn mukaan viestin, jossa hän pyytää siskoaan kirjoittamaan ylös kellonajan jolloin kyyhky saapui ja kellonajan jolloin kyyhky lähti takaisin. Sitten erakko vetää kellon käyntiin, kirjoittaa ylös mitä aikaa kello näyttää ja lähettää kyyhkyn matkaan. Kirhekyyhky lentää kylään, sisko tekee työtä käskettyä ja lähettää kyyhkyn takaisin.

Erakko tietää nyt mihin aikaan hänen kellonsa mukaan kyyhky lähti (A), mihin oikeaan aikaan se oli perillä (B) ja mihin aikaan lähti takaisin (C), sekä mihin aikaan hänen oman kellonsa mukaan kyyhky palasi (D). Sanotaan, että X on B:n ja C:n välinen aikaero, eli kuinka kauan aikaa kului kyyhkyn ollessa perillä siskon luona, ja Y on A:n ja D:n välinen aikaero, eli kuinka paljon aikaa kului kaiken kaikkiaan.

Y:n ja X:n erotus Z on aika, joka kyyhkyltä kului matkoihin, joten sen puolikas on yhdensuuntaiseen matkaan kulunut aika. Oikea kellonaika kyyhkyn palatessa on siis C + Z/2.

Postia aavikon yli

Tärkeä postilähetys olisi saatava vietyä hiekka-aavikon toisella puolella olevaan kylään. Aavikon ylitys kestää kuusi päivää. Postinkantaja voi ottaa mukaansa korkeintaan neljän päivän ruoka- ja juomatarpeet, mutta sen lisäksi hän voi palkata apulaisia kantamaan lisää ruokaa ja juomaa. Postinkantaja tai yksikään apulainen ei saa nääntyä aavikolle, vaan tehtävän lopuksi jokaisen on päästävä joko aavikon yli tai palattava takaisin lähtöpaikkaan.

Kuinka monta apulaista tehtävän suorittamiseen tarvitaan vähintään? Kuinka monta matkapäivää kertyy postinkantajalle ja apulaisille?

Tehtävän voi suorittaa ainakin kolmella eri tavalla. Eri tavoissa vaihtelevat apulaisten ja matkapäivien määrät.

Suoraviivaisimmalla tavalla apulaisia tarvitaan kaksi. Postinkantaja ja apulaiset pakkaavat täyden varaston ruokaa mukaansa ja lähtevät yhdessä matkaan. Päivän kuluttua yksi apulainen antaa pois kahden päivän ruokatarpeet. Hänelle jää ruokaa ja juomaa yhdeksi päiväksi, joiden turvin hän ehtii palaamaan lähtöpaikkaan. Muut jatkavat eteenpäin.

Toisen päivän kuluttua apulainen antaa yhden päivän ruokatarpeet postinkantajalle ja lähtee palaamaan lähtöpaikkaan kahden päivän ruokatarpeiden kanssa. Postinkantajalla on nyt neljän päivän matka jäljellä ja sopivasti ruokaa neljän päivän tarpeiksi. Kaikkiaan tarvittiin siis kaksi apulaista, jotka olivat matkalla 6 päivää. Yhteensä postinkantaja ja apulaiset käyttivät 12 päivää.

Kuljetus voidaan järjestää toisellakin tavalla, jos oletetaan, että kohteena olevaan kylään voi soittaa ja sopia, että sieltä lähetetään apulainen vastaan ruuan ja veden kanssa. Tässäkin tapauksessa tarvitaan kaksi apulaista, mutta heidän tarvitsee olla matkalla yhteensä vain 4 päivää. Yhteensä matkapäiviä tulee siis 10.

Postinkantaja ja yksi apulainen lähtevät yhtä aikaa matkaan. Yhden päivän kuluttua apulainen luovuttaa yhden päivän ruokatarpeet ja palaa lähtöpaikkaan. Postinkantaja jatkaa matkaa viidenteen päivään saakka, jolloin ruoka on lopussa. Neljäntenä päivänä aavikon toiselta puolelta lähtee vastaan yksi apulainen. He tapaavat viidentenä päivänä ja kulkevat yhdessä kuudennen päivän kohteeseen.

