Kolikkopeli

Baarissa pelataan yksinkertaista uhkapeliä kolikoilla. Pelissä kaksi pelaajaa heittää kolikkoa yhtä aikaa. Pelaajan A tavoite on saada peräjälkeen kaksi kruunaa, pelaajan B tavoitteena on ensin kruuna ja sitten klaava. Heittokierroksia pelataan niin kauan kunnes toinen pelaajista voittaa. Jos molemmat saavat voittotuloksen samalla kierroksella, peli jatkuu.

Merkitään kruunaa X:llä ja klaavaa O:lla. Erilaisia yhden pelaajan kahden heiton sarjoja on siis neljä, joissa voitot menevät seuraavasti:
- XX: tällä heittosarjalla A voittaa
- XO: tällä heittosarjalla B voittaa
- OX: kumpikaan ei voita
- OO: kumpikaan ei voita

Jos osallistut peliin, onko sillä merkitystä pelaatko A:n vai B:n roolissa, eli pyritkö saamaan kaksi kruunaa vai kruunan ja klaavan?

Kahden heiton perusteella näyttäisi siltä, että molemmilla pelaajilla on yhtä hyvät mahdollisuudet, mutta kun lisätään kolmas heittokierros saadaan seuraavat kahdeksan sarjaa:
- XXX: A voittaisi
- XXO: A ja B voittaisi
- XOX: B voittaisi
- XOO: B voittaisi
- OXX: A voittaisi
- OXO: B voittaisi
- OOX: kumpikaan ei voittaisi
- OOO: kumpikaan ei voittaisi

Kaikista kolmen heiton sarjoista suosiollisia A:lle on 3, mutta B:lle 4.

Otetaan vielä esimerkiksi viiden heiton sarja, jossa on 2^5 eli 32 mahdollista heittosarjaa. B:lle epäsuotuisia vaihtoehtoja on vain 6 kpl (XXXXX, OXXXX, OOXXX, OOOXX, OOOOX ja OOOOO). B:lle suotuisia sarjoja on siis 26 kpl 32:sta.

Niitä sarjoja, jotka ovat A:lle epäsuotuisia on 13 kpl (OOOOO, OOOOX, OOOXO, OOXOO, OOXOX, OXOOO, OXOOX, OXOXO, XOOOO, XOOOX, XOOXO, XOXOO, XOXOX). Suotuisia sarjoja on siis 19 kpl 32:sta.

B:llä on siis selvästi paremmat mahdollisuudet voittaa.

Uskottomuus

Jeff Belmonte. Lisenssi CC-BY 2.0

Eräässä eristäytyneessä kylässä on vanha omalaatuinen tapa vaalia kyläläisten avioliittoja. Jos nimittäin vaimo saa tietää, että hänen miehensä on ollut uskoton, on vaimon julistettava miehensä uskottomuus koko kylälle saman päivän iltana. Mies häädetään silloin heti kylästä.

Koska kyläläiset ovat kovia juoruamaan toisensa asioista, käy aina niin, että kaikki muut tietävät pettämisestä ennen kuin asia selviää petetylle vaimolle. Aviorikoksen paljastamista petetylle vaimolle pidetään erittäin häpeällisenä, joten niin ei tehdä.

Eräänä kesänä muuan vieras vietti muutaman viikon kyläläisten keskuudessa ja tutustui heihin. Poislähtiessään hän ilmoitti kaikille, että kylässä on ollut uskottomuutta. Seitsemän päivää myöhemmin joukko naisia julisti tietävänsä, että heidän aviomiehensä ovat pettäneet heitä.

Kuinka monta miestä sai lähtöpassit kylästä tuona iltana?

Kylässä on siis vähintään yksi pettämistapaus. Oletetaan ensin, että kylässä olisi yksi uskoton mies. Petetty vaimo ei tiedä yhtäkään pettäjää, joten hän päättelee nopeasti oman miehensä olleen uskoton. Paljastuksessa kesti kuitenkin seitsemän päivää, joten uskottomia on oltava enemmän kuin yksi.

