Robotille puuhaa

Kotaro-robotti, Tokion yliopisto. Kuva: Manfred Werner. Lisenssi CC-BY-SA 3.0

Eräs keksijä oli rakentanut robotin suorittamaan yksitoikkoisia tehtäviä. Ensimmäiseksi tehtäväkseen robotti sai käännellä kolikoita. Tehtävää varten keksijä oli levittänyt huoneen lattialle satoja kolikoita. Robotin tehtävä oli seuraava: valitse lattialta satunnaisesti yksi kolikko; jos se on klaavapuoli ylöspäin, heitä se ilmaan, ja jos se on kruunapuoli ylöspäin, käännä se ympäri. Tätä tehtävää robotin tuli suorittaa kunnes se sai käskyn lopettaa.

Robotti alkoi suorittaa tehtävää. Keksijä antoi sen jatkaa muutaman tunnin ajan. Mikä oli klaavojen ja kruunien suhde tehtävän suorituksen jälkeen?

Jokaisella kierroksella robotti valitsee yhden kolikon. Jos robotti on valinnut klaavan, muuttuu se kruunaksi todennäköisyydellä 1/2 (merkitään A:lla) ja pysyy klaavana samalla todennäköisyydellä 1/2. Jos robotti on valinnut kruunan, siitä tulee klaava varmasti eli todennäköisyydella 1 (merkitään B:llä).

Oletetaan, että klaavoja ja kruunia olisi yhtä paljon. Silloin robotti valitsee yhtä todennäköisesti klaavan tai kruunan. Siispä klaava muuttuu kruunaksi todennäköisyydellä 1/2 x 1/2 = 1/4, ja kruuna klaavaksi todennäköisyydellä 1/2 x 1 = 1/2. On siis paljon todennäköisempää, että klaavojen määrä kasvaa, eli klaavoja on tehtävän jälkeen varmastikin enemmän kuin kruunia.

Kokeillaan sitten tilannetta, jossa kruunia on vain 10% kaikista kolikoista. Silloin todennäköisyys, että klaava muuttuu kruunaksi, on 9/10 x 1/2 = 9/20. Kruuna muuttuu klaavaksi todennäköisyydellä 1/10 x 1 = 1/10. Klaava muuttuu siis kruunaksi paljon todennäköisemmin.

Millä kruunien ja klaavojen suhteella todennäköisyydet ovat tasapainossa? Tämän voi jo arvatakin siitä mikä oli todennäköisyyksien A ja A+B suhde, eli 1/3. Jos kruunia on 1/3 ja klaavoja 2/3, muuttuu klaava kruunaksi todennäköisyydellä 2/3 x 1/2 = 1/3, ja kruuna klaavaksi todennäköisyydellä 1/3 x 1 = 1/3. Todennäköisyys on sama, joten klaavojen ja kruunien suhde vaihtelee hieman tämän suhteen ympärillä.