Näiden kahden tavan lisäksi on olemassa myös tapa järjestää kuljetus ilman apulaisia, mutta postinkantajalle tulee enemmän matkapäiviä. Ensin hän kulkee yhden päivän matkan aavikolle ja jättää kahden päivän ruokatarpeet sopivaan piiloon. Postinkantaja palaa lähtöpaikkaan ja aloittaa matkan uudestaan. Oletetaan, että postinkantaja pystyy aina löytämään piilottamansa ruuan. Päivän kuluttua hän ottaa piilosta yhden päivän ruokatarpeet ja jatkaa matkaa.

Toisen päivän kulkemisen jälkeen hän piilottaa jälleen kahden päivän ruokatarpeet ja palaa takaisin yhden päivän matkan ensimmäiselle ruokapiilolle. Sen turvin hän palaa takaisin lähtöpaikkaan. Kolmannella matkalla hän kulkee suoraan kahden päivän kohdalla olevalle piilolle ja täyttää sieltä ruokavarantonsa. Nyt hänellä on jäljellä olevalle neljän päivän matkalle riittävät ruokatarpeet. Kaikkiaan aikaa tehtävän suoritukseen kului 12 päivää.

Tehtävä Venuksessa

Astronautti lähetettiin Venukseen suorittamaan tehtävää. Perille pääsyn jälkeen lennonjohto antoi hänelle kaksi vaihtoehtoa. Astronautti voisi jäädä Venukseen joko yhdeksi vuorokaudeksi tai yhdeksi vuodeksi, jonka jälkeen olisi aika palata Maahan. Vuorokauden käynnistä maksettaisiin miljoonan euron palkkio, vuodesta kahden miljoonan euron palkkio. Hänellä olisi koko ajan käytössään sopiva asumus, riittävästi ruokaa ja juomaa sekä viihteeksi kirjoja ja elokuvia.

Kumpi vaihtoehto astronautin kannattaa valita ja miksi?

Venuksen pyörähdys itsensä ympäri eli vuorokausi kestää 244,3 maan vuorokautta. Venuksen kierros Auringon ympäri eli vuosi kestää 224,7 maan vuorokautta. Toisin sanoen Venuksessa vuosi on lyhyempi kuin vuorokausi mutta siitä maksetaan enemmän. Eiköhän silloin kannata valita vuoden keikka.

Marmorikuulat sekaisin

Sam Fentress. CC-BY-SA 2.0

Kauppaan oli tilattu 7 pientä pussia ja 18 isoa pussia marmorikuulia. Kuljetuksessa pussit olivat hajonneet ja kaikki 233 marmorikuulaa olivat levinneet kuljetuslaatikkoon. Kaupassa kukaan ei tiedä, montako kuulaa pienessä ja montako kuulaa isossa pussissa oli tarkoitus olla, eikä marmorikuulien ulkonäöstä pysty päättelemään minkäkokoiseen pussiin kukin kuula kuuluu.

Kaupan apulaiselle annetaan tehtäväksi pussittaa marmorikuulat uudelleen niin, että pusseihin tulee kaikkiin oikea määrä kuulia. Miten monta kuulaa hänen pitäisi laittaa pieneen pussiin ja montako isoon?

Olkoon A marmorikuulien määrä pienessä pussissa ja B isossa pussissa. Näin ollen 7 x A + 18 x B = 233.

Lisäksi tiedämme, että A:n ja B:n on oltava kokonaislukuja ja lisäksi A > 0, B > 0 ja A < B. Etsitään ison pussin kuulien lukumäärälle pienin ja suurin mahdollinen arvo. Oletetaan ensin, että A = B, jolloin 7 x B + 18 x B = 233 <=> 25 x B = 233 <=> B = 9,32. Koska B:n on oltava kokonaisluku, on pienin mahdollinen ison pussin marmorikuulien lukumäärä 10.

