Vettä ja viiniä

Kuvan tekijä: Gnangarra. Lisenssi: CC-BY 2.5.

Edessäsi on kaksi tynnyriä, joista toisessa on vettä ja toisessa viiniä. Molemmissa on kuitenkin täsmälleen yhtä paljon nestettä.

Viinitynnyristä otetaan litra viiniä ja kaadetaan se vesitynnyriin, jossa se sekoittuu veden kanssa. Sen jälkeen vesitynnyristä otetaan litra nestettä ja kaadetaan se viinitynnyriin. Lopuksi siis molemmissa tynnyreissä on jälleen sama määrä nestettä.

Onko nyt viinitynnyrissä enemmän vettä kuin vesitynnyrissä viiniä tai toisin päin?

Viinitynnyrissä on yhtä paljon vettä kuin vesitynnyrissä viiniä. Tämän voi todistaa laskemalla mutta asian voi myös päätellä helposti. Vesitynnyrissä on tietty määrä viiniä, joka on otettu viinitynnyristä. Jotta pinnat olisivat tasassa, on viinitynnyriin täytynyt lisätä täsmälleen sama määrä vettä.

Tässä myös visuaalinen esitys asiasta, kiitokset Juusolle. Oletetaan, että viinitynnyrissä on aluksi kolme litraa viiniä ja vesitynnyrissä kolme litraa vettä. Kuva A on lähtötilanne. Yksi neliö on neljänneslitra, joten yksi rivi kuvassa A vastaa yhtä litraa.


Kuvassa B viinitynnyristä on otettu litra ja se on kaadettu vesitynnyriin. Kuvassa C vesitynnyristä on otettu litra nestettä, joka sisälsi nyt kolme neljäsosaa vettä ja yhden neljäsosan viiniä.

Mitähän kello on?

Tutkitaan kellotaulua. Tuntiviisari on tarkalleen jonkin minuuttimerkin kohdalla ja minuuttiviisari on kuusi minuuttimerkkiä sitä edellä. Odotellaan ja tutkitaan kelloa sitten uudelleen. Nyt tuntiviisari on tarkalleen jonkin toisen minuuttimerkin kohdalla ja minuuttiviisari on seitsemän minuuttimerkkiä sitä edellä.

Kuinka paljon aikaa ehti kulua näiden kahden hetken välillä?

Kulkiessaan kellotaululla tunnin matkan käy tuntiviisari viiden minuuttimerkin kohdalla. Tuntiviisari ohittaa siis minuuttimerkin 12 minuutin välein, kun minuutit ovat 00, 12, 24, 36 ja 48. Tarkasteltavia hetkiä ovat 0:12, 0:24, 0:36, 0:48, 1:00, 1:12 jne.

Viisarien välillä on kuusi minuuttimerkkiä eroa kun kello on 1:12. Seitsemän minuuttimerkkiä eroa on kun kello on 3:24. Näiden välillä aikaa ehti siis kulua 2 tuntia 12 minuuttia.

Hattutemppu

Kaukaisessa maassa hallitsee mielipuolinen ja vallasta humaltunut kuningas. Kuninkaan tapana on ollut keksiä temppuja, joilla kiusata alamaisiaan. Tällä kertaa hän on lopen kyllästynyt kolmeen neuvonantajaansa ja päättää pistää heidät testiin.

Hän käskee heidät istumaan kolmeen tuoliin, jotka on asetettu peräkkäin jonoon. Takimmainen neuvonantaja näkee kaksi muuta, keskimmäinen näkee vain ensimmäisen ja ensimmäinen ei näe muita.

Kuningas näyttää heille viisi hattua: kaksi mustaa ja kolme valkoista. Sen jälkeen heidän silmänsä sidotaan siksi aikaa, että jotkin kolme viidestä hatusta asetetaan neuvonantajien päihin.

