Kolmintaistelu

Herra A on joutunut hankalaan liemeen: hänen täytyy osallistua kolmintaisteluun herrojen B ja C kanssa.

Kaikille on annettu samanlaiset pistoolit. Ampumisjärjestys on A, B ja C. Kukin saa ampua vuorollaan kerran. Kierroksia käydään kaksi.

Kaikkien ampujien osumistodennäköisyydet ovat tiedossa. Herra A:n tarkkuus on heikoin, vain 30% laukauksista osuu kohteeseensa. Herra B:n tarkkuus on 50% ja mestariampuja C:n 100%.

Ketä A:n kannattaa tähdätä?

Lasketaan eri tapahtumasarjojen todennäköisyydet. Mahdollisia tapahtumasarjoja on koko joukko, mutta osa voidaan unohtaa. Jos vuorossa olevalla ampujalla on vielä kaksi vastustajaa, joilla on vuorot hänen jälkeensä, hän tähtää siihen, jonka osumistodennäköisyys on suurempi, koska tämä on suurempi uhka. Esim. jos on B:n vuoro, hän ampuu mieluummin C:tä kuin A:ta, koska C:n osumistodennäköisyys on suurempi, ja B tietää, että C ajattelee samoin B:stä. Käydään läpi kaikki jäljelle jäävät vaihtoehdot.

A tähtää ensimmäisellä kierroksella B:tä. Vaihtoehtoiset tapahtumasarjat ovat seuraavat:
- A osuu B:hen -> C osuu A:han. TN = 0,30
- A ei osu B:hen -> B osuu C:hen -> A osuu B:hen. TN = 0,7 x 0,5 x 0,3 = 0,105
- A ei osu B:hen -> B osuu C:hen -> A ei osu B:hen -> B osuu A:han. TN = 0,7 x 0,5 x 0,7 x 0,5 = 0,1225
- A ei osu B:hen -> B osuu C:hen -> A ei osu B:hen -> B ei osu A:han. TN = 0,7 x 0,5 x 0,7 x 0,5 = 0,1225
- A ei osu B:hen -> B ei osu C:hen -> C osuu B:hen -> A osuu C:hen. TN = 0,7 x 0,5 x 0,3 = 0,105
- A ei osu B:hen -> B ei osu C:hen -> C osuu B:hen -> A ei osu C:hen -> C osuu A:han. TN = 0,7 x 0,5 x 0,7 = 0,245

A:n selviämisen todennäköisyys on 0,3325.

A tähtää ensimmäisellä kierroksella C:tä. Vaihtoehtoiset tapahtumasarjat ovat seuraavat:
- A osuu C:hen -> B osuu A:han. TN = 0,3 x 0,5 = 0,15
- A osuu C:hen -> B ei osu A:han -> A osuu B:hen. TN = 0,3 x 0,5 x 0,3 = 0,045
- A osuu C:hen -> B ei osu A:han -> A ei osu B:hen -> B osuu A:han. TN = 0,3 x 0,5 x 0,7 x 0,5 = 0,0525
- A osuu C:hen -> B ei osu A:han -> A ei osu B:hen -> B ei osu A:han. TN = 0,3 x 0,5 x 0,7 x 0,5 = 0,0525
- A ei osu C:hen -> B osuu C:hen -> A osuu B:hen. TN = 0,7 x 0,5 x 0,3 = 0,105
- A ei osu C:hen -> B osuu C:hen -> A ei osu B:hen -> B osuu A:hen. TN = 0,7 x 0,5 x 0,7 x 0,5 = 0,125
- A ei osu C:hen -> B osuu C:hen -> A ei osu B:hen -> B ei osu A:han. TN = 0,7 x 0,5 x 0,7 x 0,5 = 0,125
- A ei osu C:hen -> B ei osu C:hen -> C osuu B:hen -> A osuu C:hen. TN = 0,7 x 0,5 x 0,3 = 0,105
- A ei osu C:hen -> B ei osu C:hen -> C osuu B:hen -> A ei osu C:hen -> C osuu A:han. TN = 0,7 x 0,5 x 0,7 = 0,245

A:n selviämisen todennäköisyys on 0,43.

Näin ollen kannattaisi tähdätä C:hen. Mutta A:lla on vielä kolmas vaihtoehto: ampua ilmaan ensimmäisellä kierroksella.

- A ampuu ilmaan -> B osuu C:hen -> A osuu B:hen. TN = 0,5 x 0,3 = 0,15
- A ampuu ilmaan -> B osuu C:hen -> A ei osu B:hen -> B osuu A:han. TN = 0,5 x 0,7 x 0,5 = 0,175
- A ampuu ilmaan -> B osuu C:hen -> A ei osu B:hen -> B ei osu A:han. TN = 0,5 x 0,7 x 0,5 = 0,175
- A ampuu ilmaan -> B ei osu C:hen -> C osuu B:hen -> A osuu C:hen. TN = 0,5 x 0,3 = 0,15
- A ampuu ilmaan -> B ei osu C:hen -> C osuu B:hen -> A ei osu C:hen -> C osuu A:han. TN = 0,5 x 0,7 = 0,35

Ampumalla ilmaan A:n selviytymisen todennäköisyys on 0,475.