Oletetaan sitten, että pienessä pussissa on vain yksi kuula, eli A = 1, jolloin 7 x 1 + 18 x B = 233 <=> 18 x B = 226 <=> B = 12,555. Koska B:n on oltava kokonaisluku, on suurin mahdollinen ison pussin marmorikuulien lukumäärä 12.

Kokeilemalla B:n arvoja 10, 11 ja 12 alkuperäiseen yhtälöön saadaan pienen pussin kuulien lukumääräksi joko 7,57, 5 tai 2,42. Koska määrän on oltava kokonaisluku, on ainoa vaihtoehto se, että pienessä pussissa on 5 ja isossa 11 marmorikuulaa.

Omenoita torilla

Vanha rouva myy torilla omenoita. Omenoita on laatikoittain. Muuan kiinnostunut ohikulkija kysyi paljonko omenoita on. Rouva vastasi seuraavasti: "En osaa laskea näin suuria määriä. Tiedän kuitenkin, että jos jaan omenat kahteen yhtä suureen kasaan, jää yksi omena yli. Samoin jos jaan omenat niin, että syntyy 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 tai 10 yhtä suurta kasaa, jää aina yksi omena yli. Jos omenat jakaa yhteentoista kasaan, ei jää yhtään omenaa yli."

Kuinka paljon omenoita oli vähintään?

Omenoita oli 25 201 kappaletta.

Ensin pitäisi löytää luku, joka on jaollinen luvuilla 2 - 10, esim. 2 x 3 x 4 x 5 x 6 x 7 x 8 x 9 x 10 = 3 628 800. Etsimme kuitenkin pienintä mahdollista sellaista lukua. Se löytyy, kun kokoamme pienimmän joukon tekijöitä, joiden avulla voidaan muodostaa kaikki luvut 2 - 10. Tekijät ovat 2, 3, 5 ja 7. Näiden tekijöiden avulla saadaan pienin mahdollinen luku, joka on jaollinen luvuilla 2 - 10: 2 x 2 x 2 x 3 x 5 x 7 = 2 520. Jos tähän lukuun lisätään 1, on totta, että jakamalla lukua 2:lla, 3:lla jne. jää aina jäljelle yksi. Mutta 2 521 ei ole jaollinen yhdellätoista.

Luku 2 520 voidaan kuitenkin kertoa millä tahansa kokonaisluvulla ja se on silti jaollinen luvuilla 2 - 10. Etsitään siis pienin sellainen luvun 2 520 ja jonkin kokonaisluvun tulo, joka on jaollinen yhdellätoista. Jakolaskun 2 520 / 11 jakojäännös on 1, joten 2 520 x 2 / 11 jakojäännös on 2, 2 520 x 3 / 11 jakojäännös on 3 jne. Jakolaskun 2 520 x 10 / 11 jakojäännös on siis 10.

Tähän lukuun 25 200 kun lisätään vielä 1, se on jaollinen yhdellätoista ja jakojäännökset ovat aina 1 jaettaessa luvuilla 2 - 10.

Neljä ketjua

Anwinkle. CC-BY-SA 2.5

Asiakas tuo kultasepälle neljä lyhyttä ketjua, joista jokainen koostuu kolmesta renkaasta. Asiakas haluaisi, että kultaseppä kokoaa niistä yhden ranneketjun, jossa olisi kaikki 12 rengasta. Sepän täytyisi siis katkaista jotkin renkaat, jotta ne voidaan yhdistää. Millä tavalla kultasepän kannattaa toimia, jotta hänen tarvitsee katkaista mahdollisimman vähän renkaita?

Kultaseppä ottaa yhden kolmirenkaisen ketjun ja leikkaa jokaisen renkaan. Näiden kolmen renkaan avulla voi liittää kolme jäljellä olevaa ketjunpätkää toisiinsa.

