Omenoita torilla

Vanha rouva myy torilla omenoita. Omenoita on laatikoittain. Muuan kiinnostunut ohikulkija kysyi paljonko omenoita on. Rouva vastasi seuraavasti: "En osaa laskea näin suuria määriä. Tiedän kuitenkin, että jos jaan omenat kahteen yhtä suureen kasaan, jää yksi omena yli. Samoin jos jaan omenat niin, että syntyy 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 tai 10 yhtä suurta kasaa, jää aina yksi omena yli. Jos omenat jakaa yhteentoista kasaan, ei jää yhtään omenaa yli."

Kuinka paljon omenoita oli vähintään?

Omenoita oli 25 201 kappaletta.

Ensin pitäisi löytää luku, joka on jaollinen luvuilla 2 - 10, esim. 2 x 3 x 4 x 5 x 6 x 7 x 8 x 9 x 10 = 3 628 800. Etsimme kuitenkin pienintä mahdollista sellaista lukua. Se löytyy, kun kokoamme pienimmän joukon tekijöitä, joiden avulla voidaan muodostaa kaikki luvut 2 - 10. Tekijät ovat 2, 3, 5 ja 7. Näiden tekijöiden avulla saadaan pienin mahdollinen luku, joka on jaollinen luvuilla 2 - 10: 2 x 2 x 2 x 3 x 5 x 7 = 2 520. Jos tähän lukuun lisätään 1, on totta, että jakamalla lukua 2:lla, 3:lla jne. jää aina jäljelle yksi. Mutta 2 521 ei ole jaollinen yhdellätoista.

Luku 2 520 voidaan kuitenkin kertoa millä tahansa kokonaisluvulla ja se on silti jaollinen luvuilla 2 - 10. Etsitään siis pienin sellainen luvun 2 520 ja jonkin kokonaisluvun tulo, joka on jaollinen yhdellätoista. Jakolaskun 2 520 / 11 jakojäännös on 1, joten 2 520 x 2 / 11 jakojäännös on 2, 2 520 x 3 / 11 jakojäännös on 3 jne. Jakolaskun 2 520 x 10 / 11 jakojäännös on siis 10.

Tähän lukuun 25 200 kun lisätään vielä 1, se on jaollinen yhdellätoista ja jakojäännökset ovat aina 1 jaettaessa luvuilla 2 - 10.

Neljä ketjua

Anwinkle. CC-BY-SA 2.5

Asiakas tuo kultasepälle neljä lyhyttä ketjua, joista jokainen koostuu kolmesta renkaasta. Asiakas haluaisi, että kultaseppä kokoaa niistä yhden ranneketjun, jossa olisi kaikki 12 rengasta. Sepän täytyisi siis katkaista jotkin renkaat, jotta ne voidaan yhdistää. Millä tavalla kultasepän kannattaa toimia, jotta hänen tarvitsee katkaista mahdollisimman vähän renkaita?

Kultaseppä ottaa yhden kolmirenkaisen ketjun ja leikkaa jokaisen renkaan. Näiden kolmen renkaan avulla voi liittää kolme jäljellä olevaa ketjunpätkää toisiinsa.

Metsäpalo

Muuan erakko asuu eräässä vehreässä laaksossa. Laaksoa peittävät puut, joista tosin suurin osa on pystyyn kuolleita. Laakso on muodoltaan kanjonimaisen kapea, kolmen kilometrin mittainen, ja sitä ympäröivät jyrkät vuoret, joille ei ole mahdollista kiivetä. Erakon maja on aivan laakson länsipäässä. Ainoa kulkutie pois laaksosta on itäpäässä.

Eräänä päivänä tuuli puhaltaa voimakkaasti idästä. Tuulen mukana tulee savua. Majallaan puuhasteleva erakko oivaltaa heti, että laakson itäpäässä on syttynyt metsäpalo. Tuulen ansiosta tuli kulkee nopeasti kohti länttä ja polttaa kaiken tieltään.