Kuningas antaa heille tehtävän: jonkun heistä on pystyttävä kertomaan, minkä värinen hattu hänellä on päässään. He eivät saa keskustella tai sopia keskenään mitään, eivätkä kurkistella omaa tai selän takana olevien hattuja. Ainoa asia minkä kukaan heistä saa tehdä, on sanoa ääneen oman hattunsa väri. Jos arvaus osuu oikeaan, he kaikki pääsevät vapaaksi. Jos arvaus on väärin, heidät kaikki mestataan.

Kestää puoli tuntia, jonka jälkeen jonossa ensimmäisenä oleva neuvonantaja kertoo oman hattunsa värin aivan oikein. Kuningas on pettynyt mutta vapauttaa neuvonantajansa.

Minkä värinen neuvonantajan hattu oli ja miten hän tiesi sen värin? Onnekkaasta arvauksesta ei ollut kyse.

Ensimmäinen neuvonantaja päätteli, että koska hänen takana olevat virkaveljensä eivät ole vastanneet, he eivät pysty päättelemään oman hattunsa väriä. Sen perusteella hän päätteli, että hänen hattunsa täytyy olla valkoinen. Päättelyketju on seuraava:

Takimmainen näkee kahden muun hatut. Jos ne ovat molemmat mustia, hän tietäisi heti oman hattunsa valkoiseksi ja sanoisi sen ääneen. Hän ei kuitenkaan sanonut mitään, joten keskimmäinen tietää, että takimmainen ei pysty päättelemään oman hattunsa väriä. Ensimmäisten kahden neuvonantajan hatut ovat siis joko musta ja valkoinen, valkoinen ja musta, tai valkoinen ja valkoinen.

Keskimmäinen näkee vain ensimmäisen neuvonantajan hatun. Edellisen perusteella jos hänen edessään olevalla olisi musta hattu, hänen oma hattunsa olisi väistämättä valkoinen. Mutta koska hän ei sanonut mitään, hänen edessään olevalla ensimmäisellä neuvonantajalla on oltava valkoinen hattu.

Kallis kahvihetki

Kuva: Julius Schorzman. Lisenssi: CC-BY-SA 2.0.

Kolme naista tapaa toisensa kahvilassa. Pitkän kahvihetken jälkeen on laskun maksamisen aika. Lasku on yhteensä 30 euroa, jonka he maksavat. Kahvilan omistaja huomaa heti laskuttaneensa väärin ja oikea hinta onkin 25 euroa. Omistaja antaa tarjoilijalle 5 euroa ja käskee häntä palauttamaan rahat naisille. Huonoon palkkaansa kyllästynyt tarjoilija päättää kuitenkin ottaa omatoimisesti kaksi euroa tippiä ja palauttaa naisille vain kolme euroa.

Nyt kukin naisista on maksanut 9 euroa eli yhteensä 27 euroa. Tarjoilija on pitänyt 2 euroa, joten summa on 29 euroa. Mihin ihmeeseen katosi yksi euro?

Kysymys johtaa tarkoituksella harhaan. Tarjoilijan ottamat 2 euroa ovat osa naisten maksamia 27 euroa, joten niitä ei pidä laskea yhteen. Loput 25 euroa menivät kahvilan kassaan.

Kolme lasta, mutta minkä ikäisiä?

Vierailin taannoin työtoverini kotona. Seinillä olevista kuvista selvisi, että hänellä on kolme tytärtä. Kysyin minkä ikäisiä he ovat, johon tuttavani totesi, että lasten ikien tulo on 72.

Ihmettelin tätä hetken ja kysyin sitten, voisiko hän antaa jonkin muun vihjeen. Hän hymyili ja kertoi, että lasten ikien summa on sama kuin hänen talonsa numero. En muistanut talon numeroa, joten käväisin nopeasti ulkona vilkaisemassa numerokylttiä.

Mietin taas hetken, mutta minun oli pakko myöntää, että en silti voinut päätellä vastausta. Kerroin tämän tuttavalleni, joka sanoi: "Olen pahoillani, unohdin aivan kertoa sinulle, että vanhin tyttäreni pitää erityisen paljon suklaakakusta vadelmien kanssa."

Silloin minulla oli tarpeeksi tietoa, että pystyin päättelemään kaikkien lasten iät. Kerroin ne tuttavalleni, joka myönsi minun olevan oikeassa.

