Valheen lyhyet jäljet

Kuva: public domain

Edellisessä tehtävässä arvuuteltiin kuka on kukin kolmesta veljeksestä. Yksi heistä puhuu aina totta, toinen valehtelee aina ja kolmannen puheista joka toinen virke on totta ja joka toinen valhetta.

Eräänä päivänä veljesten luokse vieras, joka haluaisi tietää, kuka veljistä on kuka. Veljistä on kuitenkin paikalla vain yksi, veli A. Tämä kertoo vieraalle seuraavasti:

"En ole se, joka puhuu aina totta.
Veljeni B ei ole se, joka valehtelee aina.
Veljeni C ei ole se, joka puhuu totta ja valehtelee vuoron perään."

Vieras päätteli heti kuka on kukin. Pystytkö sinä päättelemään saman?

A ei voi olla todenpuhuja, koska jos hän olisi, hänen ensimmäisen virkkeensä mukaan hän ei olisi todenpuhuja. Hän ei myöskään voi olla ikuinen valehtelija, koska silloin hänen ensimmäinen väitteensä tarkoittaisi, että hän olisi todenpuhuja. Koska nämä ovat molemmat ristiriitaisia väitteitä, A:n täytyy olla se, joka vuorotellen puhuu totta ja valehtelee. A:n ensimmäinen väite on siis tosi, joten seuraavan on oltava valhe ja kolmannen taas totta. B:n on siis oltava valehtelija. Jäljelle jää enää vain C, jonka on oltava todenpuhuja.

Paljastavat valheet

Kuva: public domain

Olipa kerran kolme erilaista veljestä. Yksi heistä puhuu aina totta. Toinen veli on pakonomainen valehtelija. Kolmas veljistä sairastaa harvinaista luusairautta, jonka vuoksi joka toinen hänen lausumansa virke on totta ja joka toinen valhetta.

Veljien luokse tuli vieras, joka halusi tietää kuka heistä on kukin. Veljet A, B ja C vastasivat seuraavasti:
A: Olen todenpuhuja.
B: Olen valehtelija.
C: He molemmat valehtelevat. Minä olen se, jolla on luusairaus.

Kuka on kukin?

Jos B olisi todenpuhuja, hänen olisi oman väitteensä mukaan oltava valehtelija. Hän ei siis ole todenpuhuja. Jos B olisi valehtelija, hänen väitteensä olisi totta, jolloin hän ei olisi valehtelija. B ei siis ole todenpuhuja eikä valehtelija, joten hänellä täytyy olla luusairaus ja väite on valhe.

Tästä seuraa, että C:n täytyy olla valehtelija, koska hänen toinen väitteensä on varmasti valhe, kuten on siis myös ensimmäinen väite. A on todenpuhuja, kuten sanoikin.

Ontto vai umpinainen

Kuva: SoylentGreen. Lisenssi: CC-BY-SA 3.0

Eräällä retkelläsi olet eksynyt metsään. Vastaasi tulee metsässä asuva erakko, joka lupaa neuvoa sinulle tien takaisin sivistyksen pariin, jos pystyt ratkaisemaan hänen antamansa pulman.

Erakolla on kaksi kookasta kuulaa. Toinen on ontto ja toinen täysin umpinainen. Ulkonäöltään, kooltaan ja painoltaan ne ovat kuitenkin aivan samanlaisia. Erakko lupaa neuvoa sinulle tien pois metsästä, jos pystyt kertomaan kumpi kuula on ontto ja kumpi umpinainen. Pystytkö selvittämään pulman?

Onton ja umpinaisen kuulan massat ovat jakautuneet eri tavoin. Ontossa kuulassa keskusta on tyhjä, joten massa on kauttaaltaan kauempana keskipisteestä. Sen vuoksi onton kuulan hitausmomentti on suurempi, eli sen pyörittämiseen tiettyyn nopeuteen vaaditaan enemmän voimaa kuin umpinaisen kuulan tapauksessa. Siispä jos kuulat asettaa kaltevalle tasolle ja antaa niiden vieriä samaan aikaan alas, umpinainen kuula kerää vauhtia nopeammin ja ehtii ensimmäisenä alas.

Kolmentoista kopla

VladimirZhV. Public domain.

Kolmentoista mestarivarkaan kopla on tehnyt ison jalokivikeikan. Ryöstösaalis on päätetty piilottaa erääseen kellariin kunnes tilanne rauhoittuu. Varkaat päättävät yhdessä, että jalokivet voidaan myydä sitten, kun enemmistö heistä on sitä mieltä. Jotta saalis säilyy siihen asti koskemattomana, he päättävät lukita kellarin usealla lukolla ja jakaa avaimet keskuudessaan niin, että vain enemmistö voi yhdessä avata oven. Mikä tahansa seitsemän tai useamman varkaan joukko voisi siis avata oven, mutta pienempi porukka ei. Jokaiseen lukkoon voi olla useita avaimia, mutta kukin avain sopii vain yhteen lukkoon.

Onko olemassa tapaa lukita ovi niin kuin varkaat haluaisivat?

Ainakin eräs tapa löytyy. Oveen asennetaan lukko jokaista erilaista kuuden varkaan osajoukkoa kohti ja jaetaan lukon avain muille seitsemälle varkaalle. Näin jokaisella kuuden varkaan porukalla on esteenään yksi lukko, jota he eivät saa auki. Jos heidän joukkoonsa liittyy vielä kuka tahansa yksi varas, saavat he lukon auki.

Käytännöllinen tämä tapa ei ole, sillä 13 varkaan tapauksessa erilaisia kuuden varkaan kombinaatioita on 13!/6!7! = 1716, eli oveen pitäisi asentaa 1716 lukkoa!