Aarresaari

40 merirosvoa on haaksirikkoutunut autiolle saarelle. He huomaavat pian, että saaren keskelle on piilotettu aarre. Kaikki merirosvot ovat hyvin älykkäitä mutta itsekkäitä, täysin yhteistyökyvyttömiä, erittäin ahneita, eivätkä kaihda väkivaltaa. Jokainen heistä haluaisi aarteen itselleen. Jokainen heistä on myös valmis tappamaan sen, jolla aarre on, saadakseen sen haltuunsa. Kukaan heistä ei kuitenkaan halua kuolla ja on valmis jättämään aarteen rauhaan, jos sen omiminen johtaisi kuolemaan.

Mitä saarella tulee tapahtumaan ja miksi?

Oletetaan, että merirosvoja olisi vain yksi. Hän ottaisi aarteen heti itselleen, koska ei olisi vaarassa joutua kenenkään tappamaksi. Jos taas merirosvoja olisi kaksi ja yksi heistä ottaisi aarteen itselleen, hyökkäisi toinen heti aarteen ottajan kimppuun.
Entä jos merirosvoja on kolme? He kaikki tietävät, että jos yksi heistä ottaa aarteen haltuunsa, ei kumpikaan muista kahdesta uskalla hyökätä hänen kimppuunsa, koska lopulta saisi viimeisen merirosvon peräänsä samoin kuin kahden merirosvon tapauksessa. Yksi heistä siis ottaa nopeasti aarteen itselleen ja kaksi muuta jäävät nuolemaan näppejään.

Jos taas merirosvoja on neljä ja joku heistä nappaisi aarteen itselleen, voi joku kolmesta muusta hyökätä kimppuun tietäen, että aarteen saatuaan kaksi jäljelle jäänyttä merirosvoa eivät tekisi mitään. Siispä kukaan heistä ei yritä haalia aarretta.

Tapauksia tutkimalla käy selväksi, että aina kun merirosvoja on pariton määrä, ottaa yksi heistä aarteen itselleen ja muut eivät uskalla tehdä mitään. Jos merirosvoja on parillinen määrä, kukaan ei halua ottaa aarretta itselleen, koska sen jälkeen muilla on turvallinen tilaisuus käydä hänen kimppuunsa. Siispä kun saarella on 40 merirosvoa, kukaan heistä ei kajoa aarteeseen.

Seitsemän lamppua

4028mdk09. CC-BY-SA 3.0

Makuuhuoneen katossa palaa 7 lamppua, jotka pitäisi saada sammutettua. Lamput ovat vierekkäin siten, että ne muodostavat ympyrän. Seinällä on vastaavassa muodostelmassa 7 kytkintä. Yksi kytkin kutakin lamppua varten.

Sähköasentaja on kuitenkin tehnyt kiusaa ja yhdistänyt kytkimet siten, että kunkin kytkimen kääntäminen vaikuttaa yhden lampun lisäksi myös sen vieressä kummallakin puolella oleviin lamppuihin. Jos siis kolme vierekkäistä lamppua palaa, keskimmäisen lampun kytkimen kääntäminen sammuttaa ne kaikki. Jos taas jokin tai useampi kyseisistä kolmesta lampusta on jo sammutettu, syttyvät ne uudestaan palamaan.

Miten kaikki lamput saa pois päältä vähimmällä vaivalla? (Rikkomatta lamppuja!)

Lampun kytkimen kääntäminen kerran sammuttaa sen, toinen kerta jälleen sytyttää sen, kolmas kerta sammuttaa jne. Jokaisen lampun tilan tulee siis vaihtua 1, 3, 5 jne. kertaa eli vaihtokertoja on oltava pariton määrä lamppua kohti. Lisäksi jokaisella käännöllä kolmen lampun tila vaihtuu kerran ja lamppuja on pariton määrä. Näistä voi arvellakin, että kytkimen kääntöjä tulee olemaan pariton määrä. On myös niin, että järjestyksellä ei ole väliä, vaan samat kytkimet voi käydä läpi eri järjestyksissä, ja tulos on silti sama, koska lampun lopullisen tilan määrää vain se kuinka monta kertaa lampun tila on vaihdettu.

On helppo kokeilla, että 1, 3 tai 5 kääntöä ei riitä lamppujen sammuttamiseen. Yksinkertaisin tapa saada lamput sammuksiin onkin käydä kaikki seitsemän kytkintä läpi järjestyksessä yksitellen. Kytkin 1 kääntää lamput 7, 1 ja 2 pois päältä. Kytkin 2 kääntää lamput 1 ja 2 takaisin päälle ja lampun 3 pois päältä. Kytkin 3 kääntää lampun 2 taas pois päältä, lampun 3 takaisin päälle ja lampun 4 pois päältä. Näin edeten jokaisen lampun tila vaihtuu 3 kertaa, eli pois päältä, päälle ja pois päältä.

Muista lääkkeet

Michelle Tribe. Lisenssi CC-BY 2.0

Lääkäri on määrännyt sinulle kahta lääkettä. Sinun olisi otettava yksi tabletti kumpaakin lääkettä kerran päivässä. Jos jätät toisen lääkkeen ottamatta tai otat usempia tabletteja kumpaa vain lääkettä, voi siitä seurata hengenvaarallinen myrkytystila.

Eräänä päivänä sattuu vahinko ja otat käteesi yhden tabletin toista lääkettä mutta kaksi tablettia toisesta lääkepurkista. Tabletit näyttävät ulkoisesti täsmälleen samalta; ne ovat valkoisia, 10 gramman painoisia, pyöreitä ja halkaisijaltaan yhden sentin kokoisia. Kädessäsi on siis kolme tablettia, joista kaksi on samaa lääkettä, mutta et pysty erottamaan lääkkeitä toisistaan.

Miten sinun kannattaa toimia, jotta voit turvallisesti syödä päivän lääkeannoksen? Lääkkeet ovat erittäin kalliita, joten yhtään tablettia ei pitäisi hukata.

Lisää sekaan vielä tabletti ensimmäisestä purkista, josta poimit aluksi vain yhden tabletin. Puolita sitten kaikki tabletit ja ota puolikas jokaisesta. Seuraavana päivänä voit ottaa loput puolikkaat.

Kolikkopeli

Baarissa pelataan yksinkertaista uhkapeliä kolikoilla. Pelissä kaksi pelaajaa heittää kolikkoa yhtä aikaa. Pelaajan A tavoite on saada peräjälkeen kaksi kruunaa, pelaajan B tavoitteena on ensin kruuna ja sitten klaava. Heittokierroksia pelataan niin kauan kunnes toinen pelaajista voittaa. Jos molemmat saavat voittotuloksen samalla kierroksella, peli jatkuu.

Merkitään kruunaa X:llä ja klaavaa O:lla. Erilaisia yhden pelaajan kahden heiton sarjoja on siis neljä, joissa voitot menevät seuraavasti:
- XX: tällä heittosarjalla A voittaa
- XO: tällä heittosarjalla B voittaa
- OX: kumpikaan ei voita
- OO: kumpikaan ei voita

Jos osallistut peliin, onko sillä merkitystä pelaatko A:n vai B:n roolissa, eli pyritkö saamaan kaksi kruunaa vai kruunan ja klaavan?

Kahden heiton perusteella näyttäisi siltä, että molemmilla pelaajilla on yhtä hyvät mahdollisuudet, mutta kun lisätään kolmas heittokierros saadaan seuraavat kahdeksan sarjