Kallis kahvihetki

Kuva: Julius Schorzman. Lisenssi: CC-BY-SA 2.0.

Kolme naista tapaa toisensa kahvilassa. Pitkän kahvihetken jälkeen on laskun maksamisen aika. Lasku on yhteensä 30 euroa, jonka he maksavat. Kahvilan omistaja huomaa heti laskuttaneensa väärin ja oikea hinta onkin 25 euroa. Omistaja antaa tarjoilijalle 5 euroa ja käskee häntä palauttamaan rahat naisille. Huonoon palkkaansa kyllästynyt tarjoilija päättää kuitenkin ottaa omatoimisesti kaksi euroa tippiä ja palauttaa naisille vain kolme euroa.

Nyt kukin naisista on maksanut 9 euroa eli yhteensä 27 euroa. Tarjoilija on pitänyt 2 euroa, joten summa on 29 euroa. Mihin ihmeeseen katosi yksi euro?

Kysymys johtaa tarkoituksella harhaan. Tarjoilijan ottamat 2 euroa ovat osa naisten maksamia 27 euroa, joten niitä ei pidä laskea yhteen. Loput 25 euroa menivät kahvilan kassaan.

Kolme lasta, mutta minkä ikäisiä?

Vierailin taannoin työtoverini kotona. Seinillä olevista kuvista selvisi, että hänellä on kolme tytärtä. Kysyin minkä ikäisiä he ovat, johon tuttavani totesi, että lasten ikien tulo on 72.

Ihmettelin tätä hetken ja kysyin sitten, voisiko hän antaa jonkin muun vihjeen. Hän hymyili ja kertoi, että lasten ikien summa on sama kuin hänen talonsa numero. En muistanut talon numeroa, joten käväisin nopeasti ulkona vilkaisemassa numerokylttiä.

Mietin taas hetken, mutta minun oli pakko myöntää, että en silti voinut päätellä vastausta. Kerroin tämän tuttavalleni, joka sanoi: "Olen pahoillani, unohdin aivan kertoa sinulle, että vanhin tyttäreni pitää erityisen paljon suklaakakusta vadelmien kanssa."

Silloin minulla oli tarpeeksi tietoa, että pystyin päättelemään kaikkien lasten iät. Kerroin ne tuttavalleni, joka myönsi minun olevan oikeassa.

Pystytkö sinä päättelemään minkä ikäisiä lapset ovat?

Luku 72 voidaan muodostaa kolmen luvun tulona näillä tavoin:
1 x 1 x 72 = 72
1 x 2 x 36 = 72
1 x 3 x 24 = 72
1 x 4 x 18 = 72
1 x 6 x 12 = 72
1 x 8 x 9 = 72
2 x 2 x 18 = 72
2 x 3 x 12 = 72
2 x 4 x 9 = 72
2 x 6 x 6 = 72
3 x 3 x 8 = 72
3 x 4 x 6 = 72

Näiden summat ovat vastaavasti:
1 + 1 + 72 = 74
1 + 2 + 36 = 39
1 + 3 + 24 = 28
1 + 4 + 18 = 23
1 + 6 + 12 = 19
1 + 8 + 9 = 18
2 + 2 + 18 = 22
2 + 3 + 12 = 17
2 + 4 + 9 = 15
2 + 6 + 6 = 14
3 + 3 + 8 = 14
3 + 4 + 6 = 13

Tästä huomataan, että vain kaksi tapausta on sellaisia, joiden summa on sama eli 14. Tämä on tärkeää, sillä vaikka tiesin tulon (72) ja summan (talon numero) en silti pystynyt päättelemään mitkä kolme lukua ovat. Vaihtoehtoja oli siis oltava useampia. Nämä kaksi vaihtoehtoa ovat 2, 6, 6, sekä 3, 3, 8.

Molemmissa tapauksissa perheessä on siis kaksoset, mutta vasta viimeinen vihje kertoo, että perheessä on vain yksi vanhin tytär. Tästä syystä oikeat iät ovat 3, 3 ja 8 vuotta.

Jalkapalloturnaus

Kuva: Manuel. Lisenssi: CC-BY-SA 2.0.

