Hyvien ihmisten juhlat

Cornelis van Kittensteyn

Sinä ja puolisosi olette kutsuneet neljä muuta pariskuntaa juhliin. Illan aikana käy ilmi, että jokainen vieras tunsi jo ennestään yhden tai useampia muista vieraista, mutta jokainen eri määrän. Poikkeuksena sinä tunsit yhtä monta vieraista kuin joku toinenkin.

Oletetaan, että aina jos yksi tuntee toisen, tuntevat he molemmat toisensa. Kuinka monta vieraista puolisosi tunsi ennen juhlia? Entä sinä itse?

Lienee järkevää olettaa, että jokainen tuntee oman puolisonsa. Jokainen siis tuntee vähintään yhden henkilön. Sinua lukuunottamatta jokainen tuntee eri määrän vieraita. Yksi vieras tuntee yhden, toinen kaksi, kolmas kolme, neljäs neljä jne. ja yhdeksäs yhdeksän vieraista. Numeroidaan vieraat sen mukaan, montako kukin tuntee.

Yhdistellään henkilöt puolisoidensa kanssa. Numero 9 tuntee kaikki muut ja numero 1 vain yhden. Heidän on oltava puolisot. Henkilö 8 tuntee kaikki muut paitsi 1:n ja 2 tuntee vain 8:n ja 9:n. Henkilö 9 on jo varattu, joten 8 ja 2 ovat puolisoita. Henkilö 7 tuntee kaikki paitsi 1:n ja 2:n. Henkilö 3 tuntee 9:n, 8:n ja 7:n, joista vain 7 on vapaa, joten 3 ja 7 ovat puolisoita. Vastaavasti 4 ja 6.

Numero 5 tuntee kaikki paitsi henkilöt 1, 2, 3 ja 4, joten 5:n tuntemat henkilöt ovat 6, 7, 8, 9 ja sinä. Koska sinä ja numero 5 olette ainoat, joita ei ole vielä yhdistetty toisiinsa, teidän täytyy olla puolisot. Puolisosi siis tunsi 5 henkilöä ennen illallisia. Sinä itse tunsit puolisosi lisäksi henkilöt 6, 7, 8 ja 9 eli myös viisi henkilöä.

Pistoke aina väärin päin

Kuva: Michael Piotrowski. Lisenssi: CC-BY-SA 3.0

Erään kaapelin pistokkeessa on 7 johdinta ympyrän muodossa. Pistoke kytketään laitteen porttiin, jossa on vastaavasti 7 reikää. Koska pistoke on aivan pyöreä, sen voi kytkeä porttiin miten päin vain eli seitsemään eri asentoon.

Kaapelin toiminnan kannalta riittää, että yksi kaapelin navoista on kytketty vastaavaan portin reikään. Voiko pistokkeen ja portin navat järjestää siten, että kaapeli toimii riippumatta siitä miten päin pistoke asetetaan porttiin?

Numeroidaan pistokkeen ja portin navat yhdestä seitsemään. Yksi pistokkeen navoista osuu aina samannumeroiseen reikään asennosta riippumatta, jos portin navat ovat järjestyksessä 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 ja pistokkeen navat järjestyksessä 6, 4, 2, 7, 5, 3, 1.

Rikottu shakkilauta

Kuva: Michael Maggs. Lisenssi: CC-BY-SA 3.0.

Sinulla on tavallinen shakkilauta sekä kasa domino-nappuloita, joiden koko on sellainen, että yksi nappula peittää juuri kaksi shakkilaudan ruutua.

Dominot voi helposti asetella laudalle ruutujen päälle niin, että koko lauta peittyy. Otetaan sitten laudan kahdesta vastakkaisesta kulmasta yhdet ruudut pois. Millä tavalla dominot pitää sijoitella, että kaikki ruudut peittyvät?

Rikotun laudan täyttäminen dominoilla ei ole mahdollista. Tämä on helppo todeta, kun ottaa huomioon kaksi seikkaa:
1) Laittoi domino-nappulan miten vain, se peittää yhden valkoisen ja yhden mustan ruudun.
2) Rikotusta laudasta on poistettu kaksi samanväristä ruutua, joten laudalla ei ole saman verran valkoisia ja mustia ruutuja.

Sormukset sekaisin

Kuva: Ygor Oliveira. Lisenssi CC-BY 2.0

Sinulla on kolme arvokasta ja erilaista mutta täsmälleen samanpainoista sormusta. Olet teettänyt niistä myös halvat jäljennökset. Jäljennökset ovat aivan alkuperäisten sormusten näköisiä mutta painavat hieman vähemmän. Myös jäljennökset ovat kaikki keskenään samanpainoisia.

