Valheen lyhyet jäljet

Kuva: public domain

Edellisessä tehtävässä arvuuteltiin kuka on kukin kolmesta veljeksestä. Yksi heistä puhuu aina totta, toinen valehtelee aina ja kolmannen puheista joka toinen virke on totta ja joka toinen valhetta.

Eräänä päivänä veljesten luokse vieras, joka haluaisi tietää, kuka veljistä on kuka. Veljistä on kuitenkin paikalla vain yksi, veli A. Tämä kertoo vieraalle seuraavasti:

"En ole se, joka puhuu aina totta.
Veljeni B ei ole se, joka valehtelee aina.
Veljeni C ei ole se, joka puhuu totta ja valehtelee vuoron perään."

Vieras päätteli heti kuka on kukin. Pystytkö sinä päättelemään saman?

A ei voi olla todenpuhuja, koska jos hän olisi, hänen ensimmäisen virkkeensä mukaan hän ei olisi todenpuhuja. Hän ei myöskään voi olla ikuinen valehtelija, koska silloin hänen ensimmäinen väitteensä tarkoittaisi, että hän olisi todenpuhuja. Koska nämä ovat molemmat ristiriitaisia väitteitä, A:n täytyy olla se, joka vuorotellen puhuu totta ja valehtelee. A:n ensimmäinen väite on siis tosi, joten seuraavan on oltava valhe ja kolmannen taas totta. B:n on siis oltava valehtelija. Jäljelle jää enää vain C, jonka on oltava todenpuhuja.

Paljastavat valheet

Kuva: public domain

Olipa kerran kolme erilaista veljestä. Yksi heistä puhuu aina totta. Toinen veli on pakonomainen valehtelija. Kolmas veljistä sairastaa harvinaista luusairautta, jonka vuoksi joka toinen hänen lausumansa virke on totta ja joka toinen valhetta.

Veljien luokse tuli vieras, joka halusi tietää kuka heistä on kukin. Veljet A, B ja C vastasivat seuraavasti:
A: Olen todenpuhuja.
B: Olen valehtelija.
C: He molemmat valehtelevat. Minä olen se, jolla on luusairaus.

Kuka on kukin?

Jos B olisi todenpuhuja, hänen olisi oman väitteensä mukaan oltava valehtelija. Hän ei siis ole todenpuhuja. Jos B olisi valehtelija, hänen väitteensä olisi totta, jolloin hän ei olisi valehtelija. B ei siis ole todenpuhuja eikä valehtelija, joten hänellä täytyy olla luusairaus ja väite on valhe.

Tästä seuraa, että C:n täytyy olla valehtelija, koska hänen toinen väitteensä on varmasti valhe, kuten on siis myös ensimmäinen väite. A on todenpuhuja, kuten sanoikin.

Ontto vai umpinainen

Kuva: SoylentGreen. Lisenssi: CC-BY-SA 3.0

Eräällä retkelläsi olet eksynyt metsään. Vastaasi tulee metsässä asuva erakko, joka lupaa neuvoa sinulle tien takaisin sivistyksen pariin, jos pystyt ratkaisemaan hänen antamansa pulman.

Erakolla on kaksi kookasta kuulaa. Toinen on ontto ja toinen täysin umpinainen. Ulkonäöltään, kooltaan ja painoltaan ne ovat kuitenkin aivan samanlaisia. Erakko lupaa neuvoa sinulle tien pois metsästä, jos pystyt kertomaan kumpi kuula on ontto ja kumpi umpinainen. Pystytkö selvittämään pulman?

Onton ja umpinaisen kuulan massat ovat jakautuneet eri tavoin. Ontossa kuulassa keskusta on tyhjä, joten massa on kauttaaltaan kauempana keskipisteestä. Sen vuoksi onton kuulan hitausmomentti on suurempi, eli sen pyörittämiseen tiettyyn nopeuteen vaaditaan enemmän voimaa kuin umpinaisen kuulan tapauksessa. Siispä jos kuulat asettaa kaltevalle tasolle ja antaa niiden vieriä samaan aikaan alas, umpinainen kuula kerää vauhtia nopeammin ja ehtii ensimmäisenä alas.

Kolmentoista kopla

VladimirZhV. Public domain.

Kolmentoista mestarivarkaan kopla on tehnyt ison jalokivikeikan. Ryöstösaalis on päätetty piilottaa erääseen kellariin kunnes tilanne rauhoittuu. Varkaat päättävät yhdessä, että jalokivet voidaan myydä sitten, kun enemmistö heistä on sitä mieltä. Jotta saalis säilyy siihen asti koskemattomana, he päättävät lukita kellarin usealla lukolla ja jakaa avaimet keskuudessaan niin, että vain enemmistö voi yhdessä avata oven. Mikä tahansa seitsemän tai useamman varkaan joukko voisi siis avata oven, mutta pienempi porukka ei. Jokaiseen lukkoon voi olla useita avaimia, mutta kukin avain sopii vain yhteen lukkoon.

Onko olemassa tapaa lukita ovi niin kuin varkaat haluaisivat?

Ainakin eräs tapa löytyy. Oveen asennetaan lukko jokaista erilaista kuuden varkaan osajoukkoa kohti ja jaetaan lukon avain muille seitsemälle varkaalle. Näin jokaisella kuuden varkaan porukalla on esteenään yksi lukko, jota he eivät saa auki. Jos heidän joukkoonsa liittyy vielä kuka tahansa yksi varas, saavat he lukon auki.

Käytännöllinen tämä tapa ei ole, sillä 13 varkaan tapauksessa erilaisia kuuden varkaan kombinaatioita on 13!/6!7! = 1716, eli oveen pitäisi asentaa 1716 lukkoa!