Turnaukseen osallistuu 97 jalkapallojoukkuetta. Joukkueet jaetaan pareihin, jotka pelaavat keskenään. Kunkin pelin voittaja pääsee jatkamaan seuraavalle kierrokselle, jossa joukkueet jälleen jaetaan pareihin, jotka pelaavat keskenään. Näin jatketaan kunnes voittaja on selvillä. Kuinka monta peliä täytyy pelata, jotta voittaja on selvillä?

Tämähän on periaatteessa laskutehtävä mutta vastauksen voi myös päätellä nopeasti siitä, että jokaisessa pelissä putoaa yksi joukkue ja lopuksi vain yksi joukkue on jäljellä. Siispä pelejä täytyy pelata 97 - 1 = 96.

Kävelyllä jossain päin maapalloa

Innokas sauvakävelijä lähti kävelylenkille. Hän käveli ensin kilometrin etelään, sitten kilometrin länteen ja lopuksi kilometrin pohjoiseen. Silloin hän huomasi olevansa jälleen lähtöpisteessä.

Mistä paikasta kävelijä lähti kävelylleen? Maapallolla on useita paikkoja, joissa tuollainen kävely on mahdollinen, joten yritä keksiä enemmän kuin yksi.

Helpoin vastaus on tietysti pohjoisnapa. Sen lisäksi etelänavan ympäristössä on lukemattomia paikkoja, joissa samanlainen kävelylenkki on mahdollista tehdä. Muutama esimerkki:

- Lähtöpiste on kilometri pohjoiseen mistä tahansa sellaisesta pisteestä, jossa leveyspiirin pituus on kilometri, eli maapallon akselin ympäri on kilometrin matka. Tällöin siis kävelijä kulkee ensin kilometrin etelään edellä mainittuun pisteeseen, sitten kävellessään länteen tulee kiertäneeksi maapallon, ja lopuksi kävelee pohjoiseen lähtöpisteeseensä.

- Lähtöpiste on kilometri pohjoiseen mistä tahansa sellaisesta pisteestä, jossa maapallon akselin ympäri on 500m matka. Tällöin kävelijä tulee kiertäneeksi maapallon kahdesti kävellessään länteen.

Ja niin edelleen.

Viiniruukkuja

Kuva: Ad Meskens. Lisenssi: CC-BY-SA 3.0

Elämme noin vuotta 1000 ennen ajanlaskun alkua, pienessä kylässä välimeren rannalla. Kasvatat viinirypäleitä ja tuotat erinomaista viiniä, jota myyt alueen asukkaille. Ostajat tulevat luoksesi omien ruukkujensa kanssa, joihin annostelet viiniä tynnyristä ostajan haluaman määrän.

Viinin mittaamiseen sinulla on kaksi ruukkua, joista toiseen mahtuu kolme litraa ja toiseen viisi litraa. Tänään luoksesi tulee kaksi hankalaa asiakasta, joista ensimmäinen haluaisi ostaa tarkalleen seitsemän litraa ja toinen tarkalleen neljä litraa viiniä. Miten mittaat heille oikeat määrät?

Seitsemän litraa:
Täytä ensin viiden litran ruukku ja kaada siitä kolmen litran ruukku täyteen. Kaada sitten kolmen litran ruukun sisältö takaisin tynnyriin. Kaada viiden litran ruukussa olevat kaksi litraa kolmen litran ruukkuun ja täytä sitten viiden litran ruukku. Nyt sinulla on mitattuna seitsemän litraa.

Neljä litraa:
Täytä kolmen litran ruukku ja kaada sen sisältö viiden litran ruukkuun. Sitten täytä taas kolmen litran ruukku ja kaada siitä viiden litran ruukku täyteen. Nyt kolmen litran ruukussa on jäljellä yksi litra. Tyhjennä viiden litran ruukku tynnyriin, kaada yksi litra kolmen litran ruukusta viiden litran ruukkuun ja täytä kolmen litran ruukku tynnyristä. Nyt sinulla on mitattuna neljä litraa.

Kamelikilpailu

Kuva: Flicka. Lisenssi: Creative Commons Attribution Share Alike 2.5

Vanhalla ja rikkaalla sheikillä on kaksi poikaa mutta vain yksi heistä voi periä sheikin omaisuuden. Hän on päättänyt valita perijänsä erikoisella kilpailulla: poikien tulee valita itselleen kamelit ja ratsastaa kilpaa 5 kilometrin matka aavikolla. Se, jonka kameli tulee maaliin viimeisenä, perii sheikin omaisuuden.

