Vapaus tai kuolema

Flominator. CC-BY-SA

Kuninkaan vankityrmässä on jälleen täyttä. Kuningas päättää mestata osan vangeista ja vapauttaa loput. Valinta tehdään sattumanvaraisesti. Kulhoon laitetaan kaksi paperilappua. Toisessa lukee "vapaus" ja toisessa "kuolema". Kukin vanki saa vuorollaan valita kulhosta toisen lapun ja lukea mitä lapussa lukee. Sen jälkeen kuningas itse tarkistaa asian ja käskee vartijat joko vapauttamaan tai mestaamaan vangin.

Eräs vangeista on erityisen vihattu ja yksi vartijoista vaihtaa hänen kohdallaan molemmat laput samanlaisiksi, joissa lukee "kuolema". Vanki arvaakin, että näin tulee käymään. Hänellä ei ole kuitenkaan muuta vaihtoehtoa kuin nostaa lappu kulhosta. Hän katsoo lappua ja näkee, että siinä lukee "kuolema".

Miten vanki voi selvitä tilanteesta hengissä?

Vangin on parasta nielaista lappu nopeasti. Kuningas ottaa kulhosta toisen lapun, jossa lukee "kuolema", ja päättelee, että syödyssä lapussa luki "vapaus".

Vaarallisia salaisuuksia

Olet saanut haltuusi salaista tietoa vieraan planeetan asukkaiden ja maan suurimpien maiden hallitusten yhteisestä salaliitosta ihmiskuntaa vastaan. Haluaisit lähettää asiaan liittyviä muistiinpanoja ystävällesi toiselle paikkakunnalle. Et kuitenkaan luota postiin tai kuriiriin. Pelkäät, että jos lähetät muistiinpanot tavallisessa kirjeessä, tiedot joutuvat vääriin käsiin.

Sinulla on pieni lukittava laatikko, jossa uskaltaisit lähettää muistiinpanosi. Laatikon voi lukita yhdellä tai useammalla lukolla. Lisäksi sinulla on kokoelma lukkoja ja niihin sopivia avaimia, samoin ystävälläsi. Teillä ei kuitenkaan ole samanlaisia lukkoja tai avaimia.

Millä tavalla voit lähettää muistiinpanot ystävällesi niin, että kukaan muu ei voi lukea niitä matkalla?

Laita ihmiskunnan tuhoa ennustavat muistiinpanosi laatikkoon ja lukitse se jollakin lukolla. Lähetä laatikko ystävällesi. Ystäväsi ei saa laatikkoa auki mutta hän voi lukita laatikon sinun lukkosi lisäksi yhdellä omista lukoistaan. Sitten hän lähettää laatikon takaisin sinulle. Kun näet ystäväsi lukinneen laatikon omalla lukollaan, voit avata oman lukkosi ja lähettää laatikon jälleen ystävällesi.

2 = 1

Tässä todistus sille, että kaksi on yhtä kuin yksi. Vai onko sittenkään? Mikä todistuksessa menee pieleen?

             a = b
            aa = ab
       aa - bb = ab - bb
(a + b)(a - b) = b(a - b)
         a + b = b
         a + a = a
            2a = a
             2 = 1 

Koska a = b niin (a - b) = 0. Keskivaiheilla tehty jako (a - b):llä on nollalla jako, minkä tulosta ei ole määritelty. Siispä lopputulos ei ole oikein - onneksi.

Numeroita, numeroita, numeroita

Kuva: Deutsches Bundesarchiv. CC-BY-SA 3.0

Tässä muutama numeronäppäryyttä edellyttävä tehtävä. Miten seuraavat yhtälöt saadaan menemään oikein? Lisää oikeat symbolit: + - x /

A) 3 3 3 3 3 = 5
B) 4 4 4 4 4 = 5
C) 6 6 6 6 6 = 5
D) 7 7 7 7 7 = 5
E) 9 9 9 9 9 9 = 100
F) 10 10 10 10 10 = 99,9

Tässä muutama tapa saada yhtälöt kohdalleen. Muitakin vaihtoehtoja on löydettävissä. Muista, että laskusääntöjen mukaan kerto- ja jakolaskut lasketaan ennen yhteen- ja vähennyslaskuja. Sulkumerkit eivät olleet sallittujen symbolien joukossa.

A) 3 / 3 + 3 / 3 + 3 = 5
B) 4 / 4 + 4 + 4 - 4 = 5
C) 6 + 6 - 6 - 6 / 6 = 5
D) 7 - 7 / 7 - 7 / 7 = 5
E) 9 x 9 + 9 + 9 + 9 / 9 = 100
F) 10 x 10 - 10 / 10 / 10 = 99,9

Ajelulla

Vince Alongi. CC-BY.

Ajat polkupyörällä kauppaan 10 km/h nopeutta. Palaat kotiin samaa reittiä ajaen 20 km/h. Mikä oli keskinopeutesi koko matkalta, kun kaupassa kulunutta aikaa ei lasketa?

Entä kuinka kovaa sinun tulisi ajaa paluumatka, jotta keskinopeus olisi 20 km/h?