Kolikot pöydällä

public domain

Pelaat paholaisen kanssa peliä, jonka panoksena on sielusi. Istutte pyöreän pöydän ääreen ja molemmat saatte kasan samanlaisia kolikoita. Kumpikin asettaa vuorollaan pöydälle kolikon. Kolikot eivät saa olla päällekkäin, aiemmin asetettuja kolikoita ei saa siirtää, eivätkä kolikot saa pudota pöydän reunalta.

Se pelaaja häviää, joka ei enää pysty laittamaan kolikkoa pöydälle. Saat valita kumpi aloittaa pelin. Millä tavalla voit varmasti voittaa pelin?

Valitse aloitusvuoro. Aseta ensimmäinen kolikko tarkasti pöydän keskelle. Sen jälkeen paholainen asettaa oman kolikkonsa johonkin kohtaan pöytää. Aseta oma kolikkosi täsmälleen samaan kohtaan vastakkaiselle puolelle pöytää. Toimi näin joka kierroksella, eli matki paholaisen valintoja. Näin toimiessasi pöytä täyttyy kolikoista symmetrisesti ja joka vuorolla paholaisen valintaa vastaava paikka pöydän toisella puolella on varmasti vapaa sinun kolikollesi. Lopulta paholaisen eteen tulee ensimmäisenä tilanne, jossa pöydälle ei enää saa asetettua yhtään kolikkoa.

Viimeinen pallo

Kuva: ILA-boy. Lisenssi: CC-BY-SA 3.0

Astia on täytetty sinisillä ja punaisilla palloilla. Palloista 20 on sinisiä ja 14 punaisia. Palloja poimitaan kaksi kerrallaan satunnaisesti. Jos saatiin kaksi samanväristä palloa, lisätään astiaan yksi sininen pallo. Jos saatiin kaksi eriväristä palloa, lisätään astiaan punainen pallo. Näin siis joka kierroksella astiassa olevien pallojen määrä vähenee yhdellä.

Minkä värinen on viimeinen astiassa oleva pallo?

Entä minkä värinen viimeinen pallo on, jos punaisia palloja onkin aluksi 13?

Tutkitaan kaikki yhden noston tapaukset sääntöjen mukaan.
1) Kun nostetaan kaksi sinistä palloa, sinisten pallojen määrä astiassa vähenee yhdellä.
2) Kun nostetaan kaksi punaista palloa, punaisten määrä vähenee kahdella ja sinisten määrä lisääntyy yhdellä.
3) Kun nostetaan sekä sininen että punainen pallo, sinisten pallojen määrä vähenee yhdellä.

Tästä huomataan, että punaiset pallot vähenevät aina kaksi kerrallaan ja siniset pallot yksi kerrallaan. Jos punaisia palloja on 14, ei voi tulla tilannetta, jossa astiassa olisi vain yksi punainen pallo. Siispä viimeinen pallo on sininen. Mutta jos punaisia palloja onkin 13, ei astiasta missään tilanteessa saada viimeistä yksittäistä punaista palloa pois. Viimeisen pallon on siis oltava punainen.

Turkinpippurit

Kuva: str4nd. Lisenssi: CC-BY-SA 3.0

Pöydällä on kaksi kulhoa. Ensimmäisessä on 50 mustaa ja toisessa 50 valkoista karkkia. Silmäsi sidotaan ja saat poimia yhden makeisen sokkona yhdestä kulhosta. Pidät eniten mustista salmiakkikarkeista, joten yrität tietysti saada poimittua sellaisen. Ennen kun silmäsi sidotaan saat vielä tilaisuuden järjestellä karkit kulhoihin niin kuin haluat.

Miten karkit kannattaa järjestää, jotta todennäköisyys poimia sokkona musta karkki olisi suurin?

Lähtötilanteessa todennäköisyys saada musta karkki on 1/2, sillä joko valitset kulhon 1, jossa on vain mustia karkkeja (todennäköisyys saada musta karkki = 1) tai valitset kulhon 2, jossa ei ole mustia karkkeja (todennäköisyys saada musta karkki = 0).

Todennäköisyyksiä kannattaa säätää siten, että kulhosta 1 siirretään mustia karkkeja kulhoon 2. Silloin todennäköisyys saada musta karkki kulhosta 1 on edelleen 1, mutta todennäköisyys saada musta karkki kulhosta 2 nousee. Esim. jos kulhossa 2 on yksi musta karkki valkoisten lisäksi, on todennäköisyys silloin kulhon 2 osalta 1/51.

Tätä päättelyä seuraamalla huomataan, että ensimmäiseen kulhoon kannattaa jättää vain yksi musta karkki ja siirtää toiseen kulhoon kaikki loput mustat karkit valkoisten seuraksi.

Kun valitset sokkona yhden kulhon ja siitä yhden karkin, ovat vaihtoehdot seuraavat:
1) Valitset kulhon 1 ja sieltä ainoan eli mustan karkin. Tämän tapahtuman todennäköisyys on 1/2 x 1/1 = 1/2.
2) Valitset kulhon 2 ja sieltä mustan karkin. Todennäköisyys 1/2 x 49/99 = 49/198.
3) Valitset kulhon 2 ja sieltä valkoisen karkin. Todennäköisyys 1/2 x 50/99 = 50/198.

Näin ollen musta karkki sattuu sormiin todennäköisyydellä 1/2 + 49/198 = 99/198 + 49/198 = 148/198, ja valkoinen karkki puolestaan todennäköisyydellä 50/198. Todennäköisyys osua mustaan on siis melkein 3/4.