Sormukset sekaisin

Kuva: Ygor Oliveira. Lisenssi CC-BY 2.0

Sinulla on kolme arvokasta ja erilaista mutta täsmälleen samanpainoista sormusta. Olet teettänyt niistä myös halvat jäljennökset. Jäljennökset ovat aivan alkuperäisten sormusten näköisiä mutta painavat hieman vähemmän. Myös jäljennökset ovat kaikki keskenään samanpainoisia.

Nyt aidot ja jäljennökset ovat menneet sekaisin korurasiassa. Pystytkö erottamaan ne toisistaan tasapainovaa'alla, jos saat tehdä vain kaksi punnitusta?

Merkitään sormuksia kirjaimilla A1, A2, B1, B2, C1 ja C2. Laitetaan ensin yhteen vaakakuppiin korut A1+B1, toiseen vaakakuppiin A2+C1.

Jos vaaka on tasapainossa, ovat aitoja joko A1+C1 tai A2+B1. Punnitaan A1 ja A2, jolloin vaihtoehdot ovat:
- A1 on painavampi: aitoja ovat A1, B2, C1
- A2 on painavampi: aitoja ovat A2, B1, C2

Jos A1+B1 painoi ensimmäisellä punnituksella enemmän, on A1 varmasti aito. Jos myös B1 on aito, voi C1 olla aito tai jäljennös. Jos B1 on jäljennös, on C1:n oltava myös jäljennös. Punnitaan B2 ja C1, jolloin on kolme vaihtoehtoa:
- B2 on painavampi: aitoja ovat A1, B2 ja C2.
- C1 on painavampi: aitoja ovat A1, B1 ja C1.
- Vaaka on tasapainossa: aitoja ovat A1, B1 ja C2

Jos A2+C1 painoi ensimmäisellä punnituksella enemmän, on A2 varmasti aito. Jos myös C1 on aito, voi B1 olla aito tai jäljennös. Jos C1 on jäljennös, on B1:n oltava myös jäljennös. Punnitaan B2 ja C1, jolloin on kolme vaihtoehtoa:
- B2 on painavampi: aitoja ovat A2, B2 ja C2.
- C1 on painavampi: aitoja ovat A2, B1 ja C1.
- Vaaka on tasapainossa: aitoja ovat A2, B2 ja C1

Veritas lux mea

Kolme miestä on pidätetty henkirikoksesta epäiltynä. Yksi heistä puhuu aina totta, toinen valehtelee aina ja kolmas puhuu joskus totta ja joskus valehtelee. Jotta rikos on mahdollista selvittää, on ensin selvitettävä kuka heistä on kukin.

Rikoksen tutkinta on ollut jumissa jo pitkään ja media riepottelee poliisilaitosta. Tapausta tutkivalle poliisille on annettu mahdollisuus esittää epäillyille enää kolme viimeistä kysymystä. Kukin kysymys esitetään yhdelle epäillylle ja siihen on voitava vastata joko kyllä tai ei. Kysymysten avulla on saatava selville kuka on kukin tai heidät kaikki on vapautettava.

Onko henkilöllisyydet mahdollista selvittää kolmella kysymyksellä?

Merkitään miehiä seuraavasti: T on todenpuhuja, V on valehtelija ja E epävarma tapaus. Miehet sijoitetaan riviin, jolloin on kuusi mahdollista järjestystä: TVE, TEV, VTE, VET, ETV, EVT. Käytetään järjestystä hyväksi sen selvittämiseen missä E seisoo. Epävarman sijainti on hyvä selvittää, koska hänen vastauksensa ovat hyödyttömiä selvittelyn kannalta.

Kysytään ensimmäiseltä mieheltä: "Seisooko valehtelija epävarman vieressä vasemmalla puolella?" Ensimmäinen mies saattaa olla todenpuhuja, joka kertoo totuuden, valehtelija, joka kertoo valheen, tai epävarma, joka saattaa kertoa joko totuuden tai valheen. Vastauksen pohjalta voimme päätellä, että järjestys on jokin neljästä vaihtoehdosta:

Kyllä: TVE, VTE, ETV, EVT
Ei: TEV, VET, ETV, EVT

Kysytään seuraavaksi jotain ilmiselvää joko T:ltä tai V:ltä. Jos ensimmäinen vastaus oli kyllä, kysytään rivin toiselta mieheltä, ja jos ensimmäinen vastaus oli ei, kysytään rivin kolmannelta. Kysytään vaikkapa "Onko 1+1 yhtä kuin 2?" Ensimmäisen ja toisen vastauksen perusteella voidaan päätellä, että järjestys on jokin seuraavista:

Kyllä, kyllä: VTE, ETV
Kyllä, ei: TVE, EVT
Ei, kyllä: VET, EVT
Ei, ei: TEV, ETV

Kolmannen kysymyksen pystymme jo osoittamaan suoraan joko todenpuhujalle tai valehtelijalle, koska tiedämme missä he seisovat. Ensimmäisessä tapauksessa rivin toinen mies ja kolmannessa tapauksessa rivin kolmas ovat todenpuhujia. Toisessa tapauksessa rivin toinen ja neljännessä tapauksessa rivin viimeinen mies ovat valehtelijoita.

