Johtosotku

Peter Alexander Robb. CC-BY-NC-SA 3.0.

Laatikossa on 100 sähköjohdon pätkää. Ota laatikosta sattumanvaraisesti yksi johdonpää, sitten sattumanvaraisesti toinen johdonpää, ja yhdistä ne. Tee sama uudestaan niin monta kertaa, että laatikossa ei ole enää yhtään vapaata johdonpäätä. Kuinka monta johtosilmukkaa laatikossa on nyt keskimäärin? Entä jos johtoja onkin tietty tuntematon määrä n?

Joka kierroksella laatikosta valitaan 2 johdonpäätä, jotka yhdistetään. Valinnan jälkeen laatikossa on kaksi johdonpäätä vähemmän. Jos johtoja on n kpl, kierroksia käydään myös n kpl, ennen kuin kaikki johdonpäät on käyty läpi.

Jokaisella kierroksella on kaksi vaihtoehtoa:
a) Valitaan sattumalta saman johdon molemmat päät, jolloin syntyy silmukka.
b) Valitaan kahden eri johdon päät, jolloin muodostuu pidempi johto.

Tapausten a) ja b) todennäköisyydet riippuvat vain siitä kuinka mones kierros on menossa. Jos jäljellä on x johtoa, on tapauksen a) todennäköisyys 1 / (2x - 1). Ensimmäinen johdonpää valitaan 2x:stä vaihtoehdosta ja jälkimmäinen (2x - 1):stä vaihtoehdosta, joista vain yksi on jo valitun johdon toinen pää.

Kun silmukan syntymisen todennäköisyys per kierros on tiedossa, voidaan laskea silmukoiden määrän odotusarvo. Käydään läpi kaikki kierrokset yhdestä n:ään ja summataan kullakin kierroksella syntyvän silmukan todennäköisyys: 1 / (2n - 1) + 1 / (2n - 3) + ... + 1, eli:

100:n johdon tapauksessa summaksi tulee n. 3,3. Syntyy siis keskimäärin vain 3 silmukkaa. Samalla kaavalla voidaan myös todeta, että 1000:n johdon tapauksessakin silmukoita syntyisi vain 4 kpl.