Punainen täplä otsassa

Leo Reynolds. CC-BY-NC-SA.

Kolme viisasten kerhon jäsentä kiistelee siitä kenellä heistä on nopeimmat hoksottimet. Kerhon puheenjohtaja sattuu kuulemaan keskustelun ja ehdottaa tapaa selvittää asia: "Sulkekaa silmänne. Maalaan jokaisen otsaan täplän, joko punaisen tai sinisen. Sitten avatkaa silmänne ja nostakaa toinen kätenne ylös, jos näette yhdenkin punaisen täplän. Nokkelin teistä on se, joka ensimmäiseksi pystyy sanomaan oman täplänsä värin."

Kaikki kolme sulkevat silmänsä ja puheenjohtaja maalaa punaisen täplän jokaisen otsaan. He avaavat silmänsä, näkevät punaiset täplät toistensa otsissa ja kaikki kolme nostavat kätensä ylös.

Hetken päästä yksi heistä sanoo, että hänen otsassaan on punainen täplä. Miten hän päätteli värin?

Merkitään kilpailijoita kirjaimilla A, B ja C. Otetaan tarkasteluun A, joka voi päätellä seuraavasti. Jos A:lla olisi sininen täplä otsassaan, voisivat B ja C helposti päätellä oman täplänsä värin. B nimittäin näkisi, että C on nostanut kätensä, mutta A:lla on sininen täplä, joten B:llä itsellään olisi oltava punainen täplä. Jos siis B tai C eivät nopeasti ilmoita oman täplänsä väriä, on selvää, että A:n täplän väri ei voi olla sininen. A:n sijasta saman päättelyn voisi tietysti tehdä myös B tai C. Nopein päättelijä voittaa.

Kello on pysähtynyt

Muuan erakko asuu kaukana sivistyksen ulkopuolella majassaan. Eräänä päivänä hän huomaa, että hän on unohtanut vetää seinäkellonsa ja se on pysähtynyt. Hänellä ei siis ole mitään tietoa oikeasta ajasta. Ajankulusta tarkka erakko päättää selvittää mitä kello on.

Erakko pitää yhteyttä muualle maailmaan vain kirjekyyhkyn avulla, joka osaa lentää läheiseen kylään erakon siskon luokse. Erakko tietää, että koulutettu kyyhky kulkee matkan suorinta reittiä ja aina yhtä nopeasti, mutta ei tiedä, kuinka kauan aikaa matkaan kuluu.

Millä tavalla erakko saa kellonsa näyttämään jälleen oikeaa aikaa?

Erakko kirjoittaa kirjekyyhkyn mukaan viestin, jossa hän pyytää siskoaan kirjoittamaan ylös kellonajan jolloin kyyhky saapui ja kellonajan jolloin kyyhky lähti takaisin. Sitten erakko vetää kellon käyntiin, kirjoittaa ylös mitä aikaa kello näyttää ja lähettää kyyhkyn matkaan. Kirhekyyhky lentää kylään, sisko tekee työtä käskettyä ja lähettää kyyhkyn takaisin.

Erakko tietää nyt mihin aikaan hänen kellonsa mukaan kyyhky lähti (A), mihin oikeaan aikaan se oli perillä (B) ja mihin aikaan lähti takaisin (C), sekä mihin aikaan hänen oman kellonsa mukaan kyyhky palasi (D). Sanotaan, että X on B:n ja C:n välinen aikaero, eli kuinka kauan aikaa kului kyyhkyn ollessa perillä siskon luona, ja Y on A:n ja D:n välinen aikaero, eli kuinka paljon aikaa kului kaiken kaikkiaan.

Y:n ja X:n erotus Z on aika, joka kyyhkyltä kului matkoihin, joten sen puolikas on yhdensuuntaiseen matkaan kulunut aika. Oikea kellonaika kyyhkyn palatessa on siis C + Z/2.

Postia aavikon yli

Tärkeä postilähetys olisi saatava vietyä hiekka-aavikon toisella puolella olevaan kylään. Aavikon ylitys kestää kuusi päivää. Postinkantaja voi ottaa mukaansa korkeintaan neljän päivän ruoka- ja juomatarpeet, mutta sen lisäksi hän voi palkata apulaisia kantamaan lisää ruokaa ja juomaa. Postinkantaja tai yksikään apulainen ei saa nääntyä aavikolle, vaan tehtävän lopuksi jokaisen on päästävä joko aavikon yli tai palattava takaisin lähtöpaikkaan.

Kuinka monta apulaista tehtävän suorittamiseen tarvitaan vähintään? Kuinka monta matkapäivää kertyy postinkantajalle ja apulaisille?

Tehtävän voi suorittaa ainakin kolmella eri tavalla. Eri tavoissa vaihtelevat apulaisten ja matkapäivien määrät.