Onko erakolla mitään keinoa selviytyä metsäpalosta? Tulirintama kulkee hänen majaansa kohti tasaista 1 km/h nopeutta, joten kolmen tunnin päästä tuli on polttanut koko laakson tuhkaksi. Erakolla ei ole mitään työkaluja tai apuvälineitä, joilla tulta voisi sammuttaa, eikä mitään muuta pakoreittiä laaksosta kuin itäpäässä oleva kulkutie.

Erakko juoksee nopeasti tulirintamaa vastaan, etsii kuivan oksan ja sytyttää sen palamaan liekeistä. Palavan oksan kanssa hän juoksee länteen ja sytyttää metsän palamaan lähellä majaansa. Tämäkin tuli leviää tuulen ansiosta länteen nopeudella 1 km/h ja polttaa koko metsän länsipään, erakon majan mukaanlukien. Kun länsipään palo alkaa jo sammua, erakko siirtyy palaneelle alueelle. Idästä lähestyvä tulirintama ei enää leviä laakson länsipäähän asti.

Yksikätinen kirurgi

Lentokone on pudonnut autiolle saarelle. Joukko matkustajia on selvinnyt pakkolaskusta. Kolme heistä on loukkaantunut vakavasti ja heidät täytyy leikata, vaikka olosuhteet ovat huonot. Matkustajien joukossa on vain yksi lääkäri, mutta hänenkin toinen kätensä on murtunut ja toisessa on vuotava haava.

Koneessa olevien tavaroiden joukosta löytyy kaksi kumikäsinettä. Hygienian vuoksi potilaiden verta ei saa kulkeutua toisten potilaiden tai lääkärin haavoihin. Millä tavalla lääkäri voi suorittaa kaikki kolme leikkausta vain kahden käsineen avulla?

Koska lääkärillä on vain yksi toimiva käsi, tarvitaan vain yksi puhdas käsine potilasta kohti. Koska potilaita on yksi enemmän kuin käsineitä, pitää käsineiden molempia puolia hyödyntää. Tämän tekee hankalaksi se, että lääkärillä itselläänkin on haava.

Lääkärin tulee laittaa ensin kaksi käsinettä päällekkäin. Ensimmäisen leikkauksen jälkeen päällimmäinen käsine vedetään pois kädestä jolloin se kääntyy samalla nurin päin. Nyt lääkäri voi suorittaa toisen leikkauksen paljastuneella alemmalla käsineellä. Kolmatta leikkausta varten lääkärin on vedettävä käteensä ensimmäinen, nurin päin kääntynyt käsine.

Ihmissyöntiä ja logiikkaa

Brewbooks. CC-BY-NC-SA 2.0

Tutkimusretkeilijä on uskaltautunut tutkimusmatkalle kartoittamattomaan viidakkoon, josta yksikään aikaisempi retkeilijä ei ole palannut. Matkallaan retkeilijä kohtaakin ihmissyöjiä, jotka ottavat hänet heti kiinni ja alkavat valmistella ateriaa. Ihmissyöjät lupaavat, että retkeilijä saa sanoa viimeiset sanansa, ennen kuin hänet syötäisiin. He antavat kaksi vaihtoehtoa: "Jos se mitä sanot on totta, paistamme sinut vartaassa, ja jos puhut epätotta, keitämme sinut padassa."

Kumpikaan vaihtoehto ei miellytä tutkimusretkeilijää. Mitä hänen kannattaa sanoa?

Viimeisinä sanoinaan tutkimusretkeilijä toteaa: "keitätte minut padassa."

Jos ihmissyöjät keittäisivät retkeilijän padassa, olisi väite totta, mutta tällöin heidän pitäisikin omien sanojensa mukaan paistaa tämä vartaassa. Jos he paistavat retkeilijän vartaassa, olisi väite epätotta, jolloin ihmissyöjien pitäisi keittää retkeilijä padassa.

Hämmentyneet ihmissyöjät päästävät tutkimusretkeilijän vapaaksi, koska eivät voi tehdä muutakaan toimimatta omia sanojaan vastaan.

Kolmintaistelu

Herra A on joutunut hankalaan liemeen: hänen täytyy osallistua kolmintaisteluun herrojen B ja C kanssa.

