Metsäpalo

Muuan erakko asuu eräässä vehreässä laaksossa. Laaksoa peittävät puut, joista tosin suurin osa on pystyyn kuolleita. Laakso on muodoltaan kanjonimaisen kapea, kolmen kilometrin mittainen, ja sitä ympäröivät jyrkät vuoret, joille ei ole mahdollista kiivetä. Erakon maja on aivan laakson länsipäässä. Ainoa kulkutie pois laaksosta on itäpäässä.

Eräänä päivänä tuuli puhaltaa voimakkaasti idästä. Tuulen mukana tulee savua. Majallaan puuhasteleva erakko oivaltaa heti, että laakson itäpäässä on syttynyt metsäpalo. Tuulen ansiosta tuli kulkee nopeasti kohti länttä ja polttaa kaiken tieltään.

Onko erakolla mitään keinoa selviytyä metsäpalosta? Tulirintama kulkee hänen majaansa kohti tasaista 1 km/h nopeutta, joten kolmen tunnin päästä tuli on polttanut koko laakson tuhkaksi. Erakolla ei ole mitään työkaluja tai apuvälineitä, joilla tulta voisi sammuttaa, eikä mitään muuta pakoreittiä laaksosta kuin itäpäässä oleva kulkutie.

Erakko juoksee nopeasti tulirintamaa vastaan, etsii kuivan oksan ja sytyttää sen palamaan liekeistä. Palavan oksan kanssa hän juoksee länteen ja sytyttää metsän palamaan lähellä majaansa. Tämäkin tuli leviää tuulen ansiosta länteen nopeudella 1 km/h ja polttaa koko metsän länsipään, erakon majan mukaanlukien. Kun länsipään palo alkaa jo sammua, erakko siirtyy palaneelle alueelle. Idästä lähestyvä tulirintama ei enää leviä laakson länsipäähän asti.

Yksikätinen kirurgi

Lentokone on pudonnut autiolle saarelle. Joukko matkustajia on selvinnyt pakkolaskusta. Kolme heistä on loukkaantunut vakavasti ja heidät täytyy leikata, vaikka olosuhteet ovat huonot. Matkustajien joukossa on vain yksi lääkäri, mutta hänenkin toinen kätensä on murtunut ja toisessa on vuotava haava.

Koneessa olevien tavaroiden joukosta löytyy kaksi kumikäsinettä. Hygienian vuoksi potilaiden verta ei saa kulkeutua toisten potilaiden tai lääkärin haavoihin. Millä tavalla lääkäri voi suorittaa kaikki kolme leikkausta vain kahden käsineen avulla?

Koska lääkärillä on vain yksi toimiva käsi, tarvitaan vain yksi puhdas käsine potilasta kohti. Koska potilaita on yksi enemmän kuin käsineitä, pitää käsineiden molempia puolia hyödyntää. Tämän tekee hankalaksi se, että lääkärillä itselläänkin on haava.

Lääkärin tulee laittaa ensin kaksi käsinettä päällekkäin. Ensimmäisen leikkauksen jälkeen päällimmäinen käsine vedetään pois kädestä jolloin se kääntyy samalla nurin päin. Nyt lääkäri voi suorittaa toisen leikkauksen paljastuneella alemmalla käsineellä. Kolmatta leikkausta varten lääkärin on vedettävä käteensä ensimmäinen, nurin päin kääntynyt käsine.

Ihmissyöntiä ja logiikkaa

Brewbooks. CC-BY-NC-SA 2.0

Tutkimusretkeilijä on uskaltautunut tutkimusmatkalle kartoittamattomaan viidakkoon, josta yksikään aikaisempi retkeilijä ei ole palannut. Matkallaan retkeilijä kohtaakin ihmissyöjiä, jotka ottavat hänet heti kiinni ja alkavat valmistella ateriaa. Ihmissyöjät lupaavat, että retkeilijä saa sanoa viimeiset sanansa, ennen kuin hänet syötäisiin. He antavat kaksi vaihtoehtoa: "Jos se mitä sanot on totta, paistamme sinut vartaassa, ja jos puhut epätotta, keitämme sinut padassa."

