Vuoren huipulle ja takaisin

Kuva: Cullen328. Lisenssi: CC-BY 3.0.

Vuorikiipeilijä lähtee kiipeämään vuorelle keskipäivällä kotoaan vuoren juurelta. Välillä hän kulkee nopeammin ja välillä hitaammin, välillä myös pysähtyy lepäämään. Huipulle hän saapuu seitsemältä ja viipyy siellä leirissä yön yli. Seuraavana päivänä kiipeilijä lähtee kello 12 takaisin alas kotiinsa, jonne hän saapuu kello seitsemältä. Reitti on sama molempiin suuntiin, mutta pysähdykset ja etenemisvauhti vaihtelevat. Millä todennäköisyydellä kiipeilijä on jossakin samassa kohdassa reittiä samaan aikaan meno- ja paluumatkalla?

Niin käy väistämättä. Jos se tuntuu epävarmalta, helpoin tapa varmistaa asia on kuvitella kaksi kiipeilijää, jotka lähtevät yhtä aikaa kulkemaan samaa reittiä, toinen alhaalta ja toinen huipulta. Jossain vaiheessa he väistämättä kohtaavat toisensa, eli ovat samassa kohdassa reittiä samaan aikaan, vaikka heidän kulkuvauhtinsa vaihtelisi.

Köytetty maapallo

Kuvitellaan, että maapallon ympäri on kietaistu köysi päiväntasaajaa pitkin. Voimme tässä yhteydessä olettaa, että maapallo on täysin pyöreä. Kuinka paljon enemmän köyttä tarvitaan, jos köysi kulkisikin maapallon ympäri metrin korkeudella maanpinnasta?

Ympyrän kehän pituus on 2πr, jossa r on ympyrän säde. Köyden pituus on siis myös 2πr. Jos säde kasvaa metrin, on ympyrän kehän ja siis myös köyden pituus 2π(r+1). Tästä nähdään nopeasti, että jälkimmäisessä tapauksessa köyden pituus kasvaa 2π. Siis vain noin 6,28 m.

Muutos riippuu ainoastaan säteen pituuden muutoksesta, joten todellista maapallon sädettä ei tarvitse tietää. Itse asiassa, jos köysi olisi kietaistu ensin jalkapallon ympäri ja sitten metrin korkeammalle, olisi köyden pituuden muutos samansuuruinen eli 6,28 m.

Yksinkertainen korttipeli

Maalaus: Adriaen Brouwer

Sinulle ehdotetaan korttipeliä. Käytössä on tavallinen 52:n kortin pakka. Peliin osallistuu kaksi pelaajaa, jotka asettavat peliin panoksen. Säännöt ovat seuraavat:

Jakaja nostaa pakasta kaksi korttia kerrallaan. Jos molemmat kortit ovat punaisia (hertta tai ruutu), ne siirretään sinun pinoosi. Jos molemmat kortit ovat mustia (pata tai risti), ne siirretään vastapelaajan pinoon. Jos toinen kortti on punainen ja toinen musta, ne hylätään.

Kun koko pakka on käyty läpi, lasketaan kortit ja enemmän kortteja kerännyt voittaa potin. Jos sattuu tulemaan tasatulos, jakaja kerää potin.

Vastapelaajasi laittaa panokseksi yhden euron. Kuinka paljon sinä olisit valmis laittamaan likoon peliin?

Tätä peliä ei kannata pelata millään panoksella. Jakaja nimittäin voittaa joka kerta. Pelin lopuksi hylättyjen korttien määrä vaihtelee, mutta molemmille pelaajille kertyy kuitenkin aina yhtä monta korttia.

Pakassa on aluksi 26 mustaa ja 26 punaista. Kun nostetaan kaksi samanväristä korttia, jää pakkaan toista väriä kaksi enemmän. Näin toistakin väriä oleva pari nousee pakasta väistämättä jossain vaiheessa, koska erivärisiä pareja ei voi muodostaa koko loppupakasta.

Kun nostetaan eriväriset kortit, on pakassa sen jälkeen pariton määrä molempia värejä. Toinenkin erivärinen pari nousee väistämättä jossain vaiheessa, koska korteista ei voi muodostaa pelkästään samanvärisiä pareja.

Asiaa voi myös kokeilla vaikkapa kahdeksan kortin pakalla, jossa on neljä punaista ja neljä mustaa korttia. Vaihtoehtoiset pelinkulut ovat silloin seuraavat:
1) Kaikilla nostoilla kaksi samanväristä korttia (kaksi paria punaisia, kaksi mustia).
2) Kahdella nostolla eriväriset kortit, kahdella nostolla samanväriset kortit (yksi musta pari ja yksi punainen pari).
3) Kaikilla nostoilla kaksi eriväristä korttia.
Vastaavasti voi kokeilla isommilla pakoilla.

