Punahatut ja mustahatut

Kuvan tekijä: Fanmalysza. Lisenssi: CC-BY-2.5

Kaukaisen maan mielipuolinen kuningas on jälleen vauhdissa. Tällä kertaa kuningas on käskenyt koota yhteen 30 satunnaista kadunmiestä eri puolilta valtakuntaa. Miehet joutuvat kohtaamaan vaarallisen haasteen. Kuningas menee tapaamaan uhrejaan ja kertoo heille mitä tulee tapahtumaan. Sen jälkeen heillä on yö aikaa miettiä, miten he voivat selviytyä koettelemuksesta.

Varhain aamulla heidät tullaan käskemään jonoon linnan pihalle. Heidän silmänsä sidotaan ja jokaisen päähän asetetaan joko punainen tai musta hattu, minkä jälkeen siteet poistetaan. Jokainen näkee kaikkien jonossa edellään olevien hatut, mutta ei omaa hattuaan eikä takanaan olevien hattuja.

Yksitellen, takimmaisesta miehestä aloittaen, heiltä kysytään oman hattunsa väriä. Miehet eivät saa jonossa keskustella keskenään. He saavat vain vastata "musta" tai "punainen", kun heiltä kysytään hatun väriä. Väärästä arvauksesta menettää henkensä, oikeasta saa takaisin vapautensa.

Minkälainen strategia miesten kannattaa valita, jotta mahdollisimman moni heistä selviää hengissä? Kuinka suuren osan heistä on mahdollista varmuudella vapautua?

Miehet keksivät strategian, jonka avulla kaikki paitsi yksi voidaan varmuudella pelastaa. Yhden kohtalo jää sattuman varaan.

Takimmaisin mies laskee kaikkien edessään olevien 29:n miehen päissä olevien punaisten hattujen määrän. Jos punaisia hattuja on parillinen määrä, hän sanoo "punainen", muuten "musta". Sanojen merkityksen miehet ovat sopineet keskenään.

Takimmaisen miehen kohtalo jäi siis sattuman varaan. Sen sijaan hänen edessään oleva jonon toiseksi viimeinen mies tietää nyt onko punaisia hattuja parillinen vai pariton määrä. Laskettuaan edessä olevien henkilöiden päissä olevat punaiset hatut hän myös tietää onko hänen oma hattunsa punainen vai musta. Hän sanoo värin ääneen ja vapautuu.

Jonon kolmanneksi viimeinen mies on kuullut molemmat aikaisemmat miehet. Hän tietää oliko punaisia hattuja aluksi parillinen vai pariton määrä ja sen lisäksi oliko hänen takanaan olevalla miehellä punainen vai musta hattu. Kun hän vielä laskee montako punaista hattua hänen edessään on, voi hän päätellä oman hattunsa värin.

Samaan tapaan jokainen jonon mies voi päätellä hattunsa värin kuulemiensa tietojen ja edessään olevien punaisten hattujen parillisuuden tai parittomuuden perusteella.

Kuningas saa jälleen pettyä, sillä korkeintaan yksi 30:stä mestataan ja hänetkin vain 50% todennäköisyydellä.

Arkiston aave

Kuvan tekijä: jono dot com. Lisenssi: CC-BY-NC-SA 2.0

Erään maan salaisten paperien arkisto on koottu maan alle valtavaan halliin. Hallissa on rivi arkistokaappeja, jotka on numeroitu yhdestä tuhanteen. Kaappeja on siis 1000 kappaletta vieri vieressä.

Kuten kaikissa sellaisissa paikoissa, on myös tässä arkistossa oma kummitus. Arkiston räyhähenki eli poltergeist on erikoistunut availemaan ja sulkemaan arkistokaappien ovia.

Eräänä yönä räyhähenki avaa kaikki 1000 kaappia. Seuraavana yönä se sulkee joka toisen kaapin alkaen toisesta kaapista. Kolmantena yönä räyhähenki aloittaa kolmannesta kaapista, käy läpi joka kolmannen kaapin, avaten suljetut ja sulkien avoimet kaapit. Neljäntenä yönä se aloittaa neljännestä kaapista, käy läpi joka neljännen kaapin avaten suljetut ja sulkien avoimet kaapit. Viidentenä yönä henki käy läpi joka viidennen samaan tapaan, kuudentena yönä joka kuudennen ja niin edelleen.