A:n kannattaa siis ampua tahallaan ohi. Ampumalla ohi ensimmäisellä kierroksella A voi antaa kahden muun selvittää välinsä. Väistämättä joko B tai C saa osuman ensimmäisellä kierroksella. Toisella kierroksella A:n on järkevää ampua sitä, joka on vielä jäljellä.

On pellettejä ja pellettejä

 

Colin Palmer. Lisenssi: CC-BY

Aiemmin kaupan apulainen sai tehtäväkseen erotella liian kevyet lasikuulat normaaleista lasikuulista. Tällä kertaa kaupan varastoon on tuotu kymmenen tynnyriä täynnä pellettejä. Osassa tynnyreistä on 1 gramman ja osassa 2 gramman painoisia pellettejä. Kukaan ei tiedä missä tynnyreissä on kevyitä ja missä painavia pellettejä.

Apulaisella on käytössään tarkka digitaalinen painovaaka. Hän saa tehtäväkseen selvittää vaa'an avulla mitkä tynnyrit sisältävät painavampia pellettejä, mutta vaakaa saa käyttää vain yhden ainoan kerran.

Millä tavalla tehtävä suoritetaan?

Aikaisemmassa tehtävässä tiedettiin, että vain yksi laatikko sisälsi eripainoisia kuulia. Tällä kertaa painavia pellettejä voi olla yhdessä tai useammassa tynnyrissä, tai ei yhdessäkään. Tynnyrit voi kuitenkin erotella toisistaan lähes samaan tapaan kuin aikaisemmin laatikot.

Merkitään tynnyrit numeroilla yhdestä kymmeneen. Poimitaan ensimmäisestä tynnyristä 1 pelletti, toisesta 2 pellettiä, kolmannesta 4, neljännestä 8, viidennestä 16 jne. Tynnyristä i otetaan siis 2^(i-1) pellettiä. Kerättyjen pellettien yhteispaino mitataan vaa'alla.

Jos kaikissa tynnyreissä olisi yhden gramman painoisia pellettejä, yhteispainoksi tulisi 1 + 2 + 4 + 8 + 16 + 32 + 64 + 128 + 256 + 512 = 1023 grammaa. Siitä miten paljon mitattu yhteispaino eroaa 1023:sta voidaan päätellä mitkä tynnyrit sisältävät painavampia pellettejä.

Binäärilukuja tunteville em. kahden potenssit ovat tuttuja. Mainituilla luvuilla on se ominaisuus, että niitä valikoiden yhteenlaskemalla voidaan muodostaa jokainen luku väliltä 1 - 1023, mutta kukin luku on mahdollista muodostaa vain yhdellä tavalla. Ongelman ratkaisuna on siis hajottaa mitattu erotus osiinsa, jolloin osat kertovat suoraan, mitkä tynnyrit sisältävät painavia pellettejä.

Esimerkiksi jos yhteispaino on 1025 grammaa, on erotus 2 grammaa, joten ainoastaan tynnyrissä kaksi oli painavampia pellettejä. Jos yhteispaino on vaikkapa 1060 on erotus 37, joka muodostuu luvuista 1 + 4 + 32, eli tynnyreissä 1, 3 ja 6 on oltava painavampia pellettejä.

Arvoituksellinen setä

Aaron Pruzaniec. Lisenssi: CC-BY

Muuan poika tapasi setänsä ensimmäisen kerran vasta seitsemän vuoden ikäisenä. Hän ei ollut koskaan nähnyt kuvaa sedästään eikä kukaan ollut kuvaillut hänelle sedän ulkonäköä. Silti poika tunnisti hänet helposti, kun he kohtasivat sattumalta. Miten se on mahdollista?

Eräänä iltana setä luki pojalle tarinaa kirjasta, kun yhtäkkiä sähkökatko sammutti valot. Setä kuitenkin jatkoi lukemistaan keskeytyksettä, vaikka huoneessa oli aivan pimeää. Miten hän näki lukea kirjaansa?

Poika tunnisti setänsä, koska hän tiesi, että hänen isänsä ja setänsä ovat identtiset kaksoset.

Setä ei nähnyt kirjaa mutta pystyi lukemaan sitä, koska hän oli sokea ja kirja oli kirjoitettu pistekirjoituksella.

Yli joen

Tässäpä todellinen pulmaklassikko: joen ylitys vuohen, suden ja kaalinpään kanssa.

Olet palaamassa kotiin retkeltä. Jostakin tuntemattomasta syystä mukanasi on kaalinpää sekä vuohi ja susi. Matkalla sinun on ylitettävä joki soutuveneellä. Kaali ja eläimet on myös tuotava mukana. Vene on kuitenkin pieni ja siihen mahtuu soutajan lisäksi vain yksi asia kerrallaan, joten edessä on useampi edestakainen soutureissu joen yli.

Vuohta ja kaalinpäätä ei voi jättää hetkeksikään kahden samalle rannalle tai vuohi pistelee kaalin poskeensa. Vastaavasti vuohta ja sutta ei voi jättää kaksin, tai susi syö vuohen.

Miten saat kuljetettua kaikki joen yli?

Ensin viedään vuohi vastarannalle ja palataan takaisin lähtörannalle. Seuraavaksi susi viedään vastarannalle, josta puolestaan otetaan vuohi kyytiin ja palautetaan lähtörannalle. Lähtörannalta veneeseen otetaan kaalinpää, joka viedään vastarannalle suden seuraksi. Lopuksi käydään vielä hakemassa vuohi.