Numeroiden numero

Kuva: Christian "VisualBeo" Horvat. Lisenssi: CC-BY-SA 3.0.

Keksitkö sellaisen "itsetietoisen" luvun, jossa on 10 numeroa, ja joka kuvaa itsensä seuraavasti:
- Ensimmäinen numero kertoo montako nollaa luvussa on
- Toinen numero kertoo montako ykköstä luvussa on
- Kolmas numero kertoo montako kakkosta luvussa on
jne.
- Kymmenes numero kertoo montako yhdeksikköä luvussa on

Ensin voi huomata, että luvun numeroiden summan tulee olla 10. Lisäksi isoja numeroita ei voi esiintyä kovin paljon eikä varsinkaan luvun loppupäässä. Esim. jos viides numero olisi 3, pitäisi luvussa olla kolme nelosta, joka tarkoittaisi, että kolmea eri numeroa pitäisi olla neljä kutakin. Voidaan arvata, että nollia on oltava melko paljon, jotta muita numeroita ei tulisi liikaa.

Aloitetaan etsiminen numerosarjasta 0000000000. Merkitään ensimmäiseksi numeroksi 9, koska silloin luvussa on yhdeksän nollaa: 9000000000. Nyt luvussa on yksi yhdeksikkö, joten merkitään sekin: 9000000001. Nythän luvussa onkin vain kahdeksan nollaa, joten korjataan se: 8000000010. Luvussa on myös ykkönen, joten lisätään sillekin lukumäärä: 8100000010. Ei täsmää, koska ykkösiä onkin jo kaksi, ja nollia on taas yksi vähemmän, siispä korjataan: 7200000100. Nyt onkin mukana myös kakkonen ja samalla ykkösten määrä väheni. Lisätään kakkosten määräksi yksi jolloin ykkösetkin taas täsmäävät: 7210000100. Melkein oikein, mutta nollia on enää kuusi, joten korjataan vielä se: 6210001000.

Baarimestarin ongelma

Frank C. Müller. CC-BY-SA 2.5

Baaritiskillä on 25 tuolia. Baarimestari haluaa, että paikat täytetään mahdollisimman tehokkaasti. Baarin asiakkaat puolestaan ovat hieman kummallista väkeä ja heitä yhdistää se, että kukaan heistä ei suostu istumaan toisen vieressä, vaan jokainen valitsee paikkansa mahdollisimman kaukaa muista.

Baarimestari voi vaikuttaa istumisjärjestykseen siten, että määrää kaksi tuolia, joista ensimmäisen asiakkaan tulee valita paikkansa. Sen jälkeen muut baariin tulevat janoiset valitsevat paikkansa itse. Kukaan ei tietenkään poistu baarista ennen sulkemisaikaa eikä vaihda paikkaa sillä välin.

Mitkä kaksi tuolia baarimestarin kannattaa määrätä ensimmäisiksi paikoiksi?

Asiakkaita voi olla korkeintaan 13, kun joka toinen tuoli on käytössä. Baarimestarin kannattaa valita tuolit 9 ja 17. Jos ensimmäinen asiakas valitsee tuolin 9, seuraava istuu paikalle 25. Seuraavat kaksi asiakasta valitsevat paikat 1 ja 17, järjestys voi olla kumpi vain. Jos ensimmäinen asiakas valitsi tuolin 17, istuu seuraava paikalle 1 ja sitä seuraavat kaksi paikoille 9 ja 25.

Tässä vaiheessa kaikki asiakkaat istuvat yhtä kaukana toisistaan ja kaikkien välissä on seitsemän tyhjää tuolia. Seuraavaksi jokaiseen väliin tulee yksi asiakas, jolloin kaikki ovat edelleen yhtä kaukana toisistaan mutta välimatka on kolme tuolia. Viimeiseksi jokaiseen näistä väleistä istuu vielä yksi asiakas.

