2 = 1

Tässä todistus sille, että kaksi on yhtä kuin yksi. Vai onko sittenkään? Mikä todistuksessa menee pieleen?

             a = b
            aa = ab
       aa - bb = ab - bb
(a + b)(a - b) = b(a - b)
         a + b = b
         a + a = a
            2a = a
             2 = 1 

Koska a = b niin (a - b) = 0. Keskivaiheilla tehty jako (a - b):llä on nollalla jako, minkä tulosta ei ole määritelty. Siispä lopputulos ei ole oikein - onneksi.

Numeroita, numeroita, numeroita

Kuva: Deutsches Bundesarchiv. CC-BY-SA 3.0

Tässä muutama numeronäppäryyttä edellyttävä tehtävä. Miten seuraavat yhtälöt saadaan menemään oikein? Lisää oikeat symbolit: + - x /

A) 3 3 3 3 3 = 5
B) 4 4 4 4 4 = 5
C) 6 6 6 6 6 = 5
D) 7 7 7 7 7 = 5
E) 9 9 9 9 9 9 = 100
F) 10 10 10 10 10 = 99,9

Tässä muutama tapa saada yhtälöt kohdalleen. Muitakin vaihtoehtoja on löydettävissä. Muista, että laskusääntöjen mukaan kerto- ja jakolaskut lasketaan ennen yhteen- ja vähennyslaskuja. Sulkumerkit eivät olleet sallittujen symbolien joukossa.

A) 3 / 3 + 3 / 3 + 3 = 5
B) 4 / 4 + 4 + 4 - 4 = 5
C) 6 + 6 - 6 - 6 / 6 = 5
D) 7 - 7 / 7 - 7 / 7 = 5
E) 9 x 9 + 9 + 9 + 9 / 9 = 100
F) 10 x 10 - 10 / 10 / 10 = 99,9

Ajelulla

Vince Alongi. CC-BY.

Ajat polkupyörällä kauppaan 10 km/h nopeutta. Palaat kotiin samaa reittiä ajaen 20 km/h. Mikä oli keskinopeutesi koko matkalta, kun kaupassa kulunutta aikaa ei lasketa?

Entä kuinka kovaa sinun tulisi ajaa paluumatka, jotta keskinopeus olisi 20 km/h?

Ensimmäisessä tapauksessa keskinopeus ei ole 15 km/h, sillä paluumatkaan kuluu lyhyempi aika. Kuvitellaan, että kauppa on 10 km päässä. Menomatkaan kuluu tunti ja paluumatkaan puoli tuntia, siis yhteensä tien päällä ollaan 1,5 h ja matkaa tulee 20 km, siis keskinopeus on 20 km / 1,5 h, eli noin 13,3 km/h.

Tämä tulos ei riipu matkasta. Jos kauppa onkin 6,6 km päässä, menomatkaan kuluu n. 0,66 tuntia ja paluumatkaan n. 0,33 tuntia, joten keskinopeus on jälleen 13,3 km/h.

Toisen kysymyksen vastaus voi olla yllättävämpi. Oletetaan matkaksi taas 10 km. Jos paluumatka poljettaisiin esim. 100 km/h, joka on ehkä useimmille jo hieman epärealistinen polkemisnopeus, tulisi paluumatkan kestoksi 0,1 h. Koko matkan keskinopeus olisi 20 km / 1,1 h eli noin 18,2 km/h. Kokeillaan nostaa paluumatkan nopeus 1000 km/h asti. Silloin matkan keskinopeus olisi 20 km / 1,01h eli noin 19,8 km/h.

Vaikka paluumatkan nopeutta kuinka nostetaan, se ei koskaan riitä nostamaan keskinopeutta 20 km/h asti. Kun nopeus kasvaa, myös paluumatkaan kuluva aika lyhenee ja vaikutus keskinopeuteen pienenee.

Tyttöjä ja poikia

Eräässä maassa jokainen pariskunta haluaa tyttölapsen. Perinteeseen kuuluu, että lapsia tehdään niin kauan, kunnes perheeseen tulee ensimmäinen tyttö. Tytön saamisen jälkeen lasten tekeminen lopetetaan. Perheeseen voi siis kuulua yksi tyttö, tai yksi poika ja tyttö, tai kaksi poikaa ja tyttö, tai kolme poikaa ja tyttö jne.

Kun tämä tapa on jatkunut jo pitkään, kuinka paljon enemmän kyseisessä maassa on poikia/miehiä, kuin tyttöjä/naisia, eli mikä on sukupuolten välinen suhde?

Oletetaan ensinnäkin, että poika- ja tyttölapsen saaminen on yhtä todennäköistä. Kuvitellaan sitten esimerkinomaisesti, että pariskuntia on 80 ja he kaikki hankkivat lapsen. Ensimmäisenä vuonna syntyy keskimäärin 40 tyttöä ja 40 poikaa. Ne perheet, joissa on poika, ryhtyvät tekemään seuraavaa lasta. Toisena vuonna syntyy keskimäärin 20 tyttöä ja 20 poikaa. Sitä seuraavana vuonna 20 perhettä hankkii kolmannen lapsen, joista keskimäärin 10 on poikia ja 10 tyttöjä. Näin jatketaan, kunnes viimeisessäkin perheessä on tyttö.