Pystytkö sinä päättelemään minkä ikäisiä lapset ovat?

Luku 72 voidaan muodostaa kolmen luvun tulona näillä tavoin:
1 x 1 x 72 = 72
1 x 2 x 36 = 72
1 x 3 x 24 = 72
1 x 4 x 18 = 72
1 x 6 x 12 = 72
1 x 8 x 9 = 72
2 x 2 x 18 = 72
2 x 3 x 12 = 72
2 x 4 x 9 = 72
2 x 6 x 6 = 72
3 x 3 x 8 = 72
3 x 4 x 6 = 72

Näiden summat ovat vastaavasti:
1 + 1 + 72 = 74
1 + 2 + 36 = 39
1 + 3 + 24 = 28
1 + 4 + 18 = 23
1 + 6 + 12 = 19
1 + 8 + 9 = 18
2 + 2 + 18 = 22
2 + 3 + 12 = 17
2 + 4 + 9 = 15
2 + 6 + 6 = 14
3 + 3 + 8 = 14
3 + 4 + 6 = 13

Tästä huomataan, että vain kaksi tapausta on sellaisia, joiden summa on sama eli 14. Tämä on tärkeää, sillä vaikka tiesin tulon (72) ja summan (talon numero) en silti pystynyt päättelemään mitkä kolme lukua ovat. Vaihtoehtoja oli siis oltava useampia. Nämä kaksi vaihtoehtoa ovat 2, 6, 6, sekä 3, 3, 8.

Molemmissa tapauksissa perheessä on siis kaksoset, mutta vasta viimeinen vihje kertoo, että perheessä on vain yksi vanhin tytär. Tästä syystä oikeat iät ovat 3, 3 ja 8 vuotta.

Jalkapalloturnaus

Kuva: Manuel. Lisenssi: CC-BY-SA 2.0.

Turnaukseen osallistuu 97 jalkapallojoukkuetta. Joukkueet jaetaan pareihin, jotka pelaavat keskenään. Kunkin pelin voittaja pääsee jatkamaan seuraavalle kierrokselle, jossa joukkueet jälleen jaetaan pareihin, jotka pelaavat keskenään. Näin jatketaan kunnes voittaja on selvillä. Kuinka monta peliä täytyy pelata, jotta voittaja on selvillä?

Tämähän on periaatteessa laskutehtävä mutta vastauksen voi myös päätellä nopeasti siitä, että jokaisessa pelissä putoaa yksi joukkue ja lopuksi vain yksi joukkue on jäljellä. Siispä pelejä täytyy pelata 97 - 1 = 96.

Kävelyllä jossain päin maapalloa

Innokas sauvakävelijä lähti kävelylenkille. Hän käveli ensin kilometrin etelään, sitten kilometrin länteen ja lopuksi kilometrin pohjoiseen. Silloin hän huomasi olevansa jälleen lähtöpisteessä.

Mistä paikasta kävelijä lähti kävelylleen? Maapallolla on useita paikkoja, joissa tuollainen kävely on mahdollinen, joten yritä keksiä enemmän kuin yksi.

Helpoin vastaus on tietysti pohjoisnapa. Sen lisäksi etelänavan ympäristössä on lukemattomia paikkoja, joissa samanlainen kävelylenkki on mahdollista tehdä. Muutama esimerkki:

- Lähtöpiste on kilometri pohjoiseen mistä tahansa sellaisesta pisteestä, jossa leveyspiirin pituus on kilometri, eli maapallon akselin ympäri on kilometrin matka. Tällöin siis kävelijä kulkee ensin kilometrin etelään edellä mainittuun pisteeseen, sitten kävellessään länteen tulee kiertäneeksi maapallon, ja lopuksi kävelee pohjoiseen lähtöpisteeseensä.

- Lähtöpiste on kilometri pohjoiseen mistä tahansa sellaisesta pisteestä, jossa maapallon akselin ympäri on 500m matka. Tällöin kävelijä tulee kiertäneeksi maapallon kahdesti kävellessään länteen.

Ja niin edelleen.