Turkinpippurit

Kuva: str4nd. Lisenssi: CC-BY-SA 3.0

Pöydällä on kaksi kulhoa. Ensimmäisessä on 50 mustaa ja toisessa 50 valkoista karkkia. Silmäsi sidotaan ja saat poimia yhden makeisen sokkona yhdestä kulhosta. Pidät eniten mustista salmiakkikarkeista, joten yrität tietysti saada poimittua sellaisen. Ennen kun silmäsi sidotaan saat vielä tilaisuuden järjestellä karkit kulhoihin niin kuin haluat.

Miten karkit kannattaa järjestää, jotta todennäköisyys poimia sokkona musta karkki olisi suurin?

Lähtötilanteessa todennäköisyys saada musta karkki on 1/2, sillä joko valitset kulhon 1, jossa on vain mustia karkkeja (todennäköisyys saada musta karkki = 1) tai valitset kulhon 2, jossa ei ole mustia karkkeja (todennäköisyys saada musta karkki = 0).

Todennäköisyyksiä kannattaa säätää siten, että kulhosta 1 siirretään mustia karkkeja kulhoon 2. Silloin todennäköisyys saada musta karkki kulhosta 1 on edelleen 1, mutta todennäköisyys saada musta karkki kulhosta 2 nousee. Esim. jos kulhossa 2 on yksi musta karkki valkoisten lisäksi, on todennäköisyys silloin kulhon 2 osalta 1/51.

Tätä päättelyä seuraamalla huomataan, että ensimmäiseen kulhoon kannattaa jättää vain yksi musta karkki ja siirtää toiseen kulhoon kaikki loput mustat karkit valkoisten seuraksi.

Kun valitset sokkona yhden kulhon ja siitä yhden karkin, ovat vaihtoehdot seuraavat:
1) Valitset kulhon 1 ja sieltä ainoan eli mustan karkin. Tämän tapahtuman todennäköisyys on 1/2 x 1/1 = 1/2.
2) Valitset kulhon 2 ja sieltä mustan karkin. Todennäköisyys 1/2 x 49/99 = 49/198.
3) Valitset kulhon 2 ja sieltä valkoisen karkin. Todennäköisyys 1/2 x 50/99 = 50/198.

Näin ollen musta karkki sattuu sormiin todennäköisyydellä 1/2 + 49/198 = 99/198 + 49/198 = 148/198, ja valkoinen karkki puolestaan todennäköisyydellä 50/198. Todennäköisyys osua mustaan on siis melkein 3/4.