Suoraviivaisimmalla tavalla apulaisia tarvitaan kaksi. Postinkantaja ja apulaiset pakkaavat täyden varaston ruokaa mukaansa ja lähtevät yhdessä matkaan. Päivän kuluttua yksi apulainen antaa pois kahden päivän ruokatarpeet. Hänelle jää ruokaa ja juomaa yhdeksi päiväksi, joiden turvin hän ehtii palaamaan lähtöpaikkaan. Muut jatkavat eteenpäin.

Toisen päivän kuluttua apulainen antaa yhden päivän ruokatarpeet postinkantajalle ja lähtee palaamaan lähtöpaikkaan kahden päivän ruokatarpeiden kanssa. Postinkantajalla on nyt neljän päivän matka jäljellä ja sopivasti ruokaa neljän päivän tarpeiksi. Kaikkiaan tarvittiin siis kaksi apulaista, jotka olivat matkalla 6 päivää. Yhteensä postinkantaja ja apulaiset käyttivät 12 päivää.

Kuljetus voidaan järjestää toisellakin tavalla, jos oletetaan, että kohteena olevaan kylään voi soittaa ja sopia, että sieltä lähetetään apulainen vastaan ruuan ja veden kanssa. Tässäkin tapauksessa tarvitaan kaksi apulaista, mutta heidän tarvitsee olla matkalla yhteensä vain 4 päivää. Yhteensä matkapäiviä tulee siis 10.

Postinkantaja ja yksi apulainen lähtevät yhtä aikaa matkaan. Yhden päivän kuluttua apulainen luovuttaa yhden päivän ruokatarpeet ja palaa lähtöpaikkaan. Postinkantaja jatkaa matkaa viidenteen päivään saakka, jolloin ruoka on lopussa. Neljäntenä päivänä aavikon toiselta puolelta lähtee vastaan yksi apulainen. He tapaavat viidentenä päivänä ja kulkevat yhdessä kuudennen päivän kohteeseen.

Näiden kahden tavan lisäksi on olemassa myös tapa järjestää kuljetus ilman apulaisia, mutta postinkantajalle tulee enemmän matkapäiviä. Ensin hän kulkee yhden päivän matkan aavikolle ja jättää kahden päivän ruokatarpeet sopivaan piiloon. Postinkantaja palaa lähtöpaikkaan ja aloittaa matkan uudestaan. Oletetaan, että postinkantaja pystyy aina löytämään piilottamansa ruuan. Päivän kuluttua hän ottaa piilosta yhden päivän ruokatarpeet ja jatkaa matkaa.

Toisen päivän kulkemisen jälkeen hän piilottaa jälleen kahden päivän ruokatarpeet ja palaa takaisin yhden päivän matkan ensimmäiselle ruokapiilolle. Sen turvin hän palaa takaisin lähtöpaikkaan. Kolmannella matkalla hän kulkee suoraan kahden päivän kohdalla olevalle piilolle ja täyttää sieltä ruokavarantonsa. Nyt hänellä on jäljellä olevalle neljän päivän matkalle riittävät ruokatarpeet. Kaikkiaan aikaa tehtävän suoritukseen kului 12 päivää.

Tehtävä Venuksessa

Astronautti lähetettiin Venukseen suorittamaan tehtävää. Perille pääsyn jälkeen lennonjohto antoi hänelle kaksi vaihtoehtoa. Astronautti voisi jäädä Venukseen joko yhdeksi vuorokaudeksi tai yhdeksi vuodeksi, jonka jälkeen olisi aika palata Maahan. Vuorokauden käynnistä maksettaisiin miljoonan euron palkkio, vuodesta kahden miljoonan euron palkkio. Hänellä olisi koko ajan käytössään sopiva asumus, riittävästi ruokaa ja juomaa sekä viihteeksi kirjoja ja elokuvia.

Kumpi vaihtoehto astronautin kannattaa valita ja miksi?

Venuksen pyörähdys itsensä ympäri eli vuorokausi kestää 244,3 maan vuorokautta. Venuksen kierros Auringon ympäri eli vuosi kestää 224,7 maan vuorokautta. Toisin sanoen Venuksessa vuosi on lyhyempi kuin vuorokausi mutta siitä maksetaan enemmän. Eiköhän silloin kannata valita vuoden keikka.

Marmorikuulat sekaisin

Sam Fentress. CC-BY-SA 2.0

Kauppaan oli tilattu 7 pientä pussia ja 18 isoa pussia marmorikuulia. Kuljetuksessa pussit olivat hajonneet ja kaikki 233 marmorikuulaa olivat levinneet kuljetuslaatikkoon. Kaupassa kukaan ei tiedä, montako kuulaa pienessä ja montako kuulaa isossa pussissa oli tarkoitus olla, eikä marmorikuulien ulkonäöstä pysty päättelemään minkäkokoiseen pussiin kukin kuula kuuluu.