Kilpailu alkaa mutta koska kumpikaan pojista ei halua tulla maaliin ensimmäisenä, he jäävät hidastelemaan ja kuljeskelemaan ympäriinsä aavikolla. Kuluu monta päivää mutta kumpikaan ei luovuta. He alkavat olla jo epätoivoisia ja miettivät onko heidän isänsä keksimän kilpailun tarkoitus näännyttää heidät hengiltä.

Silloin he kohtaavat aavikolla asuvan erakon, jolle he kertovat tilanteensa. Erakko antaa heille neuvon, jonka jälkeen molemmat innostuvat, nousevat kamelien selkään ja ratsastavat kilpaa maaliin.

Minkä neuvon erakko heille antoi?

Erakko kehoitti heitä vaihtamaan kameleitaan keskenään.

Lentokoneella maapallon ympäri

Kokenut lentäjä on päättänyt lentää maapallon ympäri tekemättä yhtään välilaskua. Lentokoneen polttoainetankkiin mahtuu polttoainetta niin paljon, että sillä voi lentää puolet matkasta, siis maapallon toiselle puolelle. Lentokoneeseen voi tankata lisää polttoainetta normaalisti lentokentällä, mutta lisäksi myös ilmassa toisen koneen tankista, jolloin lentomatkaa saadaan lisää. Polttoainetta luovuttavan koneen lentomatka vastaavasti lyhenee.


Lentäjä lähtee lennolle päiväntasaajalla olevalta lentokentältä ja kiertää maapallon päiväntasaajaa pitkin. Samalla lentokentällä on myös muita täysin samanlaisia lentokoneita, jotka voivat avustaa maailmanympärilentoa. Ne lentävät samaa vauhtia ja niiden polttoainetankit ovat yhtä suuret. Kaikki lentokoneet on saatava lopuksi ehjänä lähtökentälle. Muille lentokentille ei saa laskeutua eivätkä koneet saa päästä putoamaan polttoaineen loppumisen vuoksi.

Miten lennon voi järjestää? Kuinka monta lentokonetta tarvitaan maapalloa kiertävän lentokoneen avuksi, jotta lento onnistuu? Tankkaaminen sekä kentällä että ilmassa onnistuu niin nopeasti, että sen kestosta ei tarvitse tehtävässä välittää.

Tarvitaan kaksi avustavaa lentokonetta. Ajatellaan päiväntasaaja ympyränä, jota lentokone kiertää myötäpäivään. Jaetaan ympyrän kehä kahdeksaan osaan. Merkitään lentokenttää A:lla ja pisteitä siitä eteenpäin kahdeksasosakierroksen välein kirjaimilla B-H. Kutsutaan lentäjän konetta L:ksi ja kahta avustavaa konetta X:ksi ja Y:ksi.


Ensin liikkeelle lähtevät koneet L, X ja Y. Kun on saavuttu pisteelle B eli kahdeksasosakierroksen kohdalle, täytetään L:n ja X:n tankit Y:ltä, jonka jälkeen Y:llä on vain neljäsosatankillinen jäljellä. L ja X jatkavat matkaa ja Y palaa takaisin lentokentälle.

Kun L ja X saapuvat pisteelle C, luovuttaa X neljäsosatankillisen L:lle ja lähtee paluumatkalle takaisin lentokentälle. L:llä on nyt edelleen täysi tankki, jonka avulla se voi kiertää aina pisteelle G asti. Siinä vaiheessa kun L on pisteessä E, lähtevät lentokentältä tankatut koneet X ja Y sitä vastaan vastapäivään.

Kun X ja Y ovat pisteessä H, luovuttaa Y neljäsosatankillisen X:lle. Y palaa lentokentälle ja X jatkaa pisteeseen G, jossa se kohtaa L:n. L:n tankki on juuri tyhjentymässä, mutta X luovuttaa sille neljäsosatankillisen. L ja X jatkavat kohti lentokenttää ja samaan aikaan lentokentältä lähtee tankattu Y jälleen niitä vastaan.