Nyt aidot ja jäljennökset ovat menneet sekaisin korurasiassa. Pystytkö erottamaan ne toisistaan tasapainovaa'alla, jos saat tehdä vain kaksi punnitusta?

Merkitään sormuksia kirjaimilla A1, A2, B1, B2, C1 ja C2. Laitetaan ensin yhteen vaakakuppiin korut A1+B1, toiseen vaakakuppiin A2+C1.

Jos vaaka on tasapainossa, ovat aitoja joko A1+C1 tai A2+B1. Punnitaan A1 ja A2, jolloin vaihtoehdot ovat:
- A1 on painavampi: aitoja ovat A1, B2, C1
- A2 on painavampi: aitoja ovat A2, B1, C2

Jos A1+B1 painoi ensimmäisellä punnituksella enemmän, on A1 varmasti aito. Jos myös B1 on aito, voi C1 olla aito tai jäljennös. Jos B1 on jäljennös, on C1:n oltava myös jäljennös. Punnitaan B2 ja C1, jolloin on kolme vaihtoehtoa:
- B2 on painavampi: aitoja ovat A1, B2 ja C2.
- C1 on painavampi: aitoja ovat A1, B1 ja C1.
- Vaaka on tasapainossa: aitoja ovat A1, B1 ja C2

Jos A2+C1 painoi ensimmäisellä punnituksella enemmän, on A2 varmasti aito. Jos myös C1 on aito, voi B1 olla aito tai jäljennös. Jos C1 on jäljennös, on B1:n oltava myös jäljennös. Punnitaan B2 ja C1, jolloin on kolme vaihtoehtoa:
- B2 on painavampi: aitoja ovat A2, B2 ja C2.
- C1 on painavampi: aitoja ovat A2, B1 ja C1.
- Vaaka on tasapainossa: aitoja ovat A2, B2 ja C1

Veritas lux mea

Kolme miestä on pidätetty henkirikoksesta epäiltynä. Yksi heistä puhuu aina totta, toinen valehtelee aina ja kolmas puhuu joskus totta ja joskus valehtelee. Jotta rikos on mahdollista selvittää, on ensin selvitettävä kuka heistä on kukin.

Rikoksen tutkinta on ollut jumissa jo pitkään ja media riepottelee poliisilaitosta. Tapausta tutkivalle poliisille on annettu mahdollisuus esittää epäillyille enää kolme viimeistä kysymystä. Kukin kysymys esitetään yhdelle epäillylle ja siihen on voitava vastata joko kyllä tai ei. Kysymysten avulla on saatava selville kuka on kukin tai heidät kaikki on vapautettava.

Onko henkilöllisyydet mahdollista selvittää kolmella kysymyksellä?

Merkitään miehiä seuraavasti: T on todenpuhuja, V on valehtelija ja E epävarma tapaus. Miehet sijoitetaan riviin, jolloin on kuusi mahdollista järjestystä: TVE, TEV, VTE, VET, ETV, EVT. Käytetään järjestystä hyväksi sen selvittämiseen missä E seisoo. Epävarman sijainti on hyvä selvittää, koska hänen vastauksensa ovat hyödyttömiä selvittelyn kannalta.

Kysytään ensimmäiseltä mieheltä: "Seisooko valehtelija epävarman vieressä vasemmalla puolella?" Ensimmäinen mies saattaa olla todenpuhuja, joka kertoo totuuden, valehtelija, joka kertoo valheen, tai epävarma, joka saattaa kertoa joko totuuden tai valheen. Vastauksen pohjalta voimme päätellä, että järjestys on jokin neljästä vaihtoehdosta:

Kyllä: TVE, VTE, ETV, EVT
Ei: TEV, VET, ETV, EVT

Kysytään seuraavaksi jotain ilmiselvää joko T:ltä tai V:ltä. Jos ensimmäinen vastaus oli kyllä, kysytään rivin toiselta mieheltä, ja jos ensimmäinen vastaus oli ei, kysytään rivin kolmannelta. Kysytään vaikkapa "Onko 1+1 yhtä kuin 2?" Ensimmäisen ja toisen vastauksen perusteella voidaan päätellä, että järjestys on jokin seuraavista:

Kyllä, kyllä: VTE, ETV
Kyllä, ei: TVE, EVT
Ei, kyllä: VET, EVT
Ei, ei: TEV, ETV

Kolmannen kysymyksen pystymme jo osoittamaan suoraan joko todenpuhujalle tai valehtelijalle, koska tiedämme missä he seisovat. Ensimmäisessä tapauksessa rivin toinen mies ja kolmannessa tapauksessa rivin kolmas ovat todenpuhujia. Toisessa tapauksessa rivin toinen ja neljännessä tapauksessa rivin viimeinen mies ovat valehtelijoita.

Kysytään todenpuhujalta onko rivin ensimmäinen valehtelija. Valehtelijalta kysytään vastaavasti onko rivin ensimmäinen todenpuhuja. Valehtelijan vastaukset täytyy tietenkin kääntää ympäri. Tapaukset ovat siis:

Kyllä, kyllä, kyllä: VTE
Kyllä, kyllä, ei: ETV
Kyllä, ei, kyllä: EVT
Kyllä, ei, ei: TVE
Ei, kyllä, kyllä: VET
Ei, kyllä, ei: EVT
Ei, ei, kyllä: ETV
Ei, ei, ei: TEV

Näin siis saatiin selville kuka kolmikosta on kukin.

Erilaisuus on rikkautta

Kuva: William Warby. Lisenssi: CC-BY 2.0

Kadulla on vierekkäin viisi eri väristä taloa. Taloissa asuu viisi eri kansallisuutta olevaa henkilöä. Heillä on jokaisella eri lemmikkieläin, he pitävät eri juomista ja eri musiikkilajeista.

Tiedossa ovat seuraavat asiat:
1) Englantilainen asuu punaisessa talossa.
2) Espanjalaisella on koira.
3) Vihreässä talossa juodaan paljon kahvia.
4) Etelä-Afrikkalainen nauttii mielellään teetä.
5) Vihreä talo on heti valkoisen talon oikealla puolella.
6) Jazzin harrastaja omistaa etanan.
7) Keltaisessa talossa kuunnellaan rockia.
8) Keskimmäisessä talossa juodaan maitoa.
9) Brasilialainen asuu ensimmäisessä talossa.
10) Klassista kuunnellaan ketun omistajan naapurissa.
11) Rockia kuunnellaan puolestaan hevosharrastajan naapurissa.
12) Appelsiinimehu on reggae-fanin suosikkijuoma.
13) Japanilainen tanssii elektron tahtiin.
14) Brasilialainen asuu sinisen talon naapurissa.

Mutta kenellä on lemmikkinä seepra? Entä kuka juo vain vettä?

Brasilialainen asuu ensimmäisessä talossa (9) ja toinen talo on siis sininen (14). Ensimmäinen talo ei ole punainen, koska englantilainen asuu siellä (1), eikä valkoinen tai vihreä, koska ne ovat vierekkäin (5), joten talon on oltava keltainen. Tästä seuraa, että siellä kuunnellaan rockia (7), ja siitä puolestaan, että toisessa talossa harrastetaan hevosia (11). Ensimmäisessä talossa juodaan varmasti vettä, koska kolmannessa talossa juodaan maitoa (8), appelsiinimehu on reggae-fanin suosikki (12), kahvia kuluu vihreässä talossa (3) ja teetä juo etelä-afrikkalainen (4).

Toisessa talossa ei voi asua brasilialainen (9), englantilainen (1) eikä espanjalainen (2), joten siellä asuu joko japanilainen tai etelä-afrikkalainen. Juomavaihtoehto ei voi olla maito (8), kahvi (3) eikä vesi, joten se on joko tee tai appelsiinimehu. Jos talossa asuisi japanilainen, olisi juoman oltava appelsiinimehu, mutta appelsiinimehun juoja kuuntelee reggaeta (12), ja japanilainen kuuntelee elektroa (13). Talossa asuu siis etelä-afrikkalainen, joka juo teetä (4). Musiikkilajin on oltava klassinen, koska rock soi talossa yksi, elektro on japanilaisen valinta (13), jazz-harrastajalla on etana (6) ja reggae-fani juo appelsiinimehua (12).

Punainen talo on joko 3 tai 5, koska talo 4 on joko valkoinen tai vihreä (5). Oletetaan, että viides talo on punainen. Tästä seuraa, että siellä asuu englantilainen (1). Kolmannen talon on oltava valkoinen ja neljännen vihreä. Vihreässä talossa juodaan kahvia (3), joten viidennessä talossa juodaan appelsiinimehua ja kuunnellaan reggaeta (12). Nyt taloissa 3 ja 4 asuvat jommin kummin päin japanilainen ja espanjalainen. Japanilainen kuuntelee elektroa, joten espanjalaiselle jäisi jazz, mutta jazz-harrastajalla on etana (6) ja espanjalaisella koira (2). Päädyttiin ristiriitaan, joten viides talo ei siis ole punainen. Kolmannen talon on oltava punainen ja siellä asuu englantilainen (1).

Neljännen talon on oltava valkoinen ja viidennen vihreä (5). Viidennessä talossa juodaan kahvia (3), joten neljännessä suositaan appelsiinimehua ja kuunnellaan reggaeta (12). Kolmannessa talossa musiikki on jazz, koska toinen vaihtoehto olisi elektro mutta sitä kuuntelee japanilainen (13). Englantilaisella on siis lemmikkinä etana (6). Viidennessä talossa ainoa musiikkivaihtoehto on elektro, joten siellä asuu japanilainen (13). Talossa neljä asuu siis espanjalainen ja lemmikki on koira (2). Koska kettu olisi oltava joko talossa yksi tai kolme (10), ja kolmosessa on etana, on kettu talossa yksi. Seepra on siis viidennessä talossa.

TALO	VÄRI	MAA	JUOMA	MUSIIKKI	ELÄIN
1	Keltainen	Brasilialainen	Vesi	Rock	Kettu
2	Sininen	Etelä-Afrikkalainen	Tee	Klassinen	Hevonen
3	Punainen	Englantilainen	Maito	Jazz	Etana
4	Valkoinen	Espanjalainen	Appelsiinimehu	Reggae	Koira
5	Vihreä	Japanilainen	Kahvi	Elektro	Seepra

Kello rikki?

Ennen lähtöäni lomamatkalle laitoin tarkan ja luotettavan kelloni oikeaan aikaan. Matkustin päivän ajan suoraan kohti etelää, jonka jälkeen huomasin, että kelloni olikin kaksi tuntia jäljessä. Laitoin kelloni taas oikeaan aikaan ja jatkoin matkaani etelään. Kuljettuani toisen päivän ajan huomasin kelloni olevan taas väärässä, mutta nyt kaksi tuntia ja vartin edellä. Korjasin kellonajan uudelleen ja jatkoin kulkemista samaan suuntaan. Pian totesin, että kelloni olikin viisitoista minuuttia edellä. Mitä oikein tapahtui?

Kellossani ei ollut mitään vikaa mutta matkallani kuljin läpi eri aikavyöhykkeitä. Lomamatkani alkoi Kazakstanissa, jossa kellonaika on UTC + 6 tuntia. Sieltä kuljin Kiinan (UTC + 8:00) halki Nepaliin (UTC + 5:45) ja sieltä edelleen Intiaan (UTC + 5:30).

Vaikka aikavyöhykkeet periaatteessa määräytyvät maapallon pituuspiirien mukaan, käytännössä vyöhykkeiden rajat kulkevat maiden rajoilla. Useimmissa maailman valtioissa on valittu käyttöön yksi aikavyöhyke, joissakin useita, ja maiden valitsemat aikavyöhykkeet eivät aina vastaa pituuspiirien mukaisia aikavyöhykkeitä. Aikavyöhykkeeltä toiselle on usein mahdollista siirtyä esim. suoraan pohjoiseen tai etelään, kuten tässä tapauksessa.

Lisäksi vierekkäisten maiden tai maan sisäisten vyöhykkeiden aikaero ei aina ole tunti, vaan voi olla esim. 15 minuuttia, 30 minuuttia, yksi, kaksi, tai kolmekin tuntia. Lisäksi tietyt maat noudattavat kesä- ja talviaikaa, ja sen sekä eri maiden vaihtelevien siirtymäpäivämäärien ja kellonaikojen johdosta voivat vierekkäisten vyöhykkeiden aikaerot vaihdella vuodenaikojen mukaan.

Kohti uutta aikaa

Eräällä työmatkallani kuljin yhdeltä aikavyöhykkeeltä toiselle viereiselle aikavyöhykkeelle. Jouduin siis kääntämään kelloani eteen- tai taaksepäin. Vai onko mahdollista välttyä kellon kääntämiseltä?

Kelloa ei tarvitse kääntää, jos sattuu kulkemaan aikavyöhykerajan yli tarkalleen silloin, kun kelloa käännetään matkan kohteessa vastakkaiseen suuntaan kesä- tai talviaikaan siirtymisen vuoksi. Näin voisi siis käydä matkustaessa idästä länteen kesäaikaan siirryttäessä tai lännestä itään talviaikaan siirryttäessä. Kesä- ja talviajan ero on tavallisesti tunti, joten vyöhykkeiden aikaeron on oltava sama.

Norsupalloturnaus

Kuva: The Brit_2. Lisenssi: CC-BY-NC-ND 2.0

Suomen norsupallojoukkue pelaa pohjoismaisessa turnauksessa kolme peliä kahta vastustajaansa, Ruotsia ja Norjaa vastaan. Turnauksen säännöt ovat sellaiset, että joukkue voittaa koko turnauksen, jos se voittaa kaksi peräkkäistä pelaamaansa peliä. Koska Suomi on turnauksen isäntämaa, se saa sääntöjen mukaan valita vastustajiensa järjestyksen: pelaako Suomi ensin Ruotsia, sitten Norjaa ja lopuksi Ruotsia vastaan, vai ensin Norjaa, sitten Ruotsia ja lopuksi Norjaa vastaan. Ruotsi on turnauksen ennakkosuosikki.