Paikkalippukaaos junassa

Kuva: Osupon. Lisenssi: CC-BY-SA 3.0.

Junan 100 istumapaikkaa on myyty sadalle matkustajalle. Paikat on numeroitu yhdestä sataan. Oletetaan, että matkustajat astuvat junaan paikkanumerojärjestyksessä.

Ensimmäisen lipun haltija ei kuitenkaan ymmärrä, että lipussa on paikkanumero, ja istuu satunnaiselle paikalle. Muut matkustajat tulevat yksitellen vaunuun ja istuvat omalle paikalleen, jos se on vielä vapaa. Jos paikka on jo varattu, valitsee matkustaja sattumanvaraisesti minkä tahansa muun vapaan paikan.

Mikä on todennäköisyys, että 100. matkustaja istuu lopulta omalla paikallaan?

Todennäköisyys on 1/2. Selitys:

Ensimmäisellä matkustajalla on 3 vaihtoehtoa:
1) Istuu paikalle 1, jolloin hänen jälkeensä tulevat matkustajat voivat myös kaikki istua omille paikoilleen. Myös 100. matkustaja saa oman paikkansa.
2) Istuu paikalle 100, jolloin matkustaja 100 ei saa omaa paikkaansa.
3) Istuu jollekin muulle vapaalle paikalle, jolloin sama valinta siirtyy kyseisen paikan oikealle haltijalle.

Esimerkki:

Jos ensimmäinen matkustaja päättää istua vaikkapa paikalle 49, on paikan 49 haltijan tehtävä sama yllä kuvattu valinta. Jos paikan 49 haltija päättää istua vaikkapa paikalle 71, on paikan 71 haltijalla edelleen sama valinta tehtävänään. Lopulta viimeistään paikan 99 haltija joutuu tekemään valinnan enää kahdesta vaihtoehdosta 1 ja 2, koska muita vapaita paikkoja ei enää ole.

Vaihtoehdon 3 valitseminen siis vain siirtää valinnan tekemisen myöhemmäksi. Siinä vaiheessa, kun joku valitsijoista valitsee vaihtoehdon 1 tai 2, valintaprosessi päättyy. Valinnan 1 jälkeen kaikki matkustajat numeroon 100 asti voivat istua omille paikoilleen. Valinnan 2 jälkeen kaikki matkustajat numeroon 99 asti voivat istua omille paikoilleen ja paikan 100 haltijalle jää vaihtoehdoksi vain istumapaikka numero 1.

Aurinkokuivatut tomaatit

Kuva: Hedwig Storch. Lisenssi: CC-BY-SA 3.0

Oletetaan, että tuoreesta tomaatista 99% on vettä ja vain 1% on muita aineita, jotka tekevät tomaatista tomaatin. Otetaan 1 kg tomaatteja ja jätetään ne aurinkoon kuivumaan joksikin aikaa. Sen jälkeen huomataan, että kuivuneista tomaateista enää 98% on vettä. Kuinka paljon tomaatit silloin painavat?

Aluksi 1% tomaattikilosta oli 10 grammaa. Kuivatuksen jälkeen sama 10 grammaa onkin 2% painosta, joten kokonaispainon täytyy olla pudonnut puoleen kiloon.

Tyttö täyttää vuosia

Kuva: Jessica N. Diamond. Lisenssi: CC-BY-SA 2.0

Toissapäivänä eräs tyttö oli vielä 8-vuotias. Ensi vuonna hän on jo 11. Miten tämä on mahdollista?

Tytön syntymäpäivä on 31.12. Tänään on tammikuun ensimmäinen. Toissapäivänä tyttö oli vielä 8, eilen hän täytti 9, tämän vuoden viimeisenä päivänä hän täyttää 10 ja seuraavan vuoden viimeisenä päivänä 11.

Yhdeksän minuutin muna

Tehtäväsi on keittää yhdeksän minuutin muna. Kelloa ei ole käytössä mutta apunasi on kaksi tiimalasia, joista toinen mittaa neljä minuuttia ja toinen seitsemän minuuttia.

Kuinka kauan vähintään kestää, että saat keitettyä tarkalleen yhdeksän minuutin munan?

Aikaa kuluu yhdeksän minuuttia.

Käännä molemmat tiimalasit samalla kun laitat munan kiehuvaan veteen. Ensin loppuun valuu neljän minuutin tiimalasi. Käännä se heti ympäri. Seuraavaksi loppuun valuu seitsemän minuutin tiimalasi, käännä sekin heti ympäri.

Minuuttia myöhemmin neljän minuutin tiimalasi on jälleen valunut. Käännä silloin seitsemän minuutin tiimalasi taas ympäri ja odota kunnes se on valunut loppuun (yksi minuutti).