Summapäivät

Kuva: Kalender of Shepherdes

Kutsukaamme summapäiviksi sellaisia päivämääriä, jotka muodostavat yhteenlaskun seuraavasti: päivä + kuukausi = vuoden kaksi viimeistä numeroa. Siis esimerkiksi 1.1.2002 eli 01.01.02 on summapäivä, koska 01 + 01 = 02.

1.1.2002 on kuluvan vuosisadan ensimmäinen summapäivä, mutta mikä mahtaa olla viimeinen? Entä kuinka monta summapäivää vuosisadallamme on?

Viimeisin summapäivä löytyy helposti kun otetaan suurin päivä ja kuukausi eli 31.12. jolloin vuodeksi tulee 31 + 12 = 43. Päivämäärä on siis 31.12.2043.

Summapäivien määrä on helppo laskea, sillä jokaista kalenterivuoden päivää kohti on sadassa vuodessa yksi summapäivä. Esim. 21.05. on summapäivä vain vuonna 2026. Summapäiviä on siis vuosisadan aikana 365.

Huomaa, että karkauspäivä on syytä tarkistaa erikseen: karkauspäivän summapäivä olisi 29.02.2031, mutta vuosi 2031 ei ole karkausvuosi, joten karkauspäivälle ei löydy summapäivää lainkaan.

Yksi kysymys ja palkinto on sinun

Kuva: Dark Tichondries. Lisenssi: CC-BY-SA 3.0

Edessäsi on kolme laatikkoa, joista yhdessä on arvokas palkinto. Laatikot on numeroitu yhdestä kolmeen. Minä tiedän missä laatikossa palkinto on, mutta sinä et. Saat kysyä minulta yhden kysymyksen, johon vastaan kyllä tai ei, jos pystyn. Tuon yhden ainoan kysymyksen avulla sinun pitäisi voida selvittää missä laatikossa palkinto on. Minkä kysymyksen esität?

Pelkästään vastaukset "kyllä" ja "ei" eivät riitä selvittämään kolmesta vaihtoehdosta oikeaa. Siispä kysymyksen pitää olla sellainen, että siihen on kolme vastausta: "kyllä", "ei" ja hiljaisuus, jos en pysty vastaamaan kysymykseen.

Voit kysyä minulta seuraavasti: "Ajattelen joko lukua 1,5 tai 2,5. Onko palkintolaatikon numero suurempi kuin ajattelemani luku?"

Jos palkinto on laatikossa 1, vastaan "ei", ja jos palkinto on laatikossa 3, vastaan "kyllä". Jos palkinto on laatikossa 2, en voi vastata mitään, koska en tiedä onko ajattelemasi luku pienempi vai suurempi kuin 2.

Muitakin vastaavia kysymyksiä lienee mahdollista keksiä.

Laseja pöytään

Kuva: gcardinal. Lisenssi: CC-BY 2.0.

Baarissa on nelikulmainen pöytä, jonka jokaiseen nurkkaan asetetaan lasi, joko oikein päin tai ylösalaisin. Silmäsi ovat sidotut, joten et näe miten päin lasit ovat. Tehtäväsi on kääntää kaikki neljä lasia samoin päin mahdollisimman vähin yrityksin.

Joka yrityksellä voit ottaa sokkona kaksi lasia pöydästä ja valita käännätkö jomman kumman tai molemmat ympäri. Tunnustelemalla tiedät miten päin valitsemasi lasit ovat. Sen jälkeen pöytää pyöräytetään, mutta et voi tietää kuinka paljon. Sitten on taas vuorosi kääntää laseja. Avustajat kertovat, kun kaikki lasit ovat samoin päin.

Kuinka monta yritystä tarvitset, että saat varmasti kaikki lasit käännettyä samoin päin, riippumatta siitä miten pöytää pyöritetään yritysten välissä?

Tehtävän suorittamiseen vaaditaan korkeintaan viisi kierrosta. Ensin poimi kaksi vierekkäistä lasia ja käännä ne samoin päin, esim. pohja ylöspäin. Pöydän pyörityksen jälkeen valitse kaksi ristikkäin vastakkaista lasia ja käännä nekin pohja ylöspäin. Nyt varmuudella ainakin kolme neljästä lasista on pohja ylöspäin.

Toisen pyöräytyksen jälkeen ota jälleen kaksi ristikkäin vastakkaista lasia. Jos toinen niistä on pohja alaspäin, käännä se ympäri ja olet valmis. Jos molemmat olivat pohja ylöspäin, käännä toinen pohja alaspäin. Nyt pöydällä on kaksi vierekkäistä lasia pohja ylöspäin ja toiset kaksi lasia pohja alaspäin.