Kysytään todenpuhujalta onko rivin ensimmäinen valehtelija. Valehtelijalta kysytään vastaavasti onko rivin ensimmäinen todenpuhuja. Valehtelijan vastaukset täytyy tietenkin kääntää ympäri. Tapaukset ovat siis:

Kyllä, kyllä, kyllä: VTE
Kyllä, kyllä, ei: ETV
Kyllä, ei, kyllä: EVT
Kyllä, ei, ei: TVE
Ei, kyllä, kyllä: VET
Ei, kyllä, ei: EVT
Ei, ei, kyllä: ETV
Ei, ei, ei: TEV

Näin siis saatiin selville kuka kolmikosta on kukin.

Erilaisuus on rikkautta

Kuva: William Warby. Lisenssi: CC-BY 2.0

Kadulla on vierekkäin viisi eri väristä taloa. Taloissa asuu viisi eri kansallisuutta olevaa henkilöä. Heillä on jokaisella eri lemmikkieläin, he pitävät eri juomista ja eri musiikkilajeista.

Tiedossa ovat seuraavat asiat:
1) Englantilainen asuu punaisessa talossa.
2) Espanjalaisella on koira.
3) Vihreässä talossa juodaan paljon kahvia.
4) Etelä-Afrikkalainen nauttii mielellään teetä.
5) Vihreä talo on heti valkoisen talon oikealla puolella.
6) Jazzin harrastaja omistaa etanan.
7) Keltaisessa talossa kuunnellaan rockia.
8) Keskimmäisessä talossa juodaan maitoa.
9) Brasilialainen asuu ensimmäisessä talossa.
10) Klassista kuunnellaan ketun omistajan naapurissa.
11) Rockia kuunnellaan puolestaan hevosharrastajan naapurissa.
12) Appelsiinimehu on reggae-fanin suosikkijuoma.
13) Japanilainen tanssii elektron tahtiin.
14) Brasilialainen asuu sinisen talon naapurissa.

Mutta kenellä on lemmikkinä seepra? Entä kuka juo vain vettä?

Brasilialainen asuu ensimmäisessä talossa (9) ja toinen talo on siis sininen (14). Ensimmäinen talo ei ole punainen, koska englantilainen asuu siellä (1), eikä valkoinen tai vihreä, koska ne ovat vierekkäin (5), joten talon on oltava keltainen. Tästä seuraa, että siellä kuunnellaan rockia (7), ja siitä puolestaan, että toisessa talossa harrastetaan hevosia (11). Ensimmäisessä talossa juodaan varmasti vettä, koska kolmannessa talossa juodaan maitoa (8), appelsiinimehu on reggae-fanin suosikki (12), kahvia kuluu vihreässä talossa (3) ja teetä juo etelä-afrikkalainen (4).

Toisessa talossa ei voi asua brasilialainen (9), englantilainen (1) eikä espanjalainen (2), joten siellä asuu joko japanilainen tai etelä-afrikkalainen. Juomavaihtoehto ei voi olla maito (8), kahvi (3) eikä vesi, joten se on joko tee tai appelsiinimehu. Jos talossa asuisi japanilainen, olisi juoman oltava appelsiinimehu, mutta appelsiinimehun juoja kuuntelee reggaeta (12), ja japanilainen kuuntelee elektroa (13). Talossa asuu siis etelä-afrikkalainen, joka juo teetä (4). Musiikkilajin on oltava klassinen, koska rock soi talossa yksi, elektro on japanilaisen valinta (13), jazz-harrastajalla on etana (6) ja reggae-fani juo appelsiinimehua (12).