Kaupan apulaiselle annetaan tehtäväksi pussittaa marmorikuulat uudelleen niin, että pusseihin tulee kaikkiin oikea määrä kuulia. Miten monta kuulaa hänen pitäisi laittaa pieneen pussiin ja montako isoon?

Olkoon A marmorikuulien määrä pienessä pussissa ja B isossa pussissa. Näin ollen 7 x A + 18 x B = 233.

Lisäksi tiedämme, että A:n ja B:n on oltava kokonaislukuja ja lisäksi A > 0, B > 0 ja A < B. Etsitään ison pussin kuulien lukumäärälle pienin ja suurin mahdollinen arvo. Oletetaan ensin, että A = B, jolloin 7 x B + 18 x B = 233 <=> 25 x B = 233 <=> B = 9,32. Koska B:n on oltava kokonaisluku, on pienin mahdollinen ison pussin marmorikuulien lukumäärä 10.

Oletetaan sitten, että pienessä pussissa on vain yksi kuula, eli A = 1, jolloin 7 x 1 + 18 x B = 233 <=> 18 x B = 226 <=> B = 12,555. Koska B:n on oltava kokonaisluku, on suurin mahdollinen ison pussin marmorikuulien lukumäärä 12.

Kokeilemalla B:n arvoja 10, 11 ja 12 alkuperäiseen yhtälöön saadaan pienen pussin kuulien lukumääräksi joko 7,57, 5 tai 2,42. Koska määrän on oltava kokonaisluku, on ainoa vaihtoehto se, että pienessä pussissa on 5 ja isossa 11 marmorikuulaa.

Omenoita torilla

Vanha rouva myy torilla omenoita. Omenoita on laatikoittain. Muuan kiinnostunut ohikulkija kysyi paljonko omenoita on. Rouva vastasi seuraavasti: "En osaa laskea näin suuria määriä. Tiedän kuitenkin, että jos jaan omenat kahteen yhtä suureen kasaan, jää yksi omena yli. Samoin jos jaan omenat niin, että syntyy 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 tai 10 yhtä suurta kasaa, jää aina yksi omena yli. Jos omenat jakaa yhteentoista kasaan, ei jää yhtään omenaa yli."

Kuinka paljon omenoita oli vähintään?

Omenoita oli 25 201 kappaletta.

Ensin pitäisi löytää luku, joka on jaollinen luvuilla 2 - 10, esim. 2 x 3 x 4 x 5 x 6 x 7 x 8 x 9 x 10 = 3 628 800. Etsimme kuitenkin pienintä mahdollista sellaista lukua. Se löytyy, kun kokoamme pienimmän joukon tekijöitä, joiden avulla voidaan muodostaa kaikki luvut 2 - 10. Tekijät ovat 2, 3, 5 ja 7. Näiden tekijöiden avulla saadaan pienin mahdollinen luku, joka on jaollinen luvuilla 2 - 10: 2 x 2 x 2 x 3 x 5 x 7 = 2 520. Jos tähän lukuun lisätään 1, on totta, että jakamalla lukua 2:lla, 3:lla jne. jää aina jäljelle yksi. Mutta 2 521 ei ole jaollinen yhdellätoista.

Luku 2 520 voidaan kuitenkin kertoa millä tahansa kokonaisluvulla ja se on silti jaollinen luvuilla 2 - 10. Etsitään siis pienin sellainen luvun 2 520 ja jonkin kokonaisluvun tulo, joka on jaollinen yhdellätoista. Jakolaskun 2 520 / 11 jakojäännös on 1, joten 2 520 x 2 / 11 jakojäännös on 2, 2 520 x 3 / 11 jakojäännös on 3 jne. Jakolaskun 2 520 x 10 / 11 jakojäännös on siis 10.

Tähän lukuun 25 200 kun lisätään vielä 1, se on jaollinen yhdellätoista ja jakojäännökset ovat aina 1 jaettaessa luvuilla 2 - 10.

Neljä ketjua

Anwinkle. CC-BY-SA 2.5

Asiakas tuo kultasepälle neljä lyhyttä ketjua, joista jokainen koostuu kolmesta renkaasta. Asiakas haluaisi, että kultaseppä kokoaa niistä yhden ranneketjun, jossa olisi kaikki 12 rengasta. Sepän täytyisi siis katkaista jotkin renkaat, jotta ne voidaan yhdistää. Millä tavalla kultasepän kannattaa toimia, jotta hänen tarvitsee katkaista mahdollisimman vähän renkaita?

Kultaseppä ottaa yhden kolmirenkaisen ketjun ja leikkaa jokaisen renkaan. Näiden kolmen renkaan avulla voi liittää kolme jäljellä olevaa ketjunpätkää toisiinsa.