Oletetaan sitten, että kylässä olisi kaksi uskotonta miestä. Molemmat petetyt vaimot tietävät toistensa pettämistapauksista, mutta eivät omistaan. Kumpikin voi päätellä näin: "jos hän ei illalla julista miehensä uskottomuutta, hänen täytyy tietää minun mieheni olevan uskoton." Niinpä toisena päivänä molemmat vaimot julistavat oman miehensä uskottomuuden.

Jos petettyjä olisi kolme, he voisivat päätellä näin: "tiedän kaksi petettyä, joten jos he eivät huomenna julista miehiään uskottomiksi, on myös minun mieheni oltava uskoton." Kolmantena päivänä siis kolme vaimoa paljastaa miestensä uskottomuuden.

Vastaavasti myös jos petettyjä olisi 4, 5, 6 tai 7. Seitsemäntenä päivänä siis seitsemän miestä häädetään kylästä.

Perintöä odotellessa

vittis m. CC-BY 2.0

Kolme veljestä kiertelee isänsä viinitilan kellarissa. He katselevat ympärillään olevia viinitynnyreitä ja pohtivat perintöään. Eräässä pienessä huoneessa on 21 viinitynnyriä, joista 7 on täynnä, 7 tyhjiä ja 7 puolillaan. Veljekset alkavat miettiä miten viinitynnyrit voisi jakaa heidän kolmen kesken tasapuolisesti niin, että jokainen saisi yhtä monta tyhjää, yhtä monta täyttä ja yhtä monta puolillaan olevaa tynnyriä. Minkäänlaisia muita astioita tai mittausvälineitä heillä ei ole. Miten jako voidaan järjestää?

He voisivat täyttää kaksi puolillaan olevaa tynnyriä kahdesta muusta puolillaan olevasta tynnyristä. Näin täysiä tynnyreitä olisi 9, tyhjiä 9 ja puolillaan olevia 3. Nämä on helppo jakaa siten, että jokainen saa 3 täyttä, 3 tyhjää ja yhden puolillaan olevan tynnyrin.

Viisasten kerho kokoontuu jälleen

ginfox. CC-BY-NC 2.0

Kerhon edellisen tapaamisen yhteydessä kolme viisasten kerhon jäsentä kiistelivät siitä, kuka heistä on älykkäin. Kerhon puheenjohtaja järjesti heille kilpailun. Kisan päätyttyä kaksi häviäjää protestoivat ja vaativat uusintaa. Puheenjohtaja suostui ja lupasi, että uusi tehtävä tulisi olemaan vaikea mutta kaikille varmasti tasapuolinen.

Puheenjohtaja pyytää kilpailijoita istumaan rinkiin, jotta jokainen näkee muut kaksi. Sitten hän hakee kaapista viisi hattua: kaksi valkoista ja kolme mustaa. Näytettyään hatut kilpailijoille hän sitoo kaikkien silmät ja asettaa kunkin päähän yhden hatun. Loput kaksi hattua hän vie takaisin kaappiin.

Kilpailijoiden tehtävänä on ilmoittaa oman hattunsa väri. Omaa hattuaan he eivät voi nähdä, mutta muiden hatut kyllä. Ennen kuin puheenjohtaja ehtii poistaa siteet kilpailijoiden silmiltä, yksi heistä ilmoittaa jo ääneen oman hattunsa värin aivan oikein.

Miten kilpailija pystyi päättelemään hattunsa värin näkemättä vielä mitään vihjeitä?

Mikäli puheenjohtaja olisi asettanut kilpailijoiden päihin kaksi valkoista hattua ja yhden mustan, olisi mustan hatun omaavalla kilpailijalla etulyöntiasema. Hän pystyisi helposti tietämään oman hattunsa mustaksi, koska hän näkee molemmat valkoiset hatut.

Jos taas puheenjohtaja olisi asettanut kilpailijoiden päihin kaksi mustaa hattua ja yhden valkoisen, voisivat mustan hatun omaavat kilpailijat päätellä hattunsa värin siitä, että toinen mustan hatun omaava ei äkkiä ilmoita tietävänsä oman hattunsa väriä, kuten kävisi edellä kuvatussa ensimmäisessä tapauksessa. Tässä tapauksessa siis valkoisen hatun omaava kilpailija olisi heikommassa asemassa.