Punainen talo on joko 3 tai 5, koska talo 4 on joko valkoinen tai vihreä (5). Oletetaan, että viides talo on punainen. Tästä seuraa, että siellä asuu englantilainen (1). Kolmannen talon on oltava valkoinen ja neljännen vihreä. Vihreässä talossa juodaan kahvia (3), joten viidennessä talossa juodaan appelsiinimehua ja kuunnellaan reggaeta (12). Nyt taloissa 3 ja 4 asuvat jommin kummin päin japanilainen ja espanjalainen. Japanilainen kuuntelee elektroa, joten espanjalaiselle jäisi jazz, mutta jazz-harrastajalla on etana (6) ja espanjalaisella koira (2). Päädyttiin ristiriitaan, joten viides talo ei siis ole punainen. Kolmannen talon on oltava punainen ja siellä asuu englantilainen (1).

Neljännen talon on oltava valkoinen ja viidennen vihreä (5). Viidennessä talossa juodaan kahvia (3), joten neljännessä suositaan appelsiinimehua ja kuunnellaan reggaeta (12). Kolmannessa talossa musiikki on jazz, koska toinen vaihtoehto olisi elektro mutta sitä kuuntelee japanilainen (13). Englantilaisella on siis lemmikkinä etana (6). Viidennessä talossa ainoa musiikkivaihtoehto on elektro, joten siellä asuu japanilainen (13). Talossa neljä asuu siis espanjalainen ja lemmikki on koira (2). Koska kettu olisi oltava joko talossa yksi tai kolme (10), ja kolmosessa on etana, on kettu talossa yksi. Seepra on siis viidennessä talossa.

TALO	VÄRI	MAA	JUOMA	MUSIIKKI	ELÄIN
1	Keltainen	Brasilialainen	Vesi	Rock	Kettu
2	Sininen	Etelä-Afrikkalainen	Tee	Klassinen	Hevonen
3	Punainen	Englantilainen	Maito	Jazz	Etana
4	Valkoinen	Espanjalainen	Appelsiinimehu	Reggae	Koira
5	Vihreä	Japanilainen	Kahvi	Elektro	Seepra

Kello rikki?

Ennen lähtöäni lomamatkalle laitoin tarkan ja luotettavan kelloni oikeaan aikaan. Matkustin päivän ajan suoraan kohti etelää, jonka jälkeen huomasin, että kelloni olikin kaksi tuntia jäljessä. Laitoin kelloni taas oikeaan aikaan ja jatkoin matkaani etelään. Kuljettuani toisen päivän ajan huomasin kelloni olevan taas väärässä, mutta nyt kaksi tuntia ja vartin edellä. Korjasin kellonajan uudelleen ja jatkoin kulkemista samaan suuntaan. Pian totesin, että kelloni olikin viisitoista minuuttia edellä. Mitä oikein tapahtui?

Kellossani ei ollut mitään vikaa mutta matkallani kuljin läpi eri aikavyöhykkeitä. Lomamatkani alkoi Kazakstanissa, jossa kellonaika on UTC + 6 tuntia. Sieltä kuljin Kiinan (UTC + 8:00) halki Nepaliin (UTC + 5:45) ja sieltä edelleen Intiaan (UTC + 5:30).

Vaikka aikavyöhykkeet periaatteessa määräytyvät maapallon pituuspiirien mukaan, käytännössä vyöhykkeiden rajat kulkevat maiden rajoilla. Useimmissa maailman valtioissa on valittu käyttöön yksi aikavyöhyke, joissakin useita, ja maiden valitsemat aikavyöhykkeet eivät aina vastaa pituuspiirien mukaisia aikavyöhykkeitä. Aikavyöhykkeeltä toiselle on usein mahdollista siirtyä esim. suoraan pohjoiseen tai etelään, kuten tässä tapauksessa.

Lisäksi vierekkäisten maiden tai maan sisäisten vyöhykkeiden aikaero ei aina ole tunti, vaan voi olla esim. 15 minuuttia, 30 minuuttia, yksi, kaksi, tai kolmekin tuntia. Lisäksi tietyt maat noudattavat kesä- ja talviaikaa, ja sen sekä eri maiden vaihtelevien siirtymäpäivämäärien ja kellonaikojen johdosta voivat vierekkäisten vyöhykkeiden aikaerot vaihdella vuodenaikojen mukaan.

Kohti uutta aikaa

Eräällä työmatkallani kuljin yhdeltä aikavyöhykkeeltä toiselle viereiselle aikavyöhykkeelle. Jouduin siis kääntämään kelloani eteen- tai taaksepäin. Vai onko mahdollista välttyä kellon kääntämiseltä?

Kelloa ei tarvitse kääntää, jos sattuu kulkemaan aikavyöhykerajan yli tarkalleen silloin, kun kelloa käännetään matkan kohteessa vastakkaiseen suuntaan kesä- tai talviaikaan siirtymisen vuoksi. Näin voisi siis käydä matkustaessa idästä länteen kesäaikaan siirryttäessä tai lännestä itään talviaikaan siirryttäessä. Kesä- ja talviajan ero on tavallisesti tunti, joten vyöhykkeiden aikaeron on oltava sama.