L, X ja Y kohtaavat pisteessä H, jossa Y luovuttaa neljäsosatankillisen sekä L:lle että X:lle. Nyt kaikilla on vähintään neljäsosatankillinen polttoainetta, jonka turvin ne pääsevät lentokentälle.

Vielä yksi väärennetty kolikko

En malta olla laittamatta edellisen punnitustehtävän perään toista vastaavaa. Jos edelliset punnitustehtävät olivat helppoja, on tässä vielä yksi hiukan vaikeampi.


Kolikoita on 12 kappaletta, joista yksi on väärennös. Sitä ei tiedetä, onko väärä raha painavampi vai kevyempi kuin muut. Väärä kolikko pitäisi löytää tasapainovaakaa käyttäen kolmella punnituksella. Samalla pitäisi selvittää onko raha kevyempi vai painavampi. Miten se onnistuu?

Merkitään kolikoita kirjaimilla A:sta M:ään.

Punnitaan ensin ABCD ja EFGH. Jos vaaka on tasapainossa, on väärä raha joukossa IJKL. Punnitaan sitten ABC ja IJK. Jos vaaka on tasapainossa, on väärä raha L, ja sen painoero selviää punnitsemalla sitä aidon rahan A kanssa. Jos ABC ja IJK olivatkin epätasapainossa, on väärä raha joukossa IJK. Tässä vaiheessa saatiin selville myös se onko väärä raha kevyempi (IJK nousee) vai painavampi (IJK painuu). Punnitaan I ja J. Jos vaaka on tasapainossa, on väärä raha K, muuten väärä raha selviää sen perusteella, mitä saatiin jo selville eli onko väärä raha kevyempi vai painavampi.

Jos vaaka oli epätasapainossa ensimmäisessä punnituksessa, on väärä raha joukossa ABCDEFGH. Paina mieleen mihin suuntaan vaaka kallistui, sillä se kertoo onko väärennös kevyempi vai painavampi aivan lopuksi, kun on selvinnyt mikä kolikoista on väärennös. IJKL ovat varmasti aitoja.

Punnitaan sitten ABCE ja DIJK, jotta saadaan lisää tietoa. Jos vaaka on tasapainossa, on väärä raha joukossa FGH, koska ne on poistettu punnituksesta. Jos vaaka kallistuu samoin kuin ensimmäisessä punnituksessa on väärä raha joukossa ABC, koska ne ovat samassa vaakakupissa kuin aluksi. Jos vaaka kallistuu eri suuntaan kuin ensimmäisellä kerralla, on väärä raha joukossa ED, koska ne on siirretty eri kuppeihin.

Jos etsitty raha on joukossa ABC, punnitaan A ja B. Jos vaaka kallistuu kuten ensimmäisellä kerralla, on väärä raha A. Jos vaaka kallistuu toiseen suuntaan, on väärä raha B. Jos vaaka on tasapainossa, on väärä raha C. Vastaavalla tavalla löytyy väärennös kolikoiden FGH joukosta.

Jos etsitty raha on joukossa ED, punnitaan A ja E. Jos vaaka on tasapainossa, on väärä raha D. Jos vaaka on epätasapainossa, on väärä raha E.

Toivottavasti ratkaisusta saa selvää eikä siihen pujahtanut virheitä. Tämä on vain yksi tapa ratkaista ongelma.

Väärennetty kolikko

Tällä kertaa etsitään väärää rahaa. Pöydällä on kahdeksan kolikkoa ja perinteinen tasapainovaaka. Yksi kolikoista on väärennös mutta se eroaa muista vain painonsa puolesta. Väärennetty kolikko on nimittäin hiukan kevyempi. Aikaa on vain vähän ja sinun olisi erotettava väärä kolikko aidoista kahdella punnituksella. Miten se onnistuu?

Entä jos kolikoita onkin kymmenen ja saat tehdä kolme punnitusta? Jotta tehtävä olisi vaikeampi, ei tällä kertaa kukaan tiedä, onko väärennetty kolikko kevyempi vai painavampi. Sinun on pystyttävä selvittämään myös se.

