Omenoita torilla

Vanha rouva myy torilla omenoita. Omenoita on laatikoittain. Muuan kiinnostunut ohikulkija kysyi paljonko omenoita on. Rouva vastasi seuraavasti: "En osaa laskea näin suuria määriä. Tiedän kuitenkin, että jos jaan omenat kahteen yhtä suureen kasaan, jää yksi omena yli. Samoin jos jaan omenat niin, että syntyy 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 tai 10 yhtä suurta kasaa, jää aina yksi omena yli. Jos omenat jakaa yhteentoista kasaan, ei jää yhtään omenaa yli."

Kuinka paljon omenoita oli vähintään?

Omenoita oli 25 201 kappaletta.

Ensin pitäisi löytää luku, joka on jaollinen luvuilla 2 - 10, esim. 2 x 3 x 4 x 5 x 6 x 7 x 8 x 9 x 10 = 3 628 800. Etsimme kuitenkin pienintä mahdollista sellaista lukua. Se löytyy, kun kokoamme pienimmän joukon tekijöitä, joiden avulla voidaan muodostaa kaikki luvut 2 - 10. Tekijät ovat 2, 3, 5 ja 7. Näiden tekijöiden avulla saadaan pienin mahdollinen luku, joka on jaollinen luvuilla 2 - 10: 2 x 2 x 2 x 3 x 5 x 7 = 2 520. Jos tähän lukuun lisätään 1, on totta, että jakamalla lukua 2:lla, 3:lla jne. jää aina jäljelle yksi. Mutta 2 521 ei ole jaollinen yhdellätoista.

Luku 2 520 voidaan kuitenkin kertoa millä tahansa kokonaisluvulla ja se on silti jaollinen luvuilla 2 - 10. Etsitään siis pienin sellainen luvun 2 520 ja jonkin kokonaisluvun tulo, joka on jaollinen yhdellätoista. Jakolaskun 2 520 / 11 jakojäännös on 1, joten 2 520 x 2 / 11 jakojäännös on 2, 2 520 x 3 / 11 jakojäännös on 3 jne. Jakolaskun 2 520 x 10 / 11 jakojäännös on siis 10.

Tähän lukuun 25 200 kun lisätään vielä 1, se on jaollinen yhdellätoista ja jakojäännökset ovat aina 1 jaettaessa luvuilla 2 - 10.