Kaikille on annettu samanlaiset pistoolit. Ampumisjärjestys on A, B ja C. Kukin saa ampua vuorollaan kerran. Kierroksia käydään kaksi.

Kaikkien ampujien osumistodennäköisyydet ovat tiedossa. Herra A:n tarkkuus on heikoin, vain 30% laukauksista osuu kohteeseensa. Herra B:n tarkkuus on 50% ja mestariampuja C:n 100%.

Ketä A:n kannattaa tähdätä?

Lasketaan eri tapahtumasarjojen todennäköisyydet. Mahdollisia tapahtumasarjoja on koko joukko, mutta osa voidaan unohtaa. Jos vuorossa olevalla ampujalla on vielä kaksi vastustajaa, joilla on vuorot hänen jälkeensä, hän tähtää siihen, jonka osumistodennäköisyys on suurempi, koska tämä on suurempi uhka. Esim. jos on B:n vuoro, hän ampuu mieluummin C:tä kuin A:ta, koska C:n osumistodennäköisyys on suurempi, ja B tietää, että C ajattelee samoin B:stä. Käydään läpi kaikki jäljelle jäävät vaihtoehdot.

A tähtää ensimmäisellä kierroksella B:tä. Vaihtoehtoiset tapahtumasarjat ovat seuraavat:
- A osuu B:hen -> C osuu A:han. TN = 0,30
- A ei osu B:hen -> B osuu C:hen -> A osuu B:hen. TN = 0,7 x 0,5 x 0,3 = 0,105
- A ei osu B:hen -> B osuu C:hen -> A ei osu B:hen -> B osuu A:han. TN = 0,7 x 0,5 x 0,7 x 0,5 = 0,1225
- A ei osu B:hen -> B osuu C:hen -> A ei osu B:hen -> B ei osu A:han. TN = 0,7 x 0,5 x 0,7 x 0,5 = 0,1225
- A ei osu B:hen -> B ei osu C:hen -> C osuu B:hen -> A osuu C:hen. TN = 0,7 x 0,5 x 0,3 = 0,105
- A ei osu B:hen -> B ei osu C:hen -> C osuu B:hen -> A ei osu C:hen -> C osuu A:han. TN = 0,7 x 0,5 x 0,7 = 0,245

A:n selviämisen todennäköisyys on 0,3325.

A tähtää ensimmäisellä kierroksella C:tä. Vaihtoehtoiset tapahtumasarjat ovat seuraavat:
- A osuu C:hen -> B osuu A:han. TN = 0,3 x 0,5 = 0,15
- A osuu C:hen -> B ei osu A:han -> A osuu B:hen. TN = 0,3 x 0,5 x 0,3 = 0,045
- A osuu C:hen -> B ei osu A:han -> A ei osu B:hen -> B osuu A:han. TN = 0,3 x 0,5 x 0,7 x 0,5 = 0,0525
- A osuu C:hen -> B ei osu A:han -> A ei osu B:hen -> B ei osu A:han. TN = 0,3 x 0,5 x 0,7 x 0,5 = 0,0525
- A ei osu C:hen -> B osuu C:hen -> A osuu B:hen. TN = 0,7 x 0,5 x 0,3 = 0,105
- A ei osu C:hen -> B osuu C:hen -> A ei osu B:hen -> B osuu A:hen. TN = 0,7 x 0,5 x 0,7 x 0,5 = 0,125
- A ei osu C:hen -> B osuu C:hen -> A ei osu B:hen -> B ei osu A:han. TN = 0,7 x 0,5 x 0,7 x 0,5 = 0,125
- A ei osu C:hen -> B ei osu C:hen -> C osuu B:hen -> A osuu C:hen. TN = 0,7 x 0,5 x 0,3 = 0,105
- A ei osu C:hen -> B ei osu C:hen -> C osuu B:hen -> A ei osu C:hen -> C osuu A:han. TN = 0,7 x 0,5 x 0,7 = 0,245

A:n selviämisen todennäköisyys on 0,43.

Näin ollen kannattaisi tähdätä C:hen. Mutta A:lla on vielä kolmas vaihtoehto: ampua ilmaan ensimmäisellä kierroksella.