Robotille puuhaa

Kotaro-robotti, Tokion yliopisto. Kuva: Manfred Werner. Lisenssi CC-BY-SA 3.0

Eräs keksijä oli rakentanut robotin suorittamaan yksitoikkoisia tehtäviä. Ensimmäiseksi tehtäväkseen robotti sai käännellä kolikoita. Tehtävää varten keksijä oli levittänyt huoneen lattialle satoja kolikoita. Robotin tehtävä oli seuraava: valitse lattialta satunnaisesti yksi kolikko; jos se on klaavapuoli ylöspäin, heitä se ilmaan, ja jos se on kruunapuoli ylöspäin, käännä se ympäri. Tätä tehtävää robotin tuli suorittaa kunnes se sai käskyn lopettaa.

Robotti alkoi suorittaa tehtävää. Keksijä antoi sen jatkaa muutaman tunnin ajan. Mikä oli klaavojen ja kruunien suhde tehtävän suorituksen jälkeen?

Jokaisella kierroksella robotti valitsee yhden kolikon. Jos robotti on valinnut klaavan, muuttuu se kruunaksi todennäköisyydellä 1/2 (merkitään A:lla) ja pysyy klaavana samalla todennäköisyydellä 1/2. Jos robotti on valinnut kruunan, siitä tulee klaava varmasti eli todennäköisyydella 1 (merkitään B:llä).

Oletetaan, että klaavoja ja kruunia olisi yhtä paljon. Silloin robotti valitsee yhtä todennäköisesti klaavan tai kruunan. Siispä klaava muuttuu kruunaksi todennäköisyydellä 1/2 x 1/2 = 1/4, ja kruuna klaavaksi todennäköisyydellä 1/2 x 1 = 1/2. On siis paljon todennäköisempää, että klaavojen määrä kasvaa, eli klaavoja on tehtävän jälkeen varmastikin enemmän kuin kruunia.

Kokeillaan sitten tilannetta, jossa kruunia on vain 10% kaikista kolikoista. Silloin todennäköisyys, että klaava muuttuu kruunaksi, on 9/10 x 1/2 = 9/20. Kruuna muuttuu klaavaksi todennäköisyydellä 1/10 x 1 = 1/10. Klaava muuttuu siis kruunaksi paljon todennäköisemmin.

Millä kruunien ja klaavojen suhteella todennäköisyydet ovat tasapainossa? Tämän voi jo arvatakin siitä mikä oli todennäköisyyksien A ja A+B suhde, eli 1/3. Jos kruunia on 1/3 ja klaavoja 2/3, muuttuu klaava kruunaksi todennäköisyydellä 2/3 x 1/2 = 1/3, ja kruuna klaavaksi todennäköisyydellä 1/3 x 1 = 1/3. Todennäköisyys on sama, joten klaavojen ja kruunien suhde vaihtelee hieman tämän suhteen ympärillä.

Aarresaari

40 merirosvoa on haaksirikkoutunut autiolle saarelle. He huomaavat pian, että saaren keskelle on piilotettu aarre. Kaikki merirosvot ovat hyvin älykkäitä mutta itsekkäitä, täysin yhteistyökyvyttömiä, erittäin ahneita, eivätkä kaihda väkivaltaa. Jokainen heistä haluaisi aarteen itselleen. Jokainen heistä on myös valmis tappamaan sen, jolla aarre on, saadakseen sen haltuunsa. Kukaan heistä ei kuitenkaan halua kuolla ja on valmis jättämään aarteen rauhaan, jos sen omiminen johtaisi kuolemaan.

Mitä saarella tulee tapahtumaan ja miksi?

