Veneretki ihmissyöjien seurassa

Kuva: Black dory. Lisenssi: CC-BY-SA 3.0.

Kolme tutkimusmatkailijaa on tutustunut ihmissyöjien heimoon. He ovat luvanneet viedä kolme ihmissyöjää tutustumaan leiriinsä. Matkalla on leveä joki, joka heidän täytyy ylittää soutuveneellä. Vene on pieni ja siihen mahtuu kerrallaan vain kaksi henkeä.

Ihmissyöjät eivät ole pahansuopia, mutta jos jommalla kummalla rannalla on samaan aikaan useampi ihmissyöjä kuin tutkimusmatkailija, käyttävät ihmissyöjät tilaisuuden hyväkseen ja pistävät tutkimusmatkailijat hengiltä. Samalla rannalla ei siis saa olla edes hetkellisesti useampia ihmissyöjiä kuin tutkimusmatkailijoita.

Millä tavalla kaikki kuusi pääsevät joen yli? Jonkun täytyy aina soutaa venettä, eli sitä ei voi yksinään lähettää joen yli.

Merkitään A:lla lähtörantaa ja B:llä kohdetta. Merkitään tutkimusmatkailijoita T:llä, ihmissyöjiä I:llä ja venettä V:llä.

Aluksi kaikki ovat lähtörannalla:
A: TTT, III, V
B: ei ketään

Kaksi ihmissyöjää soutaa joen yli:
A: TTT, I
B: II, V

Yksi ihmissyöjä palaa:
A: TTT, II, V
B: I

Kaksi ihmissyöjää ylittää taas joen:
A: TTT
B: III, V

Yksi ihmissyöjä palauttaa veneen:
A: TTT, I, V
B: II

Kaksi tutkimusmatkailijaa ylittää joen:
A: T, I
B: TT, II, V

Yksi tutkimusmatkailija ja yksi ihmissyöjä palaavat takaisin lähtörannalle:
A: TT, II, V
B: T, I

Kaksi tutkimusmatkailijaa ylittää joen:
A: II
B: TTT, I, V

Yksi ihmissyöjä palaa lähtörannalle:
A: III, V
B: TTT

Kaksi ihmissyöjää joen yli:
A: I
B: TTT, II, V

Yksi ihmissyöjä takaisin:
A: II, V
B: TTT, I

Lopuksi kaksi ihmissyöjää joen yli:
A: ei ketään
B: TTT, III, V

Palkanmaksu kultana

Palkkaat työmiehen työmaallesi seitsemäksi päiväksi. Työmies vaatii palkan jokaisen päivän päätteeksi. Sinulla on seitsemästä kultaisesta renkaasta koostuva ketju. Sovitte, että työmies saa joka päivältä palkakseen yhden renkaan.

Kuinka moneen osaan ketju pitää katkaista, jotta voit maksaa palkan joka päivä? Yritä siis selvitä mahdollisimman vähillä katkaisuilla.

Ketju katkaistaan kolmeen osaan, joiden koot ovat 1 rengas, 2 rengasta ja 4 rengasta. Ensimmäisenä päivänä maksat työmiehelle yhden renkaan. Toisena päivänä annat kaksi rengasta ja työmies antaa takaisin yhden. Kolmantena päivänä maksat yhden renkaan. Neljäntenä päivänä annat neljä rengasta ja saat takaisin yhden ja kaksi rengasta. Viidentenä päivänä maksat yhden renkaan. Kuudentena päivänä maksat kaksi rengasta ja saat takaisin yhden. Seitsemäntenä päivänä annat lopuksi viimeisen renkaan.

Vuoren huipulle ja takaisin

Kuva: Cullen328. Lisenssi: CC-BY 3.0.

Vuorikiipeilijä lähtee kiipeämään vuorelle keskipäivällä kotoaan vuoren juurelta. Välillä hän kulkee nopeammin ja välillä hitaammin, välillä myös pysähtyy lepäämään. Huipulle hän saapuu seitsemältä ja viipyy siellä leirissä yön yli. Seuraavana päivänä kiipeilijä lähtee kello 12 takaisin alas kotiinsa, jonne hän saapuu kello seitsemältä. Reitti on sama molempiin suuntiin, mutta pysähdykset ja etenemisvauhti vaihtelevat. Millä todennäköisyydellä kiipeilijä on jossakin samassa kohdassa reittiä samaan aikaan meno- ja paluumatkalla?

Niin käy väistämättä. Jos se tuntuu epävarmalta, helpoin tapa varmistaa asia on kuvitella kaksi kiipeilijää, jotka lähtevät yhtä aikaa kulkemaan samaa reittiä, toinen alhaalta ja toinen huipulta. Jossain vaiheessa he väistämättä kohtaavat toisensa, eli ovat samassa kohdassa reittiä samaan aikaan, vaikka heidän kulkuvauhtinsa vaihtelisi.

Köytetty maapallo

Kuvitellaan, että maapallon ympäri on kietaistu köysi päiväntasaajaa pitkin. Voimme tässä yhteydessä olettaa, että maapallo on täysin pyöreä. Kuinka paljon enemmän köyttä tarvitaan, jos köysi kulkisikin maapallon ympäri metrin korkeudella maanpinnasta?

Ympyrän kehän pituus on 2πr, jossa r on ympyrän säde. Köyden pituus on siis myös 2πr. Jos säde kasvaa metrin, on ympyrän kehän ja siis myös köyden pituus 2π(r+1). Tästä nähdään nopeasti, että jälkimmäisessä tapauksessa köyden pituus kasvaa 2π. Siis vain noin 6,28 m.

Muutos riippuu ainoastaan säteen pituuden muutoksesta, joten todellista maapallon sädettä ei tarvitse tietää. Itse asiassa, jos köysi olisi kietaistu ensin jalkapallon ympäri ja sitten metrin korkeammalle, olisi köyden pituuden muutos samansuuruinen eli 6,28 m.