Ensimmäisessä tapauksessa keskinopeus ei ole 15 km/h, sillä paluumatkaan kuluu lyhyempi aika. Kuvitellaan, että kauppa on 10 km päässä. Menomatkaan kuluu tunti ja paluumatkaan puoli tuntia, siis yhteensä tien päällä ollaan 1,5 h ja matkaa tulee 20 km, siis keskinopeus on 20 km / 1,5 h, eli noin 13,3 km/h.

Tämä tulos ei riipu matkasta. Jos kauppa onkin 6,6 km päässä, menomatkaan kuluu n. 0,66 tuntia ja paluumatkaan n. 0,33 tuntia, joten keskinopeus on jälleen 13,3 km/h.

Toisen kysymyksen vastaus voi olla yllättävämpi. Oletetaan matkaksi taas 10 km. Jos paluumatka poljettaisiin esim. 100 km/h, joka on ehkä useimmille jo hieman epärealistinen polkemisnopeus, tulisi paluumatkan kestoksi 0,1 h. Koko matkan keskinopeus olisi 20 km / 1,1 h eli noin 18,2 km/h. Kokeillaan nostaa paluumatkan nopeus 1000 km/h asti. Silloin matkan keskinopeus olisi 20 km / 1,01h eli noin 19,8 km/h.

Vaikka paluumatkan nopeutta kuinka nostetaan, se ei koskaan riitä nostamaan keskinopeutta 20 km/h asti. Kun nopeus kasvaa, myös paluumatkaan kuluva aika lyhenee ja vaikutus keskinopeuteen pienenee.

Tyttöjä ja poikia

Eräässä maassa jokainen pariskunta haluaa tyttölapsen. Perinteeseen kuuluu, että lapsia tehdään niin kauan, kunnes perheeseen tulee ensimmäinen tyttö. Tytön saamisen jälkeen lasten tekeminen lopetetaan. Perheeseen voi siis kuulua yksi tyttö, tai yksi poika ja tyttö, tai kaksi poikaa ja tyttö, tai kolme poikaa ja tyttö jne.

Kun tämä tapa on jatkunut jo pitkään, kuinka paljon enemmän kyseisessä maassa on poikia/miehiä, kuin tyttöjä/naisia, eli mikä on sukupuolten välinen suhde?

Oletetaan ensinnäkin, että poika- ja tyttölapsen saaminen on yhtä todennäköistä. Kuvitellaan sitten esimerkinomaisesti, että pariskuntia on 80 ja he kaikki hankkivat lapsen. Ensimmäisenä vuonna syntyy keskimäärin 40 tyttöä ja 40 poikaa. Ne perheet, joissa on poika, ryhtyvät tekemään seuraavaa lasta. Toisena vuonna syntyy keskimäärin 20 tyttöä ja 20 poikaa. Sitä seuraavana vuonna 20 perhettä hankkii kolmannen lapsen, joista keskimäärin 10 on poikia ja 10 tyttöjä. Näin jatketaan, kunnes viimeisessäkin perheessä on tyttö.

Esimerkistä voidaan nähdä, että poikia ja tyttöjä syntyy keskimäärin yhtä paljon. Kutakin lasta hankittaessa todennäköisyys saada poika tai tyttö on yhtä suuri. Syntyvien lasten sukupuolten suhteeseen ei vaikuta se mitkä pariskunnat lapsia hankkivat tai kuinka monta kertaa.

Vettä riittää jaettavaksi kahdelle

Tahoenathan. CC-BY-SA 3.0.

Olet eksynyt ystäväsi kanssa hiekka-aavikolle. Päätätte lähteä eri suuntiin etsiäksenne tien pois aavikolta. Teillä on mukananne täysi 8 litran vesikanisteri, tyhjä 5 litran kanisteri ja tyhjä kolmen litran kattila. Miten saatte jaettua 8 litraa vettä tarkalleen kahteen osaan? Keksitkö kaksi tapaa jaon suorittamiseksi?

Kaada kolmen litran kattila täyteen 8 litran kanisterista. Kaada sitten kattilan sisältö 5 litran kanisteriin. Täytä kattila jälleen vedellä 8 litran astiasta. Täytä 5 litran astia kattilasta. Nyt kattilassa on yksi litra. Tyhjennä 5 litran kanisterin sisältö 8 litran kanisteriin ja sen jälkeen kattilassa oleva litra 5 litran kanisteriin. Kaada sitten kattila täyteen 8 litran kanisterista ja tyhjennä kattila viiden litran astiaan. Nyt 8 ja 5 litran kanistereissa on molemmissa 4 litraa vettä.

Toinen ratkaisu:

Täytä 5 litran kanisteri 8 litran kanisterista. Täytä sitten kolmen litran kattila viiden litran kanisterista ja kaada nuo kolme litraa takaisin 8 litran astiaan. Kaada viiden litran kanisterissa olevat kaksi litraa kattilaan. Täytä viiden litran kanisteri 8 litran kanisterista. Kolmen litran kattilassa on nyt kaksi litraa. Täytä kattila yhdellä litralla 5 litran kanisterista. Kaada lopuksi kattilan sisältö 8 litran kanisteriin. Nyt 8 ja 5 litran kanistereissa on neljä litraa kummassakin.