Norsupalloturnaus

Kuva: The Brit_2. Lisenssi: CC-BY-NC-ND 2.0

Suomen norsupallojoukkue pelaa pohjoismaisessa turnauksessa kolme peliä kahta vastustajaansa, Ruotsia ja Norjaa vastaan. Turnauksen säännöt ovat sellaiset, että joukkue voittaa koko turnauksen, jos se voittaa kaksi peräkkäistä pelaamaansa peliä. Koska Suomi on turnauksen isäntämaa, se saa sääntöjen mukaan valita vastustajiensa järjestyksen: pelaako Suomi ensin Ruotsia, sitten Norjaa ja lopuksi Ruotsia vastaan, vai ensin Norjaa, sitten Ruotsia ja lopuksi Norjaa vastaan. Ruotsi on turnauksen ennakkosuosikki.

Missä järjestyksessä Suomen kannattaa pelata Ruotsia ja Norjaa vastaan?

Helposti ajatellaan, että vaikeinta vastustajaa vastaan kannattaa pelata niin vähän pelejä kuin suinkin, eli aloittaa Norjaa vastaan, sitten pelata Ruotsia vastaan ja lopuksi Norjaa vastaan. Asia ei kuitenkaan ole niin yksinkertainen.

Suomi voittaa turnauksen, jos se voittaa kaksi ensimmäistä, kaksi viimeistä tai kaikki kolme peliä. Merkitään todennäköisyyttä voittaa Ruotsi R:llä ja todennäköisyyttä voittaa Norja N:llä. Jos aloitetaan pelaamalla Norjaa vastaan ovat voittoisat tapahtumasarjat NR(1-N), (1-N)RN ja NRN eli todennäköisyys voittaa turnaus on: NR(1-N) + (1-N)RN + NRN = NR(2-N). Jos taas aloitetaan pelaamalla Ruotsia vastaan, todennäköisyys voittaa on: RN(1-R) + (1-R)NR + RNR = NR(2-R). N > R, joten 2-R > 2-N. Todennäköisyys voittaa turnaus on siis suurempi, jos ensimmäinen peli on Ruotsia vastaan.

Koska keskimmäinen peli on pakko voittaa, on parasta valita siihen heikompi vastus. Vaikeamman vastustajan voittamiseen on sitten kaksi mahdollisuutta.

Hätäpysäytys!

Achim Hering. Public domain.

Voimalan ohjauspaneelissa on tuhansien muiden säädinten lisäksi neljä painiketta, jotka ohjaavat neljää voimalan keskeistä osajärjestelmää. Hätäpysäytystilanteessa kaikki neljä tulee kytkeä pois päältä hyvin nopeasti. Normaalisti painikkeiden vieressä olevat valot kertoisivat onko napin ohjaama osajärjestelmä päällä vai pois päältä, mutta huonon huollon vuoksi kaikki valot ovat rikki. Mistään ei siis näe mitkä painikkeista on painettu päälle ja mitkä ovat pois päältä. Kuitenkin kun kaikki osajärjestelmät on sammutettu, syttyy hätäpysäytyksen merkkivalo.

Montako painallusta korkeintaan tarvitaan, jotta voimalan saa varmasti pysäytettyä? Mikä on todennäköisyys, että voimalan saa suljettua enintään kahdella painalluksella?

Neljä painiketta voivat olla 2⁴ = 16 eri asennossa. Alkuasetelma on jokin viidestätoista vaihtoehdosta, joissa vähintään yksi osajärjestelmistä on päällä. Voimalan saa suljettua käymällä läpi kaikki vaihtoehdot Greyn koodin mukaisesti, jolloin tarvitaan korkeintaan 15 painallusta. Painelujärjestys: 1, 2, 1, 3, 1, 2, 1, 4, 1, 2, 1, 3, 1, 2, 1.

Kaikista osajärjestelmien 15 vaihtoehdosta neljä on sellaisia, että vain yksi osajärjestelmä on päällä. Oikeaan vaihtoehtoon osumisen todennäköisyys yhdellä painalluksella on 1/15. Vastaavasti kahden osajärjestelmän ollessa päällä todennäköisyys valita juuri oikeat kaksi kahdella painalluksella on 1/15. Aivan samalla tavalla on jokaisella painallusmäärällä. Todennäköisyys saada voimala suljettua enintään kahdella painalluksella on siis 2/15.