Missä järjestyksessä Suomen kannattaa pelata Ruotsia ja Norjaa vastaan?

Helposti ajatellaan, että vaikeinta vastustajaa vastaan kannattaa pelata niin vähän pelejä kuin suinkin, eli aloittaa Norjaa vastaan, sitten pelata Ruotsia vastaan ja lopuksi Norjaa vastaan. Asia ei kuitenkaan ole niin yksinkertainen.

Suomi voittaa turnauksen, jos se voittaa kaksi ensimmäistä, kaksi viimeistä tai kaikki kolme peliä. Merkitään todennäköisyyttä voittaa Ruotsi R:llä ja todennäköisyyttä voittaa Norja N:llä. Jos aloitetaan pelaamalla Norjaa vastaan ovat voittoisat tapahtumasarjat NR(1-N), (1-N)RN ja NRN eli todennäköisyys voittaa turnaus on: NR(1-N) + (1-N)RN + NRN = NR(2-N). Jos taas aloitetaan pelaamalla Ruotsia vastaan, todennäköisyys voittaa on: RN(1-R) + (1-R)NR + RNR = NR(2-R). N > R, joten 2-R > 2-N. Todennäköisyys voittaa turnaus on siis suurempi, jos ensimmäinen peli on Ruotsia vastaan.

Koska keskimmäinen peli on pakko voittaa, on parasta valita siihen heikompi vastus. Vaikeamman vastustajan voittamiseen on sitten kaksi mahdollisuutta.

Hätäpysäytys!

Achim Hering. Public domain.

Voimalan ohjauspaneelissa on tuhansien muiden säädinten lisäksi neljä painiketta, jotka ohjaavat neljää voimalan keskeistä osajärjestelmää. Hätäpysäytystilanteessa kaikki neljä tulee kytkeä pois päältä hyvin nopeasti. Normaalisti painikkeiden vieressä olevat valot kertoisivat onko napin ohjaama osajärjestelmä päällä vai pois päältä, mutta huonon huollon vuoksi kaikki valot ovat rikki. Mistään ei siis näe mitkä painikkeista on painettu päälle ja mitkä ovat pois päältä. Kuitenkin kun kaikki osajärjestelmät on sammutettu, syttyy hätäpysäytyksen merkkivalo.

Montako painallusta korkeintaan tarvitaan, jotta voimalan saa varmasti pysäytettyä? Mikä on todennäköisyys, että voimalan saa suljettua enintään kahdella painalluksella?

Neljä painiketta voivat olla 2⁴ = 16 eri asennossa. Alkuasetelma on jokin viidestätoista vaihtoehdosta, joissa vähintään yksi osajärjestelmistä on päällä. Voimalan saa suljettua käymällä läpi kaikki vaihtoehdot Greyn koodin mukaisesti, jolloin tarvitaan korkeintaan 15 painallusta. Painelujärjestys: 1, 2, 1, 3, 1, 2, 1, 4, 1, 2, 1, 3, 1, 2, 1.

Kaikista osajärjestelmien 15 vaihtoehdosta neljä on sellaisia, että vain yksi osajärjestelmä on päällä. Oikeaan vaihtoehtoon osumisen todennäköisyys yhdellä painalluksella on 1/15. Vastaavasti kahden osajärjestelmän ollessa päällä todennäköisyys valita juuri oikeat kaksi kahdella painalluksella on 1/15. Aivan samalla tavalla on jokaisella painallusmäärällä. Todennäköisyys saada voimala suljettua enintään kahdella painalluksella on siis 2/15.

Selviytyjät

Kuva: Cuijk. CC-BY-SA 3.0

TV-yhtiön uudessa tosi-TV-selviytymiskilpailussa kilpailijat on jaettu kolmeen joukkueeseen. Joukkueiden nimet ovat "kivi", "paperi" ja "sakset". Jos joukkue "kivi" onnistuu voittamaan viikon haastetehtävän, saavat he valita kuka joukkueesta "sakset" pudotetaan kilpailusta. Jos joukkue "sakset" voittaa, he saavat valita kuka kilpailija joukkueesta "paperi" saa lähteä kotiin. Vastaavasti joukkue "paperi" saa voittaessaan valita kuka pudotetaan joukkueesta "kivi".

Ohjelman teko on jo aloitettu, kun tuotantotiimi huomaa säännöissä vakavan ongelman. Mikä se mahtaa olla?