Montako kaappia on auki, kun tuhat yötä on kulunut?

Ensin kaikki kaapit ovat auki, toisena yönä joka toinen sulkeutuu. Kolmantena yönä asia mutkistuu: kolmas kaappi on auki ja sulkeutuu, mutta kuudes kaappi on kiinni ja aukeaa. Siispä ne kaapit, joiden numero on jaollinen vain 1:llä ja 3:lla, käydään toisen kerran läpi ja suljetaan. Toisaalta ne kaapit, jotka ovat jaollisia 1:llä, 2:lla ja 3:lla, käydään läpi jo kolmannen kerran ja avataan.

Tästä voi jo huomata, että sillä on merkitystä, kuinka monta tekijää kullakin numerolla on. Jos kaapin numerolla on parillinen määrä tekijöitä, tulee räyhähenki käyneeksi kaapilla parillisen määrän kertoja ja kaappi on lopuksi kiinni. Jos tekijöitä on pariton määrä, on kaappi lopuksi auki.

Mutta mitkä numerot ovat sellaisia, että niillä on pariton määrä tekijöitä? Näitä ovat mm. 1, 4, 9, 16, 25, 36 jne. Näistä voi huomata äkkiä, että ne ovat kokonaislukujen neliöitä: 1x1=1, 2x2=4, 3x3=9, 4x4=16, 5x5=25, 6x6=36 jne. Luvulla on nimittäin pariton määrä tekijöitä vain jos se on jonkin kokonaisluvun neliö. Tekijöitä esiintyy aina pareina (esim. AxB=C), paitsi kun kyseessä on neliö (esim. DxD=E).

Tältä pohjalta on helppo tarkistaa montako positiivisen kokonaisluvun neliötä löytyy luvuista 1 - 1000. Täytyy vain löytää ensimmäinen kokonaisluku, jonka neliö on suurempi kuin 1000. Kyseinen luku on 32, jonka neliö on 1024.

Toisin sanoen 31 kaappia on auki, kun räyhähenki on räyhännyt tarpeekseen.

Vettä ja viiniä

Kuvan tekijä: Gnangarra. Lisenssi: CC-BY 2.5.

Edessäsi on kaksi tynnyriä, joista toisessa on vettä ja toisessa viiniä. Molemmissa on kuitenkin täsmälleen yhtä paljon nestettä.

Viinitynnyristä otetaan litra viiniä ja kaadetaan se vesitynnyriin, jossa se sekoittuu veden kanssa. Sen jälkeen vesitynnyristä otetaan litra nestettä ja kaadetaan se viinitynnyriin. Lopuksi siis molemmissa tynnyreissä on jälleen sama määrä nestettä.

Onko nyt viinitynnyrissä enemmän vettä kuin vesitynnyrissä viiniä tai toisin päin?

Viinitynnyrissä on yhtä paljon vettä kuin vesitynnyrissä viiniä. Tämän voi todistaa laskemalla mutta asian voi myös päätellä helposti. Vesitynnyrissä on tietty määrä viiniä, joka on otettu viinitynnyristä. Jotta pinnat olisivat tasassa, on viinitynnyriin täytynyt lisätä täsmälleen sama määrä vettä.

Tässä myös visuaalinen esitys asiasta, kiitokset Juusolle. Oletetaan, että viinitynnyrissä on aluksi kolme litraa viiniä ja vesitynnyrissä kolme litraa vettä. Kuva A on lähtötilanne. Yksi neliö on neljänneslitra, joten yksi rivi kuvassa A vastaa yhtä litraa.


Kuvassa B viinitynnyristä on otettu litra ja se on kaadettu vesitynnyriin. Kuvassa C vesitynnyristä on otettu litra nestettä, joka sisälsi nyt kolme neljäsosaa vettä ja yhden neljäsosan viiniä.

Mitähän kello on?