Seuraavan pyöräytyksen jälkeen valitse kaksi vierekkäistä lasia. Jos ne ovat samoin päin, käännä ne ympäri ja tehtävä on suoritettu. Jos lasit ovat eripäin, käännä ne silti ympäri. Nyt pöydällä on kaksi ristikkäin vastakkaista lasia pohja ylöspäin ja toiset kaksi pohja alaspäin. Neljännen pyöräytyksen jälkeen valitse kaksi ristikkäin vastakkaista lasia ja käännä ne ympäri. Nyt kaikki lasit ovat samoin päin.

Numeroiden numero

Kuva: Christian "VisualBeo" Horvat. Lisenssi: CC-BY-SA 3.0.

Keksitkö sellaisen "itsetietoisen" luvun, jossa on 10 numeroa, ja joka kuvaa itsensä seuraavasti:
- Ensimmäinen numero kertoo montako nollaa luvussa on
- Toinen numero kertoo montako ykköstä luvussa on
- Kolmas numero kertoo montako kakkosta luvussa on
jne.
- Kymmenes numero kertoo montako yhdeksikköä luvussa on

Ensin voi huomata, että luvun numeroiden summan tulee olla 10. Lisäksi isoja numeroita ei voi esiintyä kovin paljon eikä varsinkaan luvun loppupäässä. Esim. jos viides numero olisi 3, pitäisi luvussa olla kolme nelosta, joka tarkoittaisi, että kolmea eri numeroa pitäisi olla neljä kutakin. Voidaan arvata, että nollia on oltava melko paljon, jotta muita numeroita ei tulisi liikaa.

Aloitetaan etsiminen numerosarjasta 0000000000. Merkitään ensimmäiseksi numeroksi 9, koska silloin luvussa on yhdeksän nollaa: 9000000000. Nyt luvussa on yksi yhdeksikkö, joten merkitään sekin: 9000000001. Nythän luvussa onkin vain kahdeksan nollaa, joten korjataan se: 8000000010. Luvussa on myös ykkönen, joten lisätään sillekin lukumäärä: 8100000010. Ei täsmää, koska ykkösiä onkin jo kaksi, ja nollia on taas yksi vähemmän, siispä korjataan: 7200000100. Nyt onkin mukana myös kakkonen ja samalla ykkösten määrä väheni. Lisätään kakkosten määräksi yksi jolloin ykkösetkin taas täsmäävät: 7210000100. Melkein oikein, mutta nollia on enää kuusi, joten korjataan vielä se: 6210001000.

Baarimestarin ongelma

Frank C. Müller. CC-BY-SA 2.5

Baaritiskillä on 25 tuolia. Baarimestari haluaa, että paikat täytetään mahdollisimman tehokkaasti. Baarin asiakkaat puolestaan ovat hieman kummallista väkeä ja heitä yhdistää se, että kukaan heistä ei suostu istumaan toisen vieressä, vaan jokainen valitsee paikkansa mahdollisimman kaukaa muista.

Baarimestari voi vaikuttaa istumisjärjestykseen siten, että määrää kaksi tuolia, joista ensimmäisen asiakkaan tulee valita paikkansa. Sen jälkeen muut baariin tulevat janoiset valitsevat paikkansa itse. Kukaan ei tietenkään poistu baarista ennen sulkemisaikaa eikä vaihda paikkaa sillä välin.

Mitkä kaksi tuolia baarimestarin kannattaa määrätä ensimmäisiksi paikoiksi?

Asiakkaita voi olla korkeintaan 13, kun joka toinen tuoli on käytössä. Baarimestarin kannattaa valita tuolit 9 ja 17. Jos ensimmäinen asiakas valitsee tuolin 9, seuraava istuu paikalle 25. Seuraavat kaksi asiakasta valitsevat paikat 1 ja 17, järjestys voi olla kumpi vain. Jos ensimmäinen asiakas valitsi tuolin 17, istuu seuraava paikalle 1 ja sitä seuraavat kaksi paikoille 9 ja 25.

Tässä vaiheessa kaikki asiakkaat istuvat yhtä kaukana toisistaan ja kaikkien välissä on seitsemän tyhjää tuolia. Seuraavaksi jokaiseen väliin tulee yksi asiakas, jolloin kaikki ovat edelleen yhtä kaukana toisistaan mutta välimatka on kolme tuolia. Viimeiseksi jokaiseen näistä väleistä istuu vielä yksi asiakas.

Robotille puuhaa

Kotaro-robotti, Tokion yliopisto. Kuva: Manfred Werner. Lisenssi CC-BY-SA 3.0

Eräs keksijä oli rakentanut robotin suorittamaan yksitoikkoisia tehtäviä. Ensimmäiseksi tehtäväkseen robotti sai käännellä kolikoita. Tehtävää varten keksijä oli levittänyt huoneen lattialle satoja kolikoita. Robotin tehtävä oli seuraava: valitse lattialta satunnaisesti yksi kolikko; jos se on klaavapuoli ylöspäin, heitä se ilmaan, ja jos se on kruunapuoli ylöspäin, käännä se ympäri. Tätä tehtävää robotin tuli suorittaa kunnes se sai käskyn lopettaa.