Yksikään joukkue ei pääse pudottamaan oman pahimman kilpailijajoukkueensa osallisia, vaan auttavat kilpailijaansa pudottamalla kolmannen joukkueen jäseniä. Siis esim. joukkue "kivi" pudottaa joukkueen "sakset" jäseniä, jotka voisivat muuten auttaa joukkueen "paperi" eliminoimisessa. Jos joukkue "kivi" onnistuu pudottamaan joukkueesta "sakset" kaikki kilpailijat, voittaa joukkue "paperi" varmasti. Näin ollen paras strategia on aina hävitä haastetehtävät. Kun kaikki huomaavat tämän, ei yksikään joukkue tee elettäkään haasteiden voittamiseksi.

Kaksosten syntymäpäivät

Kuva: MultipleParent. Lisenssi: CC-BY-SA 3.0

Eräänä päivänä nuorempi kaksospojista viettää syntymäpäiväänsä. Kaksi päivää myöhemmin hänen vanhempi veljensä juhlii omaa syntymäpäiväänsä. Miten tämä on mahdollista?

Kaksoset ovat syntyneet helmi- ja maaliskuun vaihteessa ei-karkausvuonna valtamerilaivassa, joka on matkalla länteen. Vanhempi kaksosista on syntynyt laivan kellon ollessa puoliyön ja kello yhden välillä 1. maaliskuuta. Sen jälkeen laiva on ylittänyt aikavyöhykkeen rajan länteen, jossa kello on vielä ilta yhdentoista ja kahdentoista välillä 28. helmikuuta. Karkausvuosina väliin tulee vielä 29. helmikuuta, joten silloin nuorempi kaksosista viettää syntymäpäiviään kaksi päivää vanhempaa ennen.

Musta ässä

Sinut on jujutettu pelaamaan uhkapeliä korteilla. Tavallinen 52 kortin korttipakka on sekoitettu hyvin. Käydään pakkaa läpi järjestyksessä yksi kortti kerrallaan. Sinun pitäisi arvata monesko kortti on ensimmäinen vastaan tuleva musta ässä. Mitä arvaisit, jotta sinulla olisi paras todennäköisyys olla oikeassa?

Kannattaa arvata, että ensimmäinen pakasta käännettävä kortti on musta ässä.

Tutkitaan kahden mustan ässän sijoittumismahdollisuuksia. Kaksi mustaa ässää voi sijoittaa pakkaan 52 x 51 / 2 = 1326 eri tavalla, kun maiden keskinäisestä järjestyksestä ei välitetä.

Muiden korttien kuin ässien järjestyksestä ei tarvitse välittää, koska ne voivat jokaisessa eri vaihtoehdossa sijoittua jäljelle jääville 50 paikalle yhtä monella eri tavalla.

Jos ensimmäinen musta ässä on pakan päällimmäisenä, voi toinen ässä sijoittua 51 eri tavalla. Jos ensimmäinen musta ässä on pakassa kymmenentenä, voi toinen ässä sijoittua 42 eri tavalla. Jos ensimmäinen musta ässä olisi vasta toiseksi viimeinen kortti, olisi toisella ässällä vain yksi mahdollinen paikka.

Tästä nähdään, että eniten on sellaisia erilaisia vaihtoehtoja, joissa musta ässä on pakassa ensimmäisenä. Todennäköisyys on kuitenkin vain 51 / 1326. Kovin suurella panoksella ei siis tätäkään vaihtoehtoa kannata veikata.

Ei kaikki ole kultaa

Muuan erikoinen miljonääri asettaa torilla esille joukon kultaesineitä. Ne kaikki ovat täsmälleen saman painoisia mutta eri muotoisia möhkäleitä. Kaikki esineet näyttävät ulkoisesti kullalta, mutta yksi niistä on muuta ainetta, joka painaa kultaan verrattuna gramman vähemmän kuutiosenttiä kohti. Se, joka pystyy ensiksi osoittamaan mikä esineistä ei ole kultaa, saa ne kaikki itselleen. Mikä olisi helpoin tapa selvittää tehtävä?

Sen esineen, joka on tehty kevyemmästä aineesta, täytyy olla hieman isompi kuin muut. Jos kaikki esineet upottaa yksitellen samalla vesimäärällä täytettyyn vesiastiaan, isompi esine nostaa veden pintaa enemmän kuin muut. Tässä täytyy toki olla hyvin tarkkana, koska painoero on niin pieni.

Mustasukkaisuutta

Viisi avioparia on matkalla loman viettoon saarelle. Matka mantereelta saareen kuljetaan kiikkerällä soutuveneellä. Soutuveneeseen mahtuu kerrallaan kolme henkilöä. Kaikki miehet osaavat soutaa ja myös yksi naisista. Muut neljä naista eivät missään tapauksessa suostu käymään airoihin.