Metsäpalo

Muuan erakko asuu eräässä vehreässä laaksossa. Laaksoa peittävät puut, joista tosin suurin osa on pystyyn kuolleita. Laakso on muodoltaan kanjonimaisen kapea, kolmen kilometrin mittainen, ja sitä ympäröivät jyrkät vuoret, joille ei ole mahdollista kiivetä. Erakon maja on aivan laakson länsipäässä. Ainoa kulkutie pois laaksosta on itäpäässä.

Eräänä päivänä tuuli puhaltaa voimakkaasti idästä. Tuulen mukana tulee savua. Majallaan puuhasteleva erakko oivaltaa heti, että laakson itäpäässä on syttynyt metsäpalo. Tuulen ansiosta tuli kulkee nopeasti kohti länttä ja polttaa kaiken tieltään.

Onko erakolla mitään keinoa selviytyä metsäpalosta? Tulirintama kulkee hänen majaansa kohti tasaista 1 km/h nopeutta, joten kolmen tunnin päästä tuli on polttanut koko laakson tuhkaksi. Erakolla ei ole mitään työkaluja tai apuvälineitä, joilla tulta voisi sammuttaa, eikä mitään muuta pakoreittiä laaksosta kuin itäpäässä oleva kulkutie.

Erakko juoksee nopeasti tulirintamaa vastaan, etsii kuivan oksan ja sytyttää sen palamaan liekeistä. Palavan oksan kanssa hän juoksee länteen ja sytyttää metsän palamaan lähellä majaansa. Tämäkin tuli leviää tuulen ansiosta länteen nopeudella 1 km/h ja polttaa koko metsän länsipään, erakon majan mukaanlukien. Kun länsipään palo alkaa jo sammua, erakko siirtyy palaneelle alueelle. Idästä lähestyvä tulirintama ei enää leviä laakson länsipäähän asti.

Yksikätinen kirurgi

Lentokone on pudonnut autiolle saarelle. Joukko matkustajia on selvinnyt pakkolaskusta. Kolme heistä on loukkaantunut vakavasti ja heidät täytyy leikata, vaikka olosuhteet ovat huonot. Matkustajien joukossa on vain yksi lääkäri, mutta hänenkin toinen kätensä on murtunut ja toisessa on vuotava haava.

Koneessa olevien tavaroiden joukosta löytyy kaksi kumikäsinettä. Hygienian vuoksi potilaiden verta ei saa kulkeutua toisten potilaiden tai lääkärin haavoihin. Millä tavalla lääkäri voi suorittaa kaikki kolme leikkausta vain kahden käsineen avulla?

Koska lääkärillä on vain yksi toimiva käsi, tarvitaan vain yksi puhdas käsine potilasta kohti. Koska potilaita on yksi enemmän kuin käsineitä, pitää käsineiden molempia puolia hyödyntää. Tämän tekee hankalaksi se, että lääkärillä itselläänkin on haava.

Lääkärin tulee laittaa ensin kaksi käsinettä päällekkäin. Ensimmäisen leikkauksen jälkeen päällimmäinen käsine vedetään pois kädestä jolloin se kääntyy samalla nurin päin. Nyt lääkäri voi suorittaa toisen leikkauksen paljastuneella alemmalla käsineellä. Kolmatta leikkausta varten lääkärin on vedettävä käteensä ensimmäinen, nurin päin kääntynyt käsine.

Ihmissyöntiä ja logiikkaa

Brewbooks. CC-BY-NC-SA 2.0

Tutkimusretkeilijä on uskaltautunut tutkimusmatkalle kartoittamattomaan viidakkoon, josta yksikään aikaisempi retkeilijä ei ole palannut. Matkallaan retkeilijä kohtaakin ihmissyöjiä, jotka ottavat hänet heti kiinni ja alkavat valmistella ateriaa. Ihmissyöjät lupaavat, että retkeilijä saa sanoa viimeiset sanansa, ennen kuin hänet syötäisiin. He antavat kaksi vaihtoehtoa: "Jos se mitä sanot on totta, paistamme sinut vartaassa, ja jos puhut epätotta, keitämme sinut padassa."

