Ontto vai umpinainen

Kuva: SoylentGreen. Lisenssi: CC-BY-SA 3.0

Eräällä retkelläsi olet eksynyt metsään. Vastaasi tulee metsässä asuva erakko, joka lupaa neuvoa sinulle tien takaisin sivistyksen pariin, jos pystyt ratkaisemaan hänen antamansa pulman.

Erakolla on kaksi kookasta kuulaa. Toinen on ontto ja toinen täysin umpinainen. Ulkonäöltään, kooltaan ja painoltaan ne ovat kuitenkin aivan samanlaisia. Erakko lupaa neuvoa sinulle tien pois metsästä, jos pystyt kertomaan kumpi kuula on ontto ja kumpi umpinainen. Pystytkö selvittämään pulman?

Onton ja umpinaisen kuulan massat ovat jakautuneet eri tavoin. Ontossa kuulassa keskusta on tyhjä, joten massa on kauttaaltaan kauempana keskipisteestä. Sen vuoksi onton kuulan hitausmomentti on suurempi, eli sen pyörittämiseen tiettyyn nopeuteen vaaditaan enemmän voimaa kuin umpinaisen kuulan tapauksessa. Siispä jos kuulat asettaa kaltevalle tasolle ja antaa niiden vieriä samaan aikaan alas, umpinainen kuula kerää vauhtia nopeammin ja ehtii ensimmäisenä alas.

Kolmentoista kopla

VladimirZhV. Public domain.

Kolmentoista mestarivarkaan kopla on tehnyt ison jalokivikeikan. Ryöstösaalis on päätetty piilottaa erääseen kellariin kunnes tilanne rauhoittuu. Varkaat päättävät yhdessä, että jalokivet voidaan myydä sitten, kun enemmistö heistä on sitä mieltä. Jotta saalis säilyy siihen asti koskemattomana, he päättävät lukita kellarin usealla lukolla ja jakaa avaimet keskuudessaan niin, että vain enemmistö voi yhdessä avata oven. Mikä tahansa seitsemän tai useamman varkaan joukko voisi siis avata oven, mutta pienempi porukka ei. Jokaiseen lukkoon voi olla useita avaimia, mutta kukin avain sopii vain yhteen lukkoon.

Onko olemassa tapaa lukita ovi niin kuin varkaat haluaisivat?

Ainakin eräs tapa löytyy. Oveen asennetaan lukko jokaista erilaista kuuden varkaan osajoukkoa kohti ja jaetaan lukon avain muille seitsemälle varkaalle. Näin jokaisella kuuden varkaan porukalla on esteenään yksi lukko, jota he eivät saa auki. Jos heidän joukkoonsa liittyy vielä kuka tahansa yksi varas, saavat he lukon auki.

Käytännöllinen tämä tapa ei ole, sillä 13 varkaan tapauksessa erilaisia kuuden varkaan kombinaatioita on 13!/6!7! = 1716, eli oveen pitäisi asentaa 1716 lukkoa!

Kolikot pöydällä

public domain

Pelaat paholaisen kanssa peliä, jonka panoksena on sielusi. Istutte pyöreän pöydän ääreen ja molemmat saatte kasan samanlaisia kolikoita. Kumpikin asettaa vuorollaan pöydälle kolikon. Kolikot eivät saa olla päällekkäin, aiemmin asetettuja kolikoita ei saa siirtää, eivätkä kolikot saa pudota pöydän reunalta.

Se pelaaja häviää, joka ei enää pysty laittamaan kolikkoa pöydälle. Saat valita kumpi aloittaa pelin. Millä tavalla voit varmasti voittaa pelin?

Valitse aloitusvuoro. Aseta ensimmäinen kolikko tarkasti pöydän keskelle. Sen jälkeen paholainen asettaa oman kolikkonsa johonkin kohtaan pöytää. Aseta oma kolikkosi täsmälleen samaan kohtaan vastakkaiselle puolelle pöytää. Toimi näin joka kierroksella, eli matki paholaisen valintoja. Näin toimiessasi pöytä täyttyy kolikoista symmetrisesti ja joka vuorolla paholaisen valintaa vastaava paikka pöydän toisella puolella on varmasti vapaa sinun kolikollesi. Lopulta paholaisen eteen tulee ensimmäisenä tilanne, jossa pöydälle ei enää saa asetettua yhtään kolikkoa.

Viimeinen pallo

Kuva: ILA-boy. Lisenssi: CC-BY-SA 3.0

Astia on täytetty sinisillä ja punaisilla palloilla. Palloista 20 on sinisiä ja 14 punaisia. Palloja poimitaan kaksi kerrallaan satunnaisesti. Jos saatiin kaksi samanväristä palloa, lisätään astiaan yksi sininen pallo. Jos saatiin kaksi eriväristä palloa, lisätään astiaan punainen pallo. Näin siis joka kierroksella astiassa olevien pallojen määrä vähenee yhdellä.

Minkä värinen on viimeinen astiassa oleva pallo?

Entä minkä värinen viimeinen pallo on, jos punaisia palloja onkin aluksi 13?

Tutkitaan kaikki yhden noston tapaukset sääntöjen mukaan.
1) Kun nostetaan kaksi sinistä palloa, sinisten pallojen määrä astiassa vähenee yhdellä.
2) Kun nostetaan kaksi punaista palloa, punaisten määrä vähenee kahdella ja sinisten määrä lisääntyy yhdellä.
3) Kun nostetaan sekä sininen että punainen pallo, sinisten pallojen määrä vähenee yhdellä.