- A ampuu ilmaan -> B osuu C:hen -> A osuu B:hen. TN = 0,5 x 0,3 = 0,15
- A ampuu ilmaan -> B osuu C:hen -> A ei osu B:hen -> B osuu A:han. TN = 0,5 x 0,7 x 0,5 = 0,175
- A ampuu ilmaan -> B osuu C:hen -> A ei osu B:hen -> B ei osu A:han. TN = 0,5 x 0,7 x 0,5 = 0,175
- A ampuu ilmaan -> B ei osu C:hen -> C osuu B:hen -> A osuu C:hen. TN = 0,5 x 0,3 = 0,15
- A ampuu ilmaan -> B ei osu C:hen -> C osuu B:hen -> A ei osu C:hen -> C osuu A:han. TN = 0,5 x 0,7 = 0,35

Ampumalla ilmaan A:n selviytymisen todennäköisyys on 0,475.

A:n kannattaa siis ampua tahallaan ohi. Ampumalla ohi ensimmäisellä kierroksella A voi antaa kahden muun selvittää välinsä. Väistämättä joko B tai C saa osuman ensimmäisellä kierroksella. Toisella kierroksella A:n on järkevää ampua sitä, joka on vielä jäljellä.

On pellettejä ja pellettejä

 

Colin Palmer. Lisenssi: CC-BY

Aiemmin kaupan apulainen sai tehtäväkseen erotella liian kevyet lasikuulat normaaleista lasikuulista. Tällä kertaa kaupan varastoon on tuotu kymmenen tynnyriä täynnä pellettejä. Osassa tynnyreistä on 1 gramman ja osassa 2 gramman painoisia pellettejä. Kukaan ei tiedä missä tynnyreissä on kevyitä ja missä painavia pellettejä.

Apulaisella on käytössään tarkka digitaalinen painovaaka. Hän saa tehtäväkseen selvittää vaa'an avulla mitkä tynnyrit sisältävät painavampia pellettejä, mutta vaakaa saa käyttää vain yhden ainoan kerran.

Millä tavalla tehtävä suoritetaan?

Aikaisemmassa tehtävässä tiedettiin, että vain yksi laatikko sisälsi eripainoisia kuulia. Tällä kertaa painavia pellettejä voi olla yhdessä tai useammassa tynnyrissä, tai ei yhdessäkään. Tynnyrit voi kuitenkin erotella toisistaan lähes samaan tapaan kuin aikaisemmin laatikot.

Merkitään tynnyrit numeroilla yhdestä kymmeneen. Poimitaan ensimmäisestä tynnyristä 1 pelletti, toisesta 2 pellettiä, kolmannesta 4, neljännestä 8, viidennestä 16 jne. Tynnyristä i otetaan siis 2^(i-1) pellettiä. Kerättyjen pellettien yhteispaino mitataan vaa'alla.

Jos kaikissa tynnyreissä olisi yhden gramman painoisia pellettejä, yhteispainoksi tulisi 1 + 2 + 4 + 8 + 16 + 32 + 64 + 128 + 256 + 512 = 1023 grammaa. Siitä miten paljon mitattu yhteispaino eroaa 1023:sta voidaan päätellä mitkä tynnyrit sisältävät painavampia pellettejä.

Binäärilukuja tunteville em. kahden potenssit ovat tuttuja. Mainituilla luvuilla on se ominaisuus, että niitä valikoiden yhteenlaskemalla voidaan muodostaa jokainen luku väliltä 1 - 1023, mutta kukin luku on mahdollista muodostaa vain yhdellä tavalla. Ongelman ratkaisuna on siis hajottaa mitattu erotus osiinsa, jolloin osat kertovat suoraan, mitkä tynnyrit sisältävät painavia pellettejä.

Esimerkiksi jos yhteispaino on 1025 grammaa, on erotus 2 grammaa, joten ainoastaan tynnyrissä kaksi oli painavampia pellettejä. Jos yhteispaino on vaikkapa 1060 on erotus 37, joka muodostuu luvuista 1 + 4 + 32, eli tynnyreissä 1, 3 ja 6 on oltava painavampia pellettejä.