Kumpikaan vaihtoehto ei miellytä tutkimusretkeilijää. Mitä hänen kannattaa sanoa?

Viimeisinä sanoinaan tutkimusretkeilijä toteaa: "keitätte minut padassa."

Jos ihmissyöjät keittäisivät retkeilijän padassa, olisi väite totta, mutta tällöin heidän pitäisikin omien sanojensa mukaan paistaa tämä vartaassa. Jos he paistavat retkeilijän vartaassa, olisi väite epätotta, jolloin ihmissyöjien pitäisi keittää retkeilijä padassa.

Hämmentyneet ihmissyöjät päästävät tutkimusretkeilijän vapaaksi, koska eivät voi tehdä muutakaan toimimatta omia sanojaan vastaan.

Kolmintaistelu

Herra A on joutunut hankalaan liemeen: hänen täytyy osallistua kolmintaisteluun herrojen B ja C kanssa.

Kaikille on annettu samanlaiset pistoolit. Ampumisjärjestys on A, B ja C. Kukin saa ampua vuorollaan kerran. Kierroksia käydään kaksi.

Kaikkien ampujien osumistodennäköisyydet ovat tiedossa. Herra A:n tarkkuus on heikoin, vain 30% laukauksista osuu kohteeseensa. Herra B:n tarkkuus on 50% ja mestariampuja C:n 100%.

Ketä A:n kannattaa tähdätä?

Lasketaan eri tapahtumasarjojen todennäköisyydet. Mahdollisia tapahtumasarjoja on koko joukko, mutta osa voidaan unohtaa. Jos vuorossa olevalla ampujalla on vielä kaksi vastustajaa, joilla on vuorot hänen jälkeensä, hän tähtää siihen, jonka osumistodennäköisyys on suurempi, koska tämä on suurempi uhka. Esim. jos on B:n vuoro, hän ampuu mieluummin C:tä kuin A:ta, koska C:n osumistodennäköisyys on suurempi, ja B tietää, että C ajattelee samoin B:stä. Käydään läpi kaikki jäljelle jäävät vaihtoehdot.

A tähtää ensimmäisellä kierroksella B:tä. Vaihtoehtoiset tapahtumasarjat ovat seuraavat:
- A osuu B:hen -> C osuu A:han. TN = 0,30
- A ei osu B:hen -> B osuu C:hen -> A osuu B:hen. TN = 0,7 x 0,5 x 0,3 = 0,105
- A ei osu B:hen -> B osuu C:hen -> A ei osu B:hen -> B osuu A:han. TN = 0,7 x 0,5 x 0,7 x 0,5 = 0,1225
- A ei osu B:hen -> B osuu C:hen -> A ei osu B:hen -> B ei osu A:han. TN = 0,7 x 0,5 x 0,7 x 0,5 = 0,1225
- A ei osu B:hen -> B ei osu C:hen -> C osuu B:hen -> A osuu C:hen. TN = 0,7 x 0,5 x 0,3 = 0,105
- A ei osu B:hen -> B ei osu C:hen -> C osuu B:hen -> A ei osu C:hen -> C osuu A:han. TN = 0,7 x 0,5 x 0,7 = 0,245

A:n selviämisen todennäköisyys on 0,3325.