Oletetaan, että merirosvoja olisi vain yksi. Hän ottaisi aarteen heti itselleen, koska ei olisi vaarassa joutua kenenkään tappamaksi. Jos taas merirosvoja olisi kaksi ja yksi heistä ottaisi aarteen itselleen, hyökkäisi toinen heti aarteen ottajan kimppuun.
Entä jos merirosvoja on kolme? He kaikki tietävät, että jos yksi heistä ottaa aarteen haltuunsa, ei kumpikaan muista kahdesta uskalla hyökätä hänen kimppuunsa, koska lopulta saisi viimeisen merirosvon peräänsä samoin kuin kahden merirosvon tapauksessa. Yksi heistä siis ottaa nopeasti aarteen itselleen ja kaksi muuta jäävät nuolemaan näppejään.

Jos taas merirosvoja on neljä ja joku heistä nappaisi aarteen itselleen, voi joku kolmesta muusta hyökätä kimppuun tietäen, että aarteen saatuaan kaksi jäljelle jäänyttä merirosvoa eivät tekisi mitään. Siispä kukaan heistä ei yritä haalia aarretta.

Tapauksia tutkimalla käy selväksi, että aina kun merirosvoja on pariton määrä, ottaa yksi heistä aarteen itselleen ja muut eivät uskalla tehdä mitään. Jos merirosvoja on parillinen määrä, kukaan ei halua ottaa aarretta itselleen, koska sen jälkeen muilla on turvallinen tilaisuus käydä hänen kimppuunsa. Siispä kun saarella on 40 merirosvoa, kukaan heistä ei kajoa aarteeseen.

Seitsemän lamppua

4028mdk09. CC-BY-SA 3.0

Makuuhuoneen katossa palaa 7 lamppua, jotka pitäisi saada sammutettua. Lamput ovat vierekkäin siten, että ne muodostavat ympyrän. Seinällä on vastaavassa muodostelmassa 7 kytkintä. Yksi kytkin kutakin lamppua varten.

Sähköasentaja on kuitenkin tehnyt kiusaa ja yhdistänyt kytkimet siten, että kunkin kytkimen kääntäminen vaikuttaa yhden lampun lisäksi myös sen vieressä kummallakin puolella oleviin lamppuihin. Jos siis kolme vierekkäistä lamppua palaa, keskimmäisen lampun kytkimen kääntäminen sammuttaa ne kaikki. Jos taas jokin tai useampi kyseisistä kolmesta lampusta on jo sammutettu, syttyvät ne uudestaan palamaan.

Miten kaikki lamput saa pois päältä vähimmällä vaivalla? (Rikkomatta lamppuja!)

Lampun kytkimen kääntäminen kerran sammuttaa sen, toinen kerta jälleen sytyttää sen, kolmas kerta sammuttaa jne. Jokaisen lampun tilan tulee siis vaihtua 1, 3, 5 jne. kertaa eli vaihtokertoja on oltava pariton määrä lamppua kohti. Lisäksi jokaisella käännöllä kolmen lampun tila vaihtuu kerran ja lamppuja on pariton määrä. Näistä voi arvellakin, että kytkimen kääntöjä tulee olemaan pariton määrä. On myös niin, että järjestyksellä ei ole väliä, vaan samat kytkimet voi käydä läpi eri järjestyksissä, ja tulos on silti sama, koska lampun lopullisen tilan määrää vain se kuinka monta kertaa lampun tila on vaihdettu.

On helppo kokeilla, että 1, 3 tai 5 kääntöä ei riitä lamppujen sammuttamiseen. Yksinkertaisin tapa saada lamput sammuksiin onkin käydä kaikki seitsemän kytkintä läpi järjestyksessä yksitellen. Kytkin 1 kääntää lamput 7, 1 ja 2 pois päältä. Kytkin 2 kääntää lamput 1 ja 2 takaisin päälle ja lampun 3 pois päältä. Kytkin 3 kääntää lampun 2 taas pois päältä, lampun 3 takaisin päälle ja lampun 4 pois päältä. Näin edeten jokaisen lampun tila vaihtuu 3 kertaa, eli pois päältä, päälle ja pois päältä.