Tästä huomataan, että punaiset pallot vähenevät aina kaksi kerrallaan ja siniset pallot yksi kerrallaan. Jos punaisia palloja on 14, ei voi tulla tilannetta, jossa astiassa olisi vain yksi punainen pallo. Siispä viimeinen pallo on sininen. Mutta jos punaisia palloja onkin 13, ei astiasta missään tilanteessa saada viimeistä yksittäistä punaista palloa pois. Viimeisen pallon on siis oltava punainen.

Turkinpippurit

Kuva: str4nd. Lisenssi: CC-BY-SA 3.0

Pöydällä on kaksi kulhoa. Ensimmäisessä on 50 mustaa ja toisessa 50 valkoista karkkia. Silmäsi sidotaan ja saat poimia yhden makeisen sokkona yhdestä kulhosta. Pidät eniten mustista salmiakkikarkeista, joten yrität tietysti saada poimittua sellaisen. Ennen kun silmäsi sidotaan saat vielä tilaisuuden järjestellä karkit kulhoihin niin kuin haluat.

Miten karkit kannattaa järjestää, jotta todennäköisyys poimia sokkona musta karkki olisi suurin?

Lähtötilanteessa todennäköisyys saada musta karkki on 1/2, sillä joko valitset kulhon 1, jossa on vain mustia karkkeja (todennäköisyys saada musta karkki = 1) tai valitset kulhon 2, jossa ei ole mustia karkkeja (todennäköisyys saada musta karkki = 0).

Todennäköisyyksiä kannattaa säätää siten, että kulhosta 1 siirretään mustia karkkeja kulhoon 2. Silloin todennäköisyys saada musta karkki kulhosta 1 on edelleen 1, mutta todennäköisyys saada musta karkki kulhosta 2 nousee. Esim. jos kulhossa 2 on yksi musta karkki valkoisten lisäksi, on todennäköisyys silloin kulhon 2 osalta 1/51.

Tätä päättelyä seuraamalla huomataan, että ensimmäiseen kulhoon kannattaa jättää vain yksi musta karkki ja siirtää toiseen kulhoon kaikki loput mustat karkit valkoisten seuraksi.

Kun valitset sokkona yhden kulhon ja siitä yhden karkin, ovat vaihtoehdot seuraavat:
1) Valitset kulhon 1 ja sieltä ainoan eli mustan karkin. Tämän tapahtuman todennäköisyys on 1/2 x 1/1 = 1/2.
2) Valitset kulhon 2 ja sieltä mustan karkin. Todennäköisyys 1/2 x 49/99 = 49/198.
3) Valitset kulhon 2 ja sieltä valkoisen karkin. Todennäköisyys 1/2 x 50/99 = 50/198.

Näin ollen musta karkki sattuu sormiin todennäköisyydellä 1/2 + 49/198 = 99/198 + 49/198 = 148/198, ja valkoinen karkki puolestaan todennäköisyydellä 50/198. Todennäköisyys osua mustaan on siis melkein 3/4.

Summapäivät

Kuva: Kalender of Shepherdes

Kutsukaamme summapäiviksi sellaisia päivämääriä, jotka muodostavat yhteenlaskun seuraavasti: päivä + kuukausi = vuoden kaksi viimeistä numeroa. Siis esimerkiksi 1.1.2002 eli 01.01.02 on summapäivä, koska 01 + 01 = 02.

1.1.2002 on kuluvan vuosisadan ensimmäinen summapäivä, mutta mikä mahtaa olla viimeinen? Entä kuinka monta summapäivää vuosisadallamme on?

Viimeisin summapäivä löytyy helposti kun otetaan suurin päivä ja kuukausi eli 31.12. jolloin vuodeksi tulee 31 + 12 = 43. Päivämäärä on siis 31.12.2043.

Summapäivien määrä on helppo laskea, sillä jokaista kalenterivuoden päivää kohti on sadassa vuodessa yksi summapäivä. Esim. 21.05. on summapäivä vain vuonna 2026. Summapäiviä on siis vuosisadan aikana 365.

Huomaa, että karkauspäivä on syytä tarkistaa erikseen: karkauspäivän summapäivä olisi 29.02.2031, mutta vuosi 2031 ei ole karkausvuosi, joten karkauspäivälle ei löydy summapäivää lainkaan.

Yksi kysymys ja palkinto on sinun

Kuva: Dark Tichondries. Lisenssi: CC-BY-SA 3.0

Edessäsi on kolme laatikkoa, joista yhdessä on arvokas palkinto. Laatikot on numeroitu yhdestä kolmeen. Minä tiedän missä laatikossa palkinto on, mutta sinä et. Saat kysyä minulta yhden kysymyksen, johon vastaan kyllä tai ei, jos pystyn. Tuon yhden ainoan kysymyksen avulla sinun pitäisi voida selvittää missä laatikossa palkinto on. Minkä kysymyksen esität?

Pelkästään vastaukset "kyllä" ja "ei" eivät riitä selvittämään kolmesta vaihtoehdosta oikeaa. Siispä kysymyksen pitää olla sellainen, että siihen on kolme vastausta: "kyllä", "ei" ja hiljaisuus, jos en pysty vastaamaan kysymykseen.

Voit kysyä minulta seuraavasti: "Ajattelen joko lukua 1,5 tai 2,5. Onko palkintolaatikon numero suurempi kuin ajattelemani luku?"

Jos palkinto on laatikossa 1, vastaan "ei", ja jos palkinto on laatikossa 3, vastaan "kyllä". Jos palkinto on laatikossa 2, en voi vastata mitään, koska en tiedä onko ajattelemasi luku pienempi vai suurempi kuin 2.

Muitakin vastaavia kysymyksiä lienee mahdollista keksiä.