A tähtää ensimmäisellä kierroksella C:tä. Vaihtoehtoiset tapahtumasarjat ovat seuraavat:
- A osuu C:hen -> B osuu A:han. TN = 0,3 x 0,5 = 0,15
- A osuu C:hen -> B ei osu A:han -> A osuu B:hen. TN = 0,3 x 0,5 x 0,3 = 0,045
- A osuu C:hen -> B ei osu A:han -> A ei osu B:hen -> B osuu A:han. TN = 0,3 x 0,5 x 0,7 x 0,5 = 0,0525
- A osuu C:hen -> B ei osu A:han -> A ei osu B:hen -> B ei osu A:han. TN = 0,3 x 0,5 x 0,7 x 0,5 = 0,0525
- A ei osu C:hen -> B osuu C:hen -> A osuu B:hen. TN = 0,7 x 0,5 x 0,3 = 0,105
- A ei osu C:hen -> B osuu C:hen -> A ei osu B:hen -> B osuu A:hen. TN = 0,7 x 0,5 x 0,7 x 0,5 = 0,125
- A ei osu C:hen -> B osuu C:hen -> A ei osu B:hen -> B ei osu A:han. TN = 0,7 x 0,5 x 0,7 x 0,5 = 0,125
- A ei osu C:hen -> B ei osu C:hen -> C osuu B:hen -> A osuu C:hen. TN = 0,7 x 0,5 x 0,3 = 0,105
- A ei osu C:hen -> B ei osu C:hen -> C osuu B:hen -> A ei osu C:hen -> C osuu A:han. TN = 0,7 x 0,5 x 0,7 = 0,245

A:n selviämisen todennäköisyys on 0,43.

Näin ollen kannattaisi tähdätä C:hen. Mutta A:lla on vielä kolmas vaihtoehto: ampua ilmaan ensimmäisellä kierroksella.

- A ampuu ilmaan -> B osuu C:hen -> A osuu B:hen. TN = 0,5 x 0,3 = 0,15
- A ampuu ilmaan -> B osuu C:hen -> A ei osu B:hen -> B osuu A:han. TN = 0,5 x 0,7 x 0,5 = 0,175
- A ampuu ilmaan -> B osuu C:hen -> A ei osu B:hen -> B ei osu A:han. TN = 0,5 x 0,7 x 0,5 = 0,175
- A ampuu ilmaan -> B ei osu C:hen -> C osuu B:hen -> A osuu C:hen. TN = 0,5 x 0,3 = 0,15
- A ampuu ilmaan -> B ei osu C:hen -> C osuu B:hen -> A ei osu C:hen -> C osuu A:han. TN = 0,5 x 0,7 = 0,35

Ampumalla ilmaan A:n selviytymisen todennäköisyys on 0,475.

A:n kannattaa siis ampua tahallaan ohi. Ampumalla ohi ensimmäisellä kierroksella A voi antaa kahden muun selvittää välinsä. Väistämättä joko B tai C saa osuman ensimmäisellä kierroksella. Toisella kierroksella A:n on järkevää ampua sitä, joka on vielä jäljellä.

On pellettejä ja pellettejä

 

Colin Palmer. Lisenssi: CC-BY

Aiemmin kaupan apulainen sai tehtäväkseen erotella liian kevyet lasikuulat normaaleista lasikuulista. Tällä kertaa kaupan varastoon on tuotu kymmenen tynnyriä täynnä pellettejä. Osassa tynnyreistä on 1 gramman ja osassa 2 gramman painoisia pellettejä. Kukaan ei tiedä missä tynnyreissä on kevyitä ja missä painavia pellettejä.

Apulaisella on käytössään tarkka digitaalinen painovaaka. Hän saa tehtäväkseen selvittää vaa'an avulla mitkä tynnyrit sisältävät painavampia pellettejä, mutta vaakaa saa käyttää vain yhden ainoan kerran.

Millä tavalla tehtävä suoritetaan?

Aikaisemmassa tehtävässä tiedettiin, että vain yksi laatikko sisälsi eripainoisia kuulia. Tällä kertaa painavia pellettejä voi olla yhdessä tai useammassa tynnyrissä, tai ei yhdessäkään. Tynnyrit voi kuitenkin erotella toisistaan lähes samaan tapaan kuin aikaisemmin laatikot.