Jotta saareen pääsy ei olisi aivan helppoa, ovat miehet äärimmäisen mustasukkaisia eikä kukaan heistä suostu jättämään vaimoaan muiden miesten seuraan mantereen puolelle, saareen tai veneeseen. Jokaisen naisen tulee siis olla joka hetki joko pelkästään naisseurassa tai niin, että hänen oma miehensä on seurassa mukana.

Millä tavalla koko väki pääsee saareen?

Merkitään naisia isoilla kirjaimilla A, B, C, D ja E. Miehiä merkitään pienillä kirjaimilla a, b, c, d ja e. A ja a ovat aviopari, muut vastaavasti. A on se naisista, joka suostuu soutamaan. V on vene.

Lähtö				Kohde
ABCDE	V			_____
abcde				_____
___DE			V	ABC__
abcde				_____
A__DE	V			_BC__
abcde				_____
____E			V	ABCD_
abcde				_____
A___E	V			_BCD_
abcde				_____
A___E			V	_BCD_
a___e				_bcd_
A__DE	V			_BC__
a__de				_bc__
___DE			V	ABC__
___de				abc__
__CDE	V			AB___
__cde				ab___
__CDE			V	AB___
_____				abcde
A_CDE	V			_B___
_____				abcde
____E			V	ABCD_
_____				abcde
A___E	V			_BCD_
_____				abcde
_____			V	ABCDE
_____				abcde

Sisään ja ulos

Kuva: public domain

Eräisiin juhliin on kutsuttu suurehko määrä ihmisiä. Juhlien emännällä on usein erilaisia erikoisia pakkomielteitä, niin myös tällä kertaa. Hän on päättänyt, että kerrallaan juhlahuoneistoon saa astua vain yksi vieras sisään tai tai yksi vieras ulos, ja että illan aikana on jokaisen mahdollisen vieraiden osajoukon oltava kokoontuneena juhlahuoneistoon, mutta vain kerran. Siis esimerkiksi niin, että jos vieraita olisi kolme (A, B ja C), olisi illan aikana huoneistossa oltava vierasjoukot A, B, C, AB, AC, BC ja ABC, mutta mikään niistä ei enempää kuin kerran.

Onko emännän idea mahdollinen toteuttaa, eli onko olemassa tapaa käydä läpi kaikki vierasjoukon erikokoiset osajoukot siten, että jokainen joukko on huoneessa vain kerran ja kerrallaan huoneeseen saa tuoda tai sieltä poistaa vain yhden henkilön?

Kyllä se on mahdollista. Seuraavassa yksi tapa.

Ensin esimerkiksi kahden vieraan tapaus:
A_
AB
_B

Sitten kolmen vieraan tapaus:
A__
AB_
_B_
_BC
ABC
A_C
__C

Neljän vieraan tapaus:
A___
AB__
_B__
_BC_
ABC_
A_C_
__C_
__CD
A_CD
ABCD
_BCD
_B_D
AB_D
A__D
___D

Suuremmilla vierasmäärillä käytetään samaa periaatetta. Esimerkiksi neljän vieraan tapauksessa käydään läpi kolmen vieraan ratkaisu kahdesti, kerran yhteen suuntaan ilman neljättä vierasta ja kerran toiseen suuntaan symmetrisesti neljännen vieraan kanssa. Vastaavasti viiden vieraan tapauksessa käydään neljän vieraan ratkaisu läpi kerran yhteen ja kerran toiseen suuntaan.

Tämä tapa käydä joukot läpi vastaa Greyn koodia. Lisää aiheesta Wikipediassa.

Valheen lyhyet jäljet

Kuva: public domain

Edellisessä tehtävässä arvuuteltiin kuka on kukin kolmesta veljeksestä. Yksi heistä puhuu aina totta, toinen valehtelee aina ja kolmannen puheista joka toinen virke on totta ja joka toinen valhetta.

Eräänä päivänä veljesten luokse vieras, joka haluaisi tietää, kuka veljistä on kuka. Veljistä on kuitenkin paikalla vain yksi, veli A. Tämä kertoo vieraalle seuraavasti:

"En ole se, joka puhuu aina totta.
Veljeni B ei ole se, joka valehtelee aina.
Veljeni C ei ole se, joka puhuu totta ja valehtelee vuoron perään."

Vieras päätteli heti kuka on kukin. Pystytkö sinä päättelemään saman?