Kumpikaan vaihtoehto ei miellytä tutkimusretkeilijää. Mitä hänen kannattaa sanoa?

Viimeisinä sanoinaan tutkimusretkeilijä toteaa: "keitätte minut padassa."

Jos ihmissyöjät keittäisivät retkeilijän padassa, olisi väite totta, mutta tällöin heidän pitäisikin omien sanojensa mukaan paistaa tämä vartaassa. Jos he paistavat retkeilijän vartaassa, olisi väite epätotta, jolloin ihmissyöjien pitäisi keittää retkeilijä padassa.

Hämmentyneet ihmissyöjät päästävät tutkimusretkeilijän vapaaksi, koska eivät voi tehdä muutakaan toimimatta omia sanojaan vastaan.

Kolmintaistelu

Herra A on joutunut hankalaan liemeen: hänen täytyy osallistua kolmintaisteluun herrojen B ja C kanssa.

Kaikille on annettu samanlaiset pistoolit. Ampumisjärjestys on A, B ja C. Kukin saa ampua vuorollaan kerran. Kierroksia käydään kaksi.

Kaikkien ampujien osumistodennäköisyydet ovat tiedossa. Herra A:n tarkkuus on heikoin, vain 30% laukauksista osuu kohteeseensa. Herra B:n tarkkuus on 50% ja mestariampuja C:n 100%.

Ketä A:n kannattaa tähdätä?

Lasketaan eri tapahtumasarjojen todennäköisyydet. Mahdollisia tapahtumasarjoja on koko joukko, mutta osa voidaan unohtaa. Jos vuorossa olevalla ampujalla on vielä kaksi vastustajaa, joilla on vuorot hänen jälkeensä, hän tähtää siihen, jonka osumistodennäköisyys on suurempi, koska tämä on suurempi uhka. Esim. jos on B:n vuoro, hän ampuu mieluummin C:tä kuin A:ta, koska C:n osumistodennäköisyys on suurempi, ja B tietää, että C ajattelee samoin B:stä. Käydään läpi kaikki jäljelle jäävät vaihtoehdot.

A tähtää ensimmäisellä kierroksella B:tä. Vaihtoehtoiset tapahtumasarjat ovat seuraavat:
- A osuu B:hen -> C osuu A:han. TN = 0,30
- A ei osu B:hen -> B osuu C:hen -> A osuu B:hen. TN = 0,7 x 0,5 x 0,3 = 0,105
- A ei osu B:hen -> B osuu C:hen -> A ei osu B:hen -> B osuu A:han. TN = 0,7 x 0,5 x 0,7 x 0,5 = 0,1225
- A ei osu B:hen -> B osuu C:hen -> A ei osu B:hen -> B ei osu A:han. TN = 0,7 x 0,5 x 0,7 x 0,5 = 0,1225
- A ei osu B:hen -> B ei osu C:hen -> C osuu B:hen -> A osuu C:hen. TN = 0,7 x 0,5 x 0,3 = 0,105
- A ei osu B:hen -> B ei osu C:hen -> C osuu B:hen -> A ei osu C:hen -> C osuu A:han. TN = 0,7 x 0,5 x 0,7 = 0,245

A:n selviämisen todennäköisyys on 0,3325.