Merkitään tynnyrit numeroilla yhdestä kymmeneen. Poimitaan ensimmäisestä tynnyristä 1 pelletti, toisesta 2 pellettiä, kolmannesta 4, neljännestä 8, viidennestä 16 jne. Tynnyristä i otetaan siis 2^(i-1) pellettiä. Kerättyjen pellettien yhteispaino mitataan vaa'alla.

Jos kaikissa tynnyreissä olisi yhden gramman painoisia pellettejä, yhteispainoksi tulisi 1 + 2 + 4 + 8 + 16 + 32 + 64 + 128 + 256 + 512 = 1023 grammaa. Siitä miten paljon mitattu yhteispaino eroaa 1023:sta voidaan päätellä mitkä tynnyrit sisältävät painavampia pellettejä.

Binäärilukuja tunteville em. kahden potenssit ovat tuttuja. Mainituilla luvuilla on se ominaisuus, että niitä valikoiden yhteenlaskemalla voidaan muodostaa jokainen luku väliltä 1 - 1023, mutta kukin luku on mahdollista muodostaa vain yhdellä tavalla. Ongelman ratkaisuna on siis hajottaa mitattu erotus osiinsa, jolloin osat kertovat suoraan, mitkä tynnyrit sisältävät painavia pellettejä.

Esimerkiksi jos yhteispaino on 1025 grammaa, on erotus 2 grammaa, joten ainoastaan tynnyrissä kaksi oli painavampia pellettejä. Jos yhteispaino on vaikkapa 1060 on erotus 37, joka muodostuu luvuista 1 + 4 + 32, eli tynnyreissä 1, 3 ja 6 on oltava painavampia pellettejä.

Arvoituksellinen setä

Aaron Pruzaniec. Lisenssi: CC-BY

Muuan poika tapasi setänsä ensimmäisen kerran vasta seitsemän vuoden ikäisenä. Hän ei ollut koskaan nähnyt kuvaa sedästään eikä kukaan ollut kuvaillut hänelle sedän ulkonäköä. Silti poika tunnisti hänet helposti, kun he kohtasivat sattumalta. Miten se on mahdollista?

Eräänä iltana setä luki pojalle tarinaa kirjasta, kun yhtäkkiä sähkökatko sammutti valot. Setä kuitenkin jatkoi lukemistaan keskeytyksettä, vaikka huoneessa oli aivan pimeää. Miten hän näki lukea kirjaansa?

Poika tunnisti setänsä, koska hän tiesi, että hänen isänsä ja setänsä ovat identtiset kaksoset.

Setä ei nähnyt kirjaa mutta pystyi lukemaan sitä, koska hän oli sokea ja kirja oli kirjoitettu pistekirjoituksella.

Yli joen

Tässäpä todellinen pulmaklassikko: joen ylitys vuohen, suden ja kaalinpään kanssa.

Olet palaamassa kotiin retkeltä. Jostakin tuntemattomasta syystä mukanasi on kaalinpää sekä vuohi ja susi. Matkalla sinun on ylitettävä joki soutuveneellä. Kaali ja eläimet on myös tuotava mukana. Vene on kuitenkin pieni ja siihen mahtuu soutajan lisäksi vain yksi asia kerrallaan, joten edessä on useampi edestakainen soutureissu joen yli.

Vuohta ja kaalinpäätä ei voi jättää hetkeksikään kahden samalle rannalle tai vuohi pistelee kaalin poskeensa. Vastaavasti vuohta ja sutta ei voi jättää kaksin, tai susi syö vuohen.

Miten saat kuljetettua kaikki joen yli?

Ensin viedään vuohi vastarannalle ja palataan takaisin lähtörannalle. Seuraavaksi susi viedään vastarannalle, josta puolestaan otetaan vuohi kyytiin ja palautetaan lähtörannalle. Lähtörannalta veneeseen otetaan kaalinpää, joka viedään vastarannalle suden seuraksi. Lopuksi käydään vielä hakemassa vuohi.