Robotti alkoi suorittaa tehtävää. Keksijä antoi sen jatkaa muutaman tunnin ajan. Mikä oli klaavojen ja kruunien suhde tehtävän suorituksen jälkeen?

Jokaisella kierroksella robotti valitsee yhden kolikon. Jos robotti on valinnut klaavan, muuttuu se kruunaksi todennäköisyydellä 1/2 (merkitään A:lla) ja pysyy klaavana samalla todennäköisyydellä 1/2. Jos robotti on valinnut kruunan, siitä tulee klaava varmasti eli todennäköisyydella 1 (merkitään B:llä).

Oletetaan, että klaavoja ja kruunia olisi yhtä paljon. Silloin robotti valitsee yhtä todennäköisesti klaavan tai kruunan. Siispä klaava muuttuu kruunaksi todennäköisyydellä 1/2 x 1/2 = 1/4, ja kruuna klaavaksi todennäköisyydellä 1/2 x 1 = 1/2. On siis paljon todennäköisempää, että klaavojen määrä kasvaa, eli klaavoja on tehtävän jälkeen varmastikin enemmän kuin kruunia.

Kokeillaan sitten tilannetta, jossa kruunia on vain 10% kaikista kolikoista. Silloin todennäköisyys, että klaava muuttuu kruunaksi, on 9/10 x 1/2 = 9/20. Kruuna muuttuu klaavaksi todennäköisyydellä 1/10 x 1 = 1/10. Klaava muuttuu siis kruunaksi paljon todennäköisemmin.

Millä kruunien ja klaavojen suhteella todennäköisyydet ovat tasapainossa? Tämän voi jo arvatakin siitä mikä oli todennäköisyyksien A ja A+B suhde, eli 1/3. Jos kruunia on 1/3 ja klaavoja 2/3, muuttuu klaava kruunaksi todennäköisyydellä 2/3 x 1/2 = 1/3, ja kruuna klaavaksi todennäköisyydellä 1/3 x 1 = 1/3. Todennäköisyys on sama, joten klaavojen ja kruunien suhde vaihtelee hieman tämän suhteen ympärillä.

Aarresaari

40 merirosvoa on haaksirikkoutunut autiolle saarelle. He huomaavat pian, että saaren keskelle on piilotettu aarre. Kaikki merirosvot ovat hyvin älykkäitä mutta itsekkäitä, täysin yhteistyökyvyttömiä, erittäin ahneita, eivätkä kaihda väkivaltaa. Jokainen heistä haluaisi aarteen itselleen. Jokainen heistä on myös valmis tappamaan sen, jolla aarre on, saadakseen sen haltuunsa. Kukaan heistä ei kuitenkaan halua kuolla ja on valmis jättämään aarteen rauhaan, jos sen omiminen johtaisi kuolemaan.

Mitä saarella tulee tapahtumaan ja miksi?

Oletetaan, että merirosvoja olisi vain yksi. Hän ottaisi aarteen heti itselleen, koska ei olisi vaarassa joutua kenenkään tappamaksi. Jos taas merirosvoja olisi kaksi ja yksi heistä ottaisi aarteen itselleen, hyökkäisi toinen heti aarteen ottajan kimppuun.
Entä jos merirosvoja on kolme? He kaikki tietävät, että jos yksi heistä ottaa aarteen haltuunsa, ei kumpikaan muista kahdesta uskalla hyökätä hänen kimppuunsa, koska lopulta saisi viimeisen merirosvon peräänsä samoin kuin kahden merirosvon tapauksessa. Yksi heistä siis ottaa nopeasti aarteen itselleen ja kaksi muuta jäävät nuolemaan näppejään.

Jos taas merirosvoja on neljä ja joku heistä nappaisi aarteen itselleen, voi joku kolmesta muusta hyökätä kimppuun tietäen, että aarteen saatuaan kaksi jäljelle jäänyttä merirosvoa eivät tekisi mitään. Siispä kukaan heistä ei yritä haalia aarretta.

Tapauksia tutkimalla käy selväksi, että aina kun merirosvoja on pariton määrä, ottaa yksi heistä aarteen itselleen ja muut eivät uskalla tehdä mitään. Jos merirosvoja on parillinen määrä, kukaan ei halua ottaa aarretta itselleen, koska sen jälkeen muilla on turvallinen tilaisuus käydä hänen kimppuunsa. Siispä kun saarella on 40 merirosvoa, kukaan heistä ei kajoa aarteeseen.