Muista lääkkeet

Michelle Tribe. Lisenssi CC-BY 2.0

Lääkäri on määrännyt sinulle kahta lääkettä. Sinun olisi otettava yksi tabletti kumpaakin lääkettä kerran päivässä. Jos jätät toisen lääkkeen ottamatta tai otat usempia tabletteja kumpaa vain lääkettä, voi siitä seurata hengenvaarallinen myrkytystila.

Eräänä päivänä sattuu vahinko ja otat käteesi yhden tabletin toista lääkettä mutta kaksi tablettia toisesta lääkepurkista. Tabletit näyttävät ulkoisesti täsmälleen samalta; ne ovat valkoisia, 10 gramman painoisia, pyöreitä ja halkaisijaltaan yhden sentin kokoisia. Kädessäsi on siis kolme tablettia, joista kaksi on samaa lääkettä, mutta et pysty erottamaan lääkkeitä toisistaan.

Miten sinun kannattaa toimia, jotta voit turvallisesti syödä päivän lääkeannoksen? Lääkkeet ovat erittäin kalliita, joten yhtään tablettia ei pitäisi hukata.

Lisää sekaan vielä tabletti ensimmäisestä purkista, josta poimit aluksi vain yhden tabletin. Puolita sitten kaikki tabletit ja ota puolikas jokaisesta. Seuraavana päivänä voit ottaa loput puolikkaat.

Kolikkopeli

Baarissa pelataan yksinkertaista uhkapeliä kolikoilla. Pelissä kaksi pelaajaa heittää kolikkoa yhtä aikaa. Pelaajan A tavoite on saada peräjälkeen kaksi kruunaa, pelaajan B tavoitteena on ensin kruuna ja sitten klaava. Heittokierroksia pelataan niin kauan kunnes toinen pelaajista voittaa. Jos molemmat saavat voittotuloksen samalla kierroksella, peli jatkuu.

Merkitään kruunaa X:llä ja klaavaa O:lla. Erilaisia yhden pelaajan kahden heiton sarjoja on siis neljä, joissa voitot menevät seuraavasti:
- XX: tällä heittosarjalla A voittaa
- XO: tällä heittosarjalla B voittaa
- OX: kumpikaan ei voita
- OO: kumpikaan ei voita

Jos osallistut peliin, onko sillä merkitystä pelaatko A:n vai B:n roolissa, eli pyritkö saamaan kaksi kruunaa vai kruunan ja klaavan?

Kahden heiton perusteella näyttäisi siltä, että molemmilla pelaajilla on yhtä hyvät mahdollisuudet, mutta kun lisätään kolmas heittokierros saadaan seuraavat kahdeksan sarjaa:
- XXX: A voittaisi
- XXO: A ja B voittaisi
- XOX: B voittaisi
- XOO: B voittaisi
- OXX: A voittaisi
- OXO: B voittaisi
- OOX: kumpikaan ei voittaisi
- OOO: kumpikaan ei voittaisi

Kaikista kolmen heiton sarjoista suosiollisia A:lle on 3, mutta B:lle 4.

Otetaan vielä esimerkiksi viiden heiton sarja, jossa on 2^5 eli 32 mahdollista heittosarjaa. B:lle epäsuotuisia vaihtoehtoja on vain 6 kpl (XXXXX, OXXXX, OOXXX, OOOXX, OOOOX ja OOOOO). B:lle suotuisia sarjoja on siis 26 kpl 32:sta.

Niitä sarjoja, jotka ovat A:lle epäsuotuisia on 13 kpl (OOOOO, OOOOX, OOOXO, OOXOO, OOXOX, OXOOO, OXOOX, OXOXO, XOOOO, XOOOX, XOOXO, XOXOO, XOXOX). Suotuisia sarjoja on siis 19 kpl 32:sta.

B:llä on siis selvästi paremmat mahdollisuudet voittaa.