Myrkytetty viinipullo

Kuva: Che. Lisenssi: CC-BY-SA 2.5.

Kaukaisen maan kuninkaalla on viinikellarissaan 1000 pulloa erinomaisen hyvää viiniä. Kuningas viettää pian syntymäpäiviään ja pullot on varattu tarjoiltavaksi kutsuvieraille.

Kuningas on mielipuolisten tempaustensa vuoksi erittäin epäsuosittu ja hänen vastustajansa ovatkin onnistuneet myrkyttämään yhden viinipulloista. Kuninkaan vartiokaarti on kuitenkin saanut asiasta vihiä.

Myrkky on niin tehokasta, että pienen pieni pisara riittää tappamaan ihmisen. Myrkyn oireet alkavat näkyä kuitenkin vasta 22 tunnin kuluttua. On enää tasan vuorokausi aikaa kutsuvierasjuhlien alkuun, eikä kuningas halua peruuttaa juhlia, joten hän päättää selvittää maistajien avulla mikä pulloista sisältää myrkkyä.

Kuningas keksii tavan, jossa tarvitaan vain pieni joukko maistajia, mutta saadaan varmuudella ennen juhlien alkua selville mikä pulloista on myrkytetty. Mikä on tuo keino ja miten monta maistajaa tarvitaan?

Pieni määrä maistajia riittää, jos kukin maistajista maistaa useammasta pullosta ja kunkin maistajan pullot valitaan sopivasti niin, että kun useampi saa myrkytysoireita, voidaan päätellä mistä pullosta he kaikki ovat maistaneet.

Käytetään apuna binäärilukuja. Binääriluku koostuu ykkösistä ja nollista. Binääriluvun voi tulkita desimaaliluvuksi siten, että oikealta lukien ensimmäinen numero merkitsee ykköstä, toinen kakkosta, kolmas nelosta, neljäs kahdeksaa, viides kuuttatoista, kuudes kolmeakymmentäkahta jne. eli yleisemmin sanoen n:s numero merkitsee kakkosen n:ttä potenssia. Jos binääriluvun n:s numero on ykkönen, lisätään desimaalilukuun 2ⁿ. Esimerkiksi binääriluku 0000000101 on desimaalilukuna 1 + 4 eli 5. Binääriluku 0001100110 on desimaalilukuna 2 + 4 + 32 + 64 eli 102.

Numeroidaan viinipullot yhdestä tuhanteen binääriluvuilla. Sitten otetaan kymmenen maistajaa ja numeroidaan heidät ykkösestä kymmeneen. Maistaja numero 1 maistaa kaikista niistä viinipulloista, joiden binäärilukuesityksessä ensimmäinen numero on ykkönen. Maistaja 2 maistaa kaikista niistä viinipulloista, joiden toinen numero on ykkönen, ja niin edelleen. Kymmenen maistajaa riittää, koska kaikki luvut yhdestä tuhanteen voidaan esittää kymmennumeroisena binäärilukuesityksenä.

Desimaaliluku 1 on binäärilukuna 0000000001, joten vain ensimmäinen maistaja maistaa ensimmäisestä pullosta. Desimaaliluku 1000 on binäärilukuna 1111101000, joten viimeisestä pullosta maistavat maistajat 4, 6, 7, 8, 9 ja 10. Pullosta 329 eli binäärilukuna 0101001001 maistavat maistajat 1, 4, 7 ja 9.

Kun osa maistajista saa oireita, voidaan heti päätellä mistä pullosta he kaikki ovat maistaneet. Esimerkiksi jos maistajat 1 ja 3 saavat oireita mutta muut ovat terveitä, on pullo 0000000101 myrkytetty. Jos 2, 3, 6 ja 7 saavat oireita, on pullo 0001100110 myrkytetty.

Tällä tavalla tarvitaan pieni määrä maistajia, mutta toisaalta suurimmassa osassa tapauksista useampi kuin maistajista menehtyy. Jos maistajia olisi tuhat ja kukin maistaisi vain yhdestä pullosta, vain yksi maistaja menehtyisi.

Kyyhkyn lento

Kaksi pyöräilijää on sopinut tapaavansa toisensa kaupungin kauppatorin suihkulähteellä. Pyöräilijät lähtevät ajamaan samalla hetkellä kohti toria vastakkaisista suunnista 45 km päässä toisistaan. Tori on täsmälleen puolivälissä eli 22,5 km päässä kummankin kotoa. Molemmat ajavat pysähtymättä ja samaa nopeutta 15 km/h.

Toisella pyöräilijöistä on kesy kirjekyyhky, joka lähtee lentoon samaan aikaan ja samasta paikasta emäntänsä kanssa. Kyyhky lentää ensin toisen pyöräilijän luokse ja kääntyy sitten takaisin kohti ensimmäistä pyöräilijää. Kyyhky jatkaa lentämistä edestakaisin kahden pyöräilijän välillä nopeudella 34 km/h siihen asti, kunnes pyöräilijät kohtaavat toisensa suihkulähteellä.

Kuinka pitkän matkan kyyhky lensi?

Jokaisen lento-osuuden voisi yrittää laskea erikseen mutta helpompikin tapa on olemassa. Lentomatka on suoraviivaista laskea, kun tiedetään kuinka kauan pyöräilijöillä kesti kohdata ja mikä oli linnun nopeus. Pyöräilijöillä kesti 1,5 tuntia ajaa torille. Koko sen ajan kyyhky lensi nopeudella 34 km/h. Kyyhky lensi siis yhteensä 1,5 h x 34 km/h = 51 km.