Tutkitaan kellotaulua. Tuntiviisari on tarkalleen jonkin minuuttimerkin kohdalla ja minuuttiviisari on kuusi minuuttimerkkiä sitä edellä. Odotellaan ja tutkitaan kelloa sitten uudelleen. Nyt tuntiviisari on tarkalleen jonkin toisen minuuttimerkin kohdalla ja minuuttiviisari on seitsemän minuuttimerkkiä sitä edellä.

Kuinka paljon aikaa ehti kulua näiden kahden hetken välillä?

Kulkiessaan kellotaululla tunnin matkan käy tuntiviisari viiden minuuttimerkin kohdalla. Tuntiviisari ohittaa siis minuuttimerkin 12 minuutin välein, kun minuutit ovat 00, 12, 24, 36 ja 48. Tarkasteltavia hetkiä ovat 0:12, 0:24, 0:36, 0:48, 1:00, 1:12 jne.

Viisarien välillä on kuusi minuuttimerkkiä eroa kun kello on 1:12. Seitsemän minuuttimerkkiä eroa on kun kello on 3:24. Näiden välillä aikaa ehti siis kulua 2 tuntia 12 minuuttia.

Hattutemppu

Kaukaisessa maassa hallitsee mielipuolinen ja vallasta humaltunut kuningas. Kuninkaan tapana on ollut keksiä temppuja, joilla kiusata alamaisiaan. Tällä kertaa hän on lopen kyllästynyt kolmeen neuvonantajaansa ja päättää pistää heidät testiin.

Hän käskee heidät istumaan kolmeen tuoliin, jotka on asetettu peräkkäin jonoon. Takimmainen neuvonantaja näkee kaksi muuta, keskimmäinen näkee vain ensimmäisen ja ensimmäinen ei näe muita.

Kuningas näyttää heille viisi hattua: kaksi mustaa ja kolme valkoista. Sen jälkeen heidän silmänsä sidotaan siksi aikaa, että jotkin kolme viidestä hatusta asetetaan neuvonantajien päihin.

Kuningas antaa heille tehtävän: jonkun heistä on pystyttävä kertomaan, minkä värinen hattu hänellä on päässään. He eivät saa keskustella tai sopia keskenään mitään, eivätkä kurkistella omaa tai selän takana olevien hattuja. Ainoa asia minkä kukaan heistä saa tehdä, on sanoa ääneen oman hattunsa väri. Jos arvaus osuu oikeaan, he kaikki pääsevät vapaaksi. Jos arvaus on väärin, heidät kaikki mestataan.

Kestää puoli tuntia, jonka jälkeen jonossa ensimmäisenä oleva neuvonantaja kertoo oman hattunsa värin aivan oikein. Kuningas on pettynyt mutta vapauttaa neuvonantajansa.

Minkä värinen neuvonantajan hattu oli ja miten hän tiesi sen värin? Onnekkaasta arvauksesta ei ollut kyse.

Ensimmäinen neuvonantaja päätteli, että koska hänen takana olevat virkaveljensä eivät ole vastanneet, he eivät pysty päättelemään oman hattunsa väriä. Sen perusteella hän päätteli, että hänen hattunsa täytyy olla valkoinen. Päättelyketju on seuraava:

Takimmainen näkee kahden muun hatut. Jos ne ovat molemmat mustia, hän tietäisi heti oman hattunsa valkoiseksi ja sanoisi sen ääneen. Hän ei kuitenkaan sanonut mitään, joten keskimmäinen tietää, että takimmainen ei pysty päättelemään oman hattunsa väriä. Ensimmäisten kahden neuvonantajan hatut ovat siis joko musta ja valkoinen, valkoinen ja musta, tai valkoinen ja valkoinen.

Keskimmäinen näkee vain ensimmäisen neuvonantajan hatun. Edellisen perusteella jos hänen edessään olevalla olisi musta hattu, hänen oma hattunsa olisi väistämättä valkoinen. Mutta koska hän ei sanonut mitään, hänen edessään olevalla ensimmäisellä neuvonantajalla on oltava valkoinen hattu.