Arkiston aave

Kuvan tekijä: jono dot com. Lisenssi: CC-BY-NC-SA 2.0

Erään maan salaisten paperien arkisto on koottu maan alle valtavaan halliin. Hallissa on rivi arkistokaappeja, jotka on numeroitu yhdestä tuhanteen. Kaappeja on siis 1000 kappaletta vieri vieressä.

Kuten kaikissa sellaisissa paikoissa, on myös tässä arkistossa oma kummitus. Arkiston räyhähenki eli poltergeist on erikoistunut availemaan ja sulkemaan arkistokaappien ovia.

Eräänä yönä räyhähenki avaa kaikki 1000 kaappia. Seuraavana yönä se sulkee joka toisen kaapin alkaen toisesta kaapista. Kolmantena yönä räyhähenki aloittaa kolmannesta kaapista, käy läpi joka kolmannen kaapin, avaten suljetut ja sulkien avoimet kaapit. Neljäntenä yönä se aloittaa neljännestä kaapista, käy läpi joka neljännen kaapin avaten suljetut ja sulkien avoimet kaapit. Viidentenä yönä henki käy läpi joka viidennen samaan tapaan, kuudentena yönä joka kuudennen ja niin edelleen.

Montako kaappia on auki, kun tuhat yötä on kulunut?

Ensin kaikki kaapit ovat auki, toisena yönä joka toinen sulkeutuu. Kolmantena yönä asia mutkistuu: kolmas kaappi on auki ja sulkeutuu, mutta kuudes kaappi on kiinni ja aukeaa. Siispä ne kaapit, joiden numero on jaollinen vain 1:llä ja 3:lla, käydään toisen kerran läpi ja suljetaan. Toisaalta ne kaapit, jotka ovat jaollisia 1:llä, 2:lla ja 3:lla, käydään läpi jo kolmannen kerran ja avataan.

Tästä voi jo huomata, että sillä on merkitystä, kuinka monta tekijää kullakin numerolla on. Jos kaapin numerolla on parillinen määrä tekijöitä, tulee räyhähenki käyneeksi kaapilla parillisen määrän kertoja ja kaappi on lopuksi kiinni. Jos tekijöitä on pariton määrä, on kaappi lopuksi auki.

Mutta mitkä numerot ovat sellaisia, että niillä on pariton määrä tekijöitä? Näitä ovat mm. 1, 4, 9, 16, 25, 36 jne. Näistä voi huomata äkkiä, että ne ovat kokonaislukujen neliöitä: 1x1=1, 2x2=4, 3x3=9, 4x4=16, 5x5=25, 6x6=36 jne. Luvulla on nimittäin pariton määrä tekijöitä vain jos se on jonkin kokonaisluvun neliö. Tekijöitä esiintyy aina pareina (esim. AxB=C), paitsi kun kyseessä on neliö (esim. DxD=E).

Tältä pohjalta on helppo tarkistaa montako positiivisen kokonaisluvun neliötä löytyy luvuista 1 - 1000. Täytyy vain löytää ensimmäinen kokonaisluku, jonka neliö on suurempi kuin 1000. Kyseinen luku on 32, jonka neliö on 1024.

Toisin sanoen 31 kaappia on auki, kun räyhähenki on räyhännyt tarpeekseen.