Ässän etsintä

Pelataan hetki korttipeliä, jossa etsitään ässää. Erotetaan tavallisesta korttipakasta kolme korttia: yksi ässä ja kaksi kakkosta. Jakaja järjestää kortit kädessään ja asettaa ne pöydälle kuvapuoli alaspäin.

Tehtäväsi on arvata mikä korteista on ässä ja kertoa valintasi jakajalle. Sen jälkeen jakaja poistaa valitsematta jääneistä kahdesta kortista yhden, joka ei ole ässä.

Tässä vaiheessa jakaja antaa sinulle mahdollisuuden muuttaa mieltäsi ja vaihtaa valintasi toiseen jäljellä olevaan korttiin. Kannattaako sinun vaihtaa vai pysytellä alkuperäisessä valinnassa? Vai onko sillä merkitystä miten toimit?

Kannattaa vaihtaa valintaa. Tämä ei ehkä tunnu aluksi aivan itsestään selvältä, mutta käy ilmi helposti seuraavasta:

Aluksi oikeaan osumisen todennäköisyys oli vain 1/3. Sen jälkeen valinnan vaihtaminen johtaa aina väärään korttiin.

Aluksi väärään osumisen todennäköisyys oli 2/3. Silloin valinnan vaihtaminen johtaa aina oikeaan korttiin.

Jos siis et vaihda valintaa, on todennäköisyys osua oikeaan 1/3. Jos vaihdat valintaa, on todennäköisyys 2/3.

Pieni arvoitus äidistä ja lapsista

Kuva: Joachim Spremberg. Deutsches Bundesarchiv. Lisenssi: CC-BY-SA 3.0

Tässä pieni arvoitus äidistä ja lapsista. Eräs poika on syntynyt samana vuonna, samana kuukautena ja samana päivänä kuin muuan toinen poika. Heillä on myös sama äiti. He eivät kuitenkaan ole kaksosia. Miten tämä on mahdollista?

Pojat eivät ole kaksosia vaan kaksi sisarusta kolmosista tai vielä suuremmasta katraasta.

Kaapelia asentamassa

Kuva: mrcam. Lisenssi: CC-BY-NC-ND 2.0

Puhelinkaapeli on asennettu kadun alle kilometrin matkalle. Kaapelissa kulkee 120 erillistä johdinta päästä päähän mutta johtimia ei ole merkitty mitenkään esimerkiksi väreillä tai numeroilla.

Olet juuri aloittanut työt asennusfirmassa ja sinun tehtäväksesi on langennut merkitä johtimet niin, että saman johtimen voi tunnistaa molemmista päistä. Aloitat työsi kaapelin yhdestä päästä ja voit kulkea kaapelin päästä päähän kilometrin matkan niin monta kertaa kuin katsot tarpeelliseksi.

Sinulla on työkaluina vain teippiä ja kynä johdinten merkitsemistä varten sekä paristo ja lamppu. Paristo ja lamppu on kytketty toisiinsa johdolla ja lisäksi lampun toisen navan voi kytkeä testattavaan johtimeen, samoin pariston toisen navan. Lamppu siis syttyy palamaan, jos pariston ja lampun kytkee samaan johtimeen. Lampun ja pariston kytkentäjohdot ovat kuitenkin lyhyitä, vain kymmenen sentin mittaisia.

Miten voit selvittää tehtävän ja mikä on lyhin matka minkä joudut kulkemaan?

Muodostetaan ensin 15 eri kokoista johdinryhmää teippaamalla tai kiertämällä johtimia yhteen. Merkitään yksi johdin A:lla, sitten kytketään kaksi muuta johdinta yhteen ja merkitään molemmat B:llä, sitten kytketään kolme vielä kytkemätöntä johdinta yhteen ja merkitään niitä C:llä jne. Lopuksi viimeiseen ryhmään O tulee 15 johdinta.

Kuljetaan sitten toiseen päähän. Jos kaksi johdinta kuuluu samaan ryhmään, lamppu syttyy kun paristo ja lamppu kytketään näihin kahteen johtimeen. Kytketään siis lamppu yhteen johtimeen ja kytketään kaikki muut johtimet paristoon yksitellen. Jos lamppu syttyy esim. neljän johtimen kohdalla, kuuluvat ne ryhmään E. Selvitetään samalla tavalla kaikki ryhmät ja merkitään johtimiin ryhmien kirjaimet.

Kytketään johtimet uudelleen 15 erilaiseen ryhmään. Uuteen ryhmään numero 15 kytketään yksi johdin jokaisesta vanhasta ryhmästä. Ryhmän johtimet saavat nyt merkinnöikseen A15, B15, C15 jne. Uuteen ryhmään numero 14 kytketään yksi johdin kaikista vanhoista ryhmistä paitsi ryhmästä A, jonka ainoa johdin oli jo kytketty ryhmään 15. Uuteen ryhmään 13 kytketään yksi johdin jokaisesta vanhasta ryhmästä, paitsi ryhmistä A ja B. Jatketaan samaan tapaan ja lopuksi viimeiseen ryhmään numero 1 jää vain yksi johdin O1.

Palataan sitten alkupäähän. Puretaan kaikki aluksi tehdyt ryhmät. Selvitetään sitten kaikki uudet ryhmät käyttäen lamppua ja paristoa samaan tapaan kuin aikaisemmin. Merkitään johtimiin kunkin ryhmän numerot alun perin merkittyjen kirjaimien lisäksi. Lopuksi molemmissa päissä johtimet on merkitty samoilla kirjain- ja numeroyhdistelmillä. Matkaa kertyi 2 km.