Koska puheenjohtaja lupasi, että kilpa on kaikille kisaajille tasapuolinen, ei kumpikaan edellisistä vaihtoehdoista käy. Siispä kaikilla on oltava mustat hatut, koska vain silloin kisa on kaikille yhtä vaikea. Nokkelin kisaaja keksii tämän ensin, eikä hänen siis tarvitse edes odottaa, että näkee muiden hatut.

Punainen täplä otsassa

Leo Reynolds. CC-BY-NC-SA.

Kolme viisasten kerhon jäsentä kiistelee siitä kenellä heistä on nopeimmat hoksottimet. Kerhon puheenjohtaja sattuu kuulemaan keskustelun ja ehdottaa tapaa selvittää asia: "Sulkekaa silmänne. Maalaan jokaisen otsaan täplän, joko punaisen tai sinisen. Sitten avatkaa silmänne ja nostakaa toinen kätenne ylös, jos näette yhdenkin punaisen täplän. Nokkelin teistä on se, joka ensimmäiseksi pystyy sanomaan oman täplänsä värin."

Kaikki kolme sulkevat silmänsä ja puheenjohtaja maalaa punaisen täplän jokaisen otsaan. He avaavat silmänsä, näkevät punaiset täplät toistensa otsissa ja kaikki kolme nostavat kätensä ylös.

Hetken päästä yksi heistä sanoo, että hänen otsassaan on punainen täplä. Miten hän päätteli värin?

Merkitään kilpailijoita kirjaimilla A, B ja C. Otetaan tarkasteluun A, joka voi päätellä seuraavasti. Jos A:lla olisi sininen täplä otsassaan, voisivat B ja C helposti päätellä oman täplänsä värin. B nimittäin näkisi, että C on nostanut kätensä, mutta A:lla on sininen täplä, joten B:llä itsellään olisi oltava punainen täplä. Jos siis B tai C eivät nopeasti ilmoita oman täplänsä väriä, on selvää, että A:n täplän väri ei voi olla sininen. A:n sijasta saman päättelyn voisi tietysti tehdä myös B tai C. Nopein päättelijä voittaa.

Kello on pysähtynyt

Muuan erakko asuu kaukana sivistyksen ulkopuolella majassaan. Eräänä päivänä hän huomaa, että hän on unohtanut vetää seinäkellonsa ja se on pysähtynyt. Hänellä ei siis ole mitään tietoa oikeasta ajasta. Ajankulusta tarkka erakko päättää selvittää mitä kello on.

Erakko pitää yhteyttä muualle maailmaan vain kirjekyyhkyn avulla, joka osaa lentää läheiseen kylään erakon siskon luokse. Erakko tietää, että koulutettu kyyhky kulkee matkan suorinta reittiä ja aina yhtä nopeasti, mutta ei tiedä, kuinka kauan aikaa matkaan kuluu.

Millä tavalla erakko saa kellonsa näyttämään jälleen oikeaa aikaa?

Erakko kirjoittaa kirjekyyhkyn mukaan viestin, jossa hän pyytää siskoaan kirjoittamaan ylös kellonajan jolloin kyyhky saapui ja kellonajan jolloin kyyhky lähti takaisin. Sitten erakko vetää kellon käyntiin, kirjoittaa ylös mitä aikaa kello näyttää ja lähettää kyyhkyn matkaan. Kirhekyyhky lentää kylään, sisko tekee työtä käskettyä ja lähettää kyyhkyn takaisin.

Erakko tietää nyt mihin aikaan hänen kellonsa mukaan kyyhky lähti (A), mihin oikeaan aikaan se oli perillä (B) ja mihin aikaan lähti takaisin (C), sekä mihin aikaan hänen oman kellonsa mukaan kyyhky palasi (D). Sanotaan, että X on B:n ja C:n välinen aikaero, eli kuinka kauan aikaa kului kyyhkyn ollessa perillä siskon luona, ja Y on A:n ja D:n välinen aikaero, eli kuinka paljon aikaa kului kaiken kaikkiaan.

Y:n ja X:n erotus Z on aika, joka kyyhkyltä kului matkoihin, joten sen puolikas on yhdensuuntaiseen matkaan kulunut aika. Oikea kellonaika kyyhkyn palatessa on siis C + Z/2.