Ensimmäinen tehtävä on varsin helppo. Merkitään kahdeksaa kolikkoa kirjaimilla A:sta H:hon. Ensin laitetaan ensimmäiseen vaakakuppiin kolikot ABC, ja toiseen kuppiin kolikot DEF. Jos vaaka on tasapainossa, punnitaan seuraavaksi kolikot G ja H, joista kevyempi on väärennös. Jos ensimmäinen punnitus oli epätasapainossa, otetaan kevyemmältä puolelta kaksi kolikkoa ja punnitaan ne. Jos vaaka on tasapainossa, on kolmas kolikko väärennös, muussa tapauksessa tietenkin se, joka on kevyempi.

Toinen tehtävä on hieman vaikeampi. Merkitään kymmentä kolikkoa kirjaimilla A:sta J:hin. Aloitetaan laittamalla kolikot ABC yhteen kuppiin ja DEF toiseen. Sitten punnitaan kolikot ABC ja GHI.

Jos molemmat punnitukset ovat olleet tasapainossa, on J väärä raha. Punnitaan se kolikon A kanssa. Silloin selviää onko kolikko kevyempi vai painavampi.

Jos ensimmäinen punnitus oli epätasapainossa ja toinen tasapainossa, tiedetään, että väärä raha on joukossa DEF. Jos ensimmäinen ja toinen punnitus olivat epätasapainossa, tiedetään, että väärä raha on joukossa ABC. Jos ensimmäinen punnitus oli tasapainossa ja toinen epätasapainossa, on väärä raha joukossa GHI.

Tässä vaiheessa tiedetään missä kolmen joukossa väärä raha on ja onko se kevyempi tai painavampi. Punnitaan kolmesta epäilyksenalaisesta kolikosta kaksi keskenään. Jos vaaka on epätasapainossa, on väärä raha löytynyt. Jos vaaka on tasapainossa, on viimeinen vielä punnitsematon kolikko väärennös.

On olemassa vaikeampiakin vastaavia punnitustehtäviä. Niistä ehkä lisää myöhemmin.

Neljä retkeilijää sillalla

Neljä retkeilijää on lähtenyt patikoimaan metsään. Paluumatkalla ehtii jo tulla yö ja heidän olisi vielä ylitettävä yksi kiikkerä riippusilta joen yli. Sillalle voi mennä vain kaksi kerrallaan. Retkeilijöillä on mukanaan vain yksi taskulamppu, jota ilman ei sillalle ole asiaa.

Retkeilijä A:lla kuluu sillan ylitykseen 1 minuutti, B:llä 2 minuuttia, C:llä 5 minuuttia ja D:llä peräti 10 minuuttia. Kahdestaan retkeilijät kulkevat sitä nopeutta mitä hitaampi heistä uskaltaa kulkea.

Onko heidän mahdollista ylittää silta 17 minuutissa?

Ylitys onnistuu näin:
A ja B kulkevat yhdessä sillan yli (2 min), jonka jälkeen A palaa sillan yli yksin (1 min). A antaa taskulampun C:lle joka yhdessä D:n kanssa ylittää sillan (10 min). C antaa taskulampun B:lle, joka palaa sillan yli A:n luokse (2 min). A ja B kulkevat toistamiseen yhdessä sillan yli (2 min).

Kolme karkkipussia

Sinulla on kolme ruskeaa paperipussia, joissa on karkkeja. Yhdessä pussissa lukee "nallekarkkeja", toisessa "lakuja" ja kolmannessa "nallekarkkeja ja lakuja". Kaikki tekstit on kuitenkin kirjoitettu vahingossa vääriin pusseihin.

Et saa kurkistaa pusseihin, mutta saat ottaa yhdestä pussista yhden karkin. Sen perusteella sinun pitäisi korjata kaikkien pussien tekstit oikein. Onko tämä tehtävä mahdollista ratkaista?

Kyllä se onnistuu, kun muistat, että kaikkien pussien nimet ovat väärin. Ota yksi karkki pussista, jossa lukee "nallekarkkeja ja lakuja". Jos se on nallekarkki, on kyseessä oltava nallekarkkipussi. Silloin voit myös päätellä, että lakupussi on se, jossa lukee "nallekarkkeja" ja sekoituspussi on se, jossa lukee "lakuja".

Vastaavasti jos poimimasi karkki oli laku, on kyseessä lakupussi. Nallekarkkipussi on se, jossa lukee "lakuja" ja sekoituspussi on se, jossa lukee "nallekarkkeja".