A tähtää ensimmäisellä kierroksella C:tä. Vaihtoehtoiset tapahtumasarjat ovat seuraavat:
- A osuu C:hen -> B osuu A:han. TN = 0,3 x 0,5 = 0,15
- A osuu C:hen -> B ei osu A:han -> A osuu B:hen. TN = 0,3 x 0,5 x 0,3 = 0,045
- A osuu C:hen -> B ei osu A:han -> A ei osu B:hen -> B osuu A:han. TN = 0,3 x 0,5 x 0,7 x 0,5 = 0,0525
- A osuu C:hen -> B ei osu A:han -> A ei osu B:hen -> B ei osu A:han. TN = 0,3 x 0,5 x 0,7 x 0,5 = 0,0525
- A ei osu C:hen -> B osuu C:hen -> A osuu B:hen. TN = 0,7 x 0,5 x 0,3 = 0,105
- A ei osu C:hen -> B osuu C:hen -> A ei osu B:hen -> B osuu A:hen. TN = 0,7 x 0,5 x 0,7 x 0,5 = 0,125
- A ei osu C:hen -> B osuu C:hen -> A ei osu B:hen -> B ei osu A:han. TN = 0,7 x 0,5 x 0,7 x 0,5 = 0,125
- A ei osu C:hen -> B ei osu C:hen -> C osuu B:hen -> A osuu C:hen. TN = 0,7 x 0,5 x 0,3 = 0,105
- A ei osu C:hen -> B ei osu C:hen -> C osuu B:hen -> A ei osu C:hen -> C osuu A:han. TN = 0,7 x 0,5 x 0,7 = 0,245

A:n selviämisen todennäköisyys on 0,43.

Näin ollen kannattaisi tähdätä C:hen. Mutta A:lla on vielä kolmas vaihtoehto: ampua ilmaan ensimmäisellä kierroksella.

- A ampuu ilmaan -> B osuu C:hen -> A osuu B:hen. TN = 0,5 x 0,3 = 0,15
- A ampuu ilmaan -> B osuu C:hen -> A ei osu B:hen -> B osuu A:han. TN = 0,5 x 0,7 x 0,5 = 0,175
- A ampuu ilmaan -> B osuu C:hen -> A ei osu B:hen -> B ei osu A:han. TN = 0,5 x 0,7 x 0,5 = 0,175
- A ampuu ilmaan -> B ei osu C:hen -> C osuu B:hen -> A osuu C:hen. TN = 0,5 x 0,3 = 0,15
- A ampuu ilmaan -> B ei osu C:hen -> C osuu B:hen -> A ei osu C:hen -> C osuu A:han. TN = 0,5 x 0,7 = 0,35

Ampumalla ilmaan A:n selviytymisen todennäköisyys on 0,475.

A:n kannattaa siis ampua tahallaan ohi. Ampumalla ohi ensimmäisellä kierroksella A voi antaa kahden muun selvittää välinsä. Väistämättä joko B tai C saa osuman ensimmäisellä kierroksella. Toisella kierroksella A:n on järkevää ampua sitä, joka on vielä jäljellä.

On pellettejä ja pellettejä

 

Colin Palmer. Lisenssi: CC-BY

Aiemmin kaupan apulainen sai tehtäväkseen erotella liian kevyet lasikuulat normaaleista lasikuulista. Tällä kertaa kaupan varastoon on tuotu kymmenen tynnyriä täynnä pellettejä. Osassa tynnyreistä on 1 gramman ja osassa 2 gramman painoisia pellettejä. Kukaan ei tiedä missä tynnyreissä on kevyitä ja missä painavia pellettejä.

Apulaisella on käytössään tarkka digitaalinen painovaaka. Hän saa tehtäväkseen selvittää vaa'an avulla mitkä tynnyrit sisältävät painavampia pellettejä, mutta vaakaa saa käyttää vain yhden ainoan kerran.

Millä tavalla tehtävä suoritetaan?

Aikaisemmassa tehtävässä tiedettiin, että vain yksi laatikko sisälsi eripainoisia kuulia. Tällä kertaa painavia pellettejä voi olla yhdessä tai useammassa tynnyrissä, tai ei yhdessäkään. Tynnyrit voi kuitenkin erotella toisistaan lähes samaan tapaan kuin aikaisemmin laatikot.