A ei voi olla todenpuhuja, koska jos hän olisi, hänen ensimmäisen virkkeensä mukaan hän ei olisi todenpuhuja. Hän ei myöskään voi olla ikuinen valehtelija, koska silloin hänen ensimmäinen väitteensä tarkoittaisi, että hän olisi todenpuhuja. Koska nämä ovat molemmat ristiriitaisia väitteitä, A:n täytyy olla se, joka vuorotellen puhuu totta ja valehtelee. A:n ensimmäinen väite on siis tosi, joten seuraavan on oltava valhe ja kolmannen taas totta. B:n on siis oltava valehtelija. Jäljelle jää enää vain C, jonka on oltava todenpuhuja.

Paljastavat valheet

Kuva: public domain

Olipa kerran kolme erilaista veljestä. Yksi heistä puhuu aina totta. Toinen veli on pakonomainen valehtelija. Kolmas veljistä sairastaa harvinaista luusairautta, jonka vuoksi joka toinen hänen lausumansa virke on totta ja joka toinen valhetta.

Veljien luokse tuli vieras, joka halusi tietää kuka heistä on kukin. Veljet A, B ja C vastasivat seuraavasti:
A: Olen todenpuhuja.
B: Olen valehtelija.
C: He molemmat valehtelevat. Minä olen se, jolla on luusairaus.

Kuka on kukin?

Jos B olisi todenpuhuja, hänen olisi oman väitteensä mukaan oltava valehtelija. Hän ei siis ole todenpuhuja. Jos B olisi valehtelija, hänen väitteensä olisi totta, jolloin hän ei olisi valehtelija. B ei siis ole todenpuhuja eikä valehtelija, joten hänellä täytyy olla luusairaus ja väite on valhe.

Tästä seuraa, että C:n täytyy olla valehtelija, koska hänen toinen väitteensä on varmasti valhe, kuten on siis myös ensimmäinen väite. A on todenpuhuja, kuten sanoikin.

Ontto vai umpinainen

Kuva: SoylentGreen. Lisenssi: CC-BY-SA 3.0

Eräällä retkelläsi olet eksynyt metsään. Vastaasi tulee metsässä asuva erakko, joka lupaa neuvoa sinulle tien takaisin sivistyksen pariin, jos pystyt ratkaisemaan hänen antamansa pulman.

Erakolla on kaksi kookasta kuulaa. Toinen on ontto ja toinen täysin umpinainen. Ulkonäöltään, kooltaan ja painoltaan ne ovat kuitenkin aivan samanlaisia. Erakko lupaa neuvoa sinulle tien pois metsästä, jos pystyt kertomaan kumpi kuula on ontto ja kumpi umpinainen. Pystytkö selvittämään pulman?

Onton ja umpinaisen kuulan massat ovat jakautuneet eri tavoin. Ontossa kuulassa keskusta on tyhjä, joten massa on kauttaaltaan kauempana keskipisteestä. Sen vuoksi onton kuulan hitausmomentti on suurempi, eli sen pyörittämiseen tiettyyn nopeuteen vaaditaan enemmän voimaa kuin umpinaisen kuulan tapauksessa. Siispä jos kuulat asettaa kaltevalle tasolle ja antaa niiden vieriä samaan aikaan alas, umpinainen kuula kerää vauhtia nopeammin ja ehtii ensimmäisenä alas.

Kolmentoista kopla

VladimirZhV. Public domain.

Kolmentoista mestarivarkaan kopla on tehnyt ison jalokivikeikan. Ryöstösaalis on päätetty piilottaa erääseen kellariin kunnes tilanne rauhoittuu. Varkaat päättävät yhdessä, että jalokivet voidaan myydä sitten, kun enemmistö heistä on sitä mieltä. Jotta saalis säilyy siihen asti koskemattomana, he päättävät lukita kellarin usealla lukolla ja jakaa avaimet keskuudessaan niin, että vain enemmistö voi yhdessä avata oven. Mikä tahansa seitsemän tai useamman varkaan joukko voisi siis avata oven, mutta pienempi porukka ei. Jokaiseen lukkoon voi olla useita avaimia, mutta kukin avain sopii vain yhteen lukkoon.

Onko olemassa tapaa lukita ovi niin kuin varkaat haluaisivat?

Ainakin eräs tapa löytyy. Oveen asennetaan lukko jokaista erilaista kuuden varkaan osajoukkoa kohti ja jaetaan lukon avain muille seitsemälle varkaalle. Näin jokaisella kuuden varkaan porukalla on esteenään yksi lukko, jota he eivät saa auki. Jos heidän joukkoonsa liittyy vielä kuka tahansa yksi varas, saavat he lukon auki.

Käytännöllinen tämä tapa ei ole, sillä 13 varkaan tapauksessa erilaisia kuuden varkaan kombinaatioita on 13!/6!7! = 1716, eli oveen pitäisi asentaa 1716 lukkoa!