Postia aavikon yli

Tärkeä postilähetys olisi saatava vietyä hiekka-aavikon toisella puolella olevaan kylään. Aavikon ylitys kestää kuusi päivää. Postinkantaja voi ottaa mukaansa korkeintaan neljän päivän ruoka- ja juomatarpeet, mutta sen lisäksi hän voi palkata apulaisia kantamaan lisää ruokaa ja juomaa. Postinkantaja tai yksikään apulainen ei saa nääntyä aavikolle, vaan tehtävän lopuksi jokaisen on päästävä joko aavikon yli tai palattava takaisin lähtöpaikkaan.

Kuinka monta apulaista tehtävän suorittamiseen tarvitaan vähintään? Kuinka monta matkapäivää kertyy postinkantajalle ja apulaisille?

Tehtävän voi suorittaa ainakin kolmella eri tavalla. Eri tavoissa vaihtelevat apulaisten ja matkapäivien määrät.

Suoraviivaisimmalla tavalla apulaisia tarvitaan kaksi. Postinkantaja ja apulaiset pakkaavat täyden varaston ruokaa mukaansa ja lähtevät yhdessä matkaan. Päivän kuluttua yksi apulainen antaa pois kahden päivän ruokatarpeet. Hänelle jää ruokaa ja juomaa yhdeksi päiväksi, joiden turvin hän ehtii palaamaan lähtöpaikkaan. Muut jatkavat eteenpäin.

Toisen päivän kuluttua apulainen antaa yhden päivän ruokatarpeet postinkantajalle ja lähtee palaamaan lähtöpaikkaan kahden päivän ruokatarpeiden kanssa. Postinkantajalla on nyt neljän päivän matka jäljellä ja sopivasti ruokaa neljän päivän tarpeiksi. Kaikkiaan tarvittiin siis kaksi apulaista, jotka olivat matkalla 6 päivää. Yhteensä postinkantaja ja apulaiset käyttivät 12 päivää.

Kuljetus voidaan järjestää toisellakin tavalla, jos oletetaan, että kohteena olevaan kylään voi soittaa ja sopia, että sieltä lähetetään apulainen vastaan ruuan ja veden kanssa. Tässäkin tapauksessa tarvitaan kaksi apulaista, mutta heidän tarvitsee olla matkalla yhteensä vain 4 päivää. Yhteensä matkapäiviä tulee siis 10.

Postinkantaja ja yksi apulainen lähtevät yhtä aikaa matkaan. Yhden päivän kuluttua apulainen luovuttaa yhden päivän ruokatarpeet ja palaa lähtöpaikkaan. Postinkantaja jatkaa matkaa viidenteen päivään saakka, jolloin ruoka on lopussa. Neljäntenä päivänä aavikon toiselta puolelta lähtee vastaan yksi apulainen. He tapaavat viidentenä päivänä ja kulkevat yhdessä kuudennen päivän kohteeseen.

Näiden kahden tavan lisäksi on olemassa myös tapa järjestää kuljetus ilman apulaisia, mutta postinkantajalle tulee enemmän matkapäiviä. Ensin hän kulkee yhden päivän matkan aavikolle ja jättää kahden päivän ruokatarpeet sopivaan piiloon. Postinkantaja palaa lähtöpaikkaan ja aloittaa matkan uudestaan. Oletetaan, että postinkantaja pystyy aina löytämään piilottamansa ruuan. Päivän kuluttua hän ottaa piilosta yhden päivän ruokatarpeet ja jatkaa matkaa.

Toisen päivän kulkemisen jälkeen hän piilottaa jälleen kahden päivän ruokatarpeet ja palaa takaisin yhden päivän matkan ensimmäiselle ruokapiilolle. Sen turvin hän palaa takaisin lähtöpaikkaan. Kolmannella matkalla hän kulkee suoraan kahden päivän kohdalla olevalle piilolle ja täyttää sieltä ruokavarantonsa. Nyt hänellä on jäljellä olevalle neljän päivän matkalle riittävät ruokatarpeet. Kaikkiaan aikaa tehtävän suoritukseen kului 12 päivää.