Merkitään tynnyrit numeroilla yhdestä kymmeneen. Poimitaan ensimmäisestä tynnyristä 1 pelletti, toisesta 2 pellettiä, kolmannesta 4, neljännestä 8, viidennestä 16 jne. Tynnyristä i otetaan siis 2^(i-1) pellettiä. Kerättyjen pellettien yhteispaino mitataan vaa'alla.

Jos kaikissa tynnyreissä olisi yhden gramman painoisia pellettejä, yhteispainoksi tulisi 1 + 2 + 4 + 8 + 16 + 32 + 64 + 128 + 256 + 512 = 1023 grammaa. Siitä miten paljon mitattu yhteispaino eroaa 1023:sta voidaan päätellä mitkä tynnyrit sisältävät painavampia pellettejä.

Binäärilukuja tunteville em. kahden potenssit ovat tuttuja. Mainituilla luvuilla on se ominaisuus, että niitä valikoiden yhteenlaskemalla voidaan muodostaa jokainen luku väliltä 1 - 1023, mutta kukin luku on mahdollista muodostaa vain yhdellä tavalla. Ongelman ratkaisuna on siis hajottaa mitattu erotus osiinsa, jolloin osat kertovat suoraan, mitkä tynnyrit sisältävät painavia pellettejä.

Esimerkiksi jos yhteispaino on 1025 grammaa, on erotus 2 grammaa, joten ainoastaan tynnyrissä kaksi oli painavampia pellettejä. Jos yhteispaino on vaikkapa 1060 on erotus 37, joka muodostuu luvuista 1 + 4 + 32, eli tynnyreissä 1, 3 ja 6 on oltava painavampia pellettejä.

Arvoituksellinen setä

Aaron Pruzaniec. Lisenssi: CC-BY

Muuan poika tapasi setänsä ensimmäisen kerran vasta seitsemän vuoden ikäisenä. Hän ei ollut koskaan nähnyt kuvaa sedästään eikä kukaan ollut kuvaillut hänelle sedän ulkonäköä. Silti poika tunnisti hänet helposti, kun he kohtasivat sattumalta. Miten se on mahdollista?

Eräänä iltana setä luki pojalle tarinaa kirjasta, kun yhtäkkiä sähkökatko sammutti valot. Setä kuitenkin jatkoi lukemistaan keskeytyksettä, vaikka huoneessa oli aivan pimeää. Miten hän näki lukea kirjaansa?

Poika tunnisti setänsä, koska hän tiesi, että hänen isänsä ja setänsä ovat identtiset kaksoset.

Setä ei nähnyt kirjaa mutta pystyi lukemaan sitä, koska hän oli sokea ja kirja oli kirjoitettu pistekirjoituksella.

Yli joen

Tässäpä todellinen pulmaklassikko: joen ylitys vuohen, suden ja kaalinpään kanssa.

Olet palaamassa kotiin retkeltä. Jostakin tuntemattomasta syystä mukanasi on kaalinpää sekä vuohi ja susi. Matkalla sinun on ylitettävä joki soutuveneellä. Kaali ja eläimet on myös tuotava mukana. Vene on kuitenkin pieni ja siihen mahtuu soutajan lisäksi vain yksi asia kerrallaan, joten edessä on useampi edestakainen soutureissu joen yli.

Vuohta ja kaalinpäätä ei voi jättää hetkeksikään kahden samalle rannalle tai vuohi pistelee kaalin poskeensa. Vastaavasti vuohta ja sutta ei voi jättää kaksin, tai susi syö vuohen.

Miten saat kuljetettua kaikki joen yli?

Ensin viedään vuohi vastarannalle ja palataan takaisin lähtörannalle. Seuraavaksi susi viedään vastarannalle, josta puolestaan otetaan vuohi kyytiin ja palautetaan lähtörannalle. Lähtörannalta veneeseen otetaan kaalinpää, joka viedään vastarannalle suden seuraksi. Lopuksi käydään vielä hakemassa vuohi.