Esimerkistä voidaan nähdä, että poikia ja tyttöjä syntyy keskimäärin yhtä paljon. Kutakin lasta hankittaessa todennäköisyys saada poika tai tyttö on yhtä suuri. Syntyvien lasten sukupuolten suhteeseen ei vaikuta se mitkä pariskunnat lapsia hankkivat tai kuinka monta kertaa.

Vettä riittää jaettavaksi kahdelle

Tahoenathan. CC-BY-SA 3.0.

Olet eksynyt ystäväsi kanssa hiekka-aavikolle. Päätätte lähteä eri suuntiin etsiäksenne tien pois aavikolta. Teillä on mukananne täysi 8 litran vesikanisteri, tyhjä 5 litran kanisteri ja tyhjä kolmen litran kattila. Miten saatte jaettua 8 litraa vettä tarkalleen kahteen osaan? Keksitkö kaksi tapaa jaon suorittamiseksi?

Kaada kolmen litran kattila täyteen 8 litran kanisterista. Kaada sitten kattilan sisältö 5 litran kanisteriin. Täytä kattila jälleen vedellä 8 litran astiasta. Täytä 5 litran astia kattilasta. Nyt kattilassa on yksi litra. Tyhjennä 5 litran kanisterin sisältö 8 litran kanisteriin ja sen jälkeen kattilassa oleva litra 5 litran kanisteriin. Kaada sitten kattila täyteen 8 litran kanisterista ja tyhjennä kattila viiden litran astiaan. Nyt 8 ja 5 litran kanistereissa on molemmissa 4 litraa vettä.

Toinen ratkaisu:

Täytä 5 litran kanisteri 8 litran kanisterista. Täytä sitten kolmen litran kattila viiden litran kanisterista ja kaada nuo kolme litraa takaisin 8 litran astiaan. Kaada viiden litran kanisterissa olevat kaksi litraa kattilaan. Täytä viiden litran kanisteri 8 litran kanisterista. Kolmen litran kattilassa on nyt kaksi litraa. Täytä kattila yhdellä litralla 5 litran kanisterista. Kaada lopuksi kattilan sisältö 8 litran kanisteriin. Nyt 8 ja 5 litran kanistereissa on neljä litraa kummassakin.

Vangin vapautus

Yuma. CC-BY-SA 3.0

Kaukaisen maan kaheli kuningas on valtakautenaan vanginnut lukemattomia toisinajattelijoita vankityrmään. Syntymäpäivänsä kunniaksi kuningas antaa yhdelle vangille erikoisen mahdollisuuden. Pöydällä on 50 valkoista ja 50 mustaa kuulaa sekä kaksi kulhoa. Vanki saa itse jakaa kuulat kulhoihin haluamallaan tavalla. Kun kuulat on jaettu, vangin silmät sidotaan ja hänen tulee valita sokkona yksi kuula. Jos kuula on valkoinen, vanki pääsee vapauteen. Jos kuula on musta, hänet teloitetaan.

Millä tavalla vangin kannattaa jakaa kuulat kahden kulhon välillä?

Hänen kannattaa laittaa ensimmäiseen kulhoon yksi valkoinen kuula ja toiseen kaikki loput kuulat. Silloin vaihtoehdot ovat seuraavat:
1) Vanki valitsee ensimmäisen kulhon, jolloin hän saa varmuudella valkoisen kuulan.
2) Vanki valitsee toisen kulhon, jolloin todennäköisyys saada valkoinen kuula on 49/99.

Valkoisen kuulan saamisen todennäköisyys on siis 1/2 x 1 + 1/2 x 49/99 = 148/198 eli noin 3/4.

Ajasta aikaan

Neurovelho. CC-BY-SA 3.0.

Hyvää uutta vuotta 2010!

Vuoden vaihteen kunniaksi muutama ajan kulkuun liittyvä kysymys:
1) Mikä kuukausi oli vuoden 2009 lyhyin ja mikä pisin?
2) Mikä vuosista 2000 - 2009 oli pisin?

1)
Ensin hölmö vastaus: pisin oli maalis- tai marraskuu, koska niissä on yhdeksän kirjainta, lyhyin oli elokuu, jossa on kuusi kirjainta. Sitten parempi vastaus: lyhyin kuukausi oli luonnollisesti helmikuu, 28 vuorokautta. Pisin kuukausi oli lokakuu, jossa oli 31 vuorokautta + 1 tunti talviaikaan siirtymisen johdosta.

2)
Vuoden 2008 pituus oli 366 vuorokautta + 1 sekunti, koska se oli karkausvuosi (helmikuussa 29 päivää) ja vuoteen lisättiin myös karkaussekunti. Myös vuodet 2000 ja 2004 olivat karkausvuosia ja vuoteen 2005 lisättiin karkaussekunti, mutta vain vuosi 2008 sai sekä karkauspäivän että karkaussekuntin.

Karkausvuosia ovat neljällä jaolliset vuodet. Poikkeuksena neljällä jaollisista vuosista sadalla jaolliset eivät ole karkausvuosia, paitsi niistä 400:lla jaolliset, jotka ovat karkausvuosia. Karkauspäivän avulla korjataan ajanlaskua, sillä maapallon kulku auringon ympäri kestää 365 vuorokautta + noin 6 tuntia, ja ilman karkauspäivää kuukaudet siirtyisivät hiljalleen vääriin vuodenaikoihin. Karkaussekunteja taas lisätään tarpeen mukaan vuoden loppuun maapallon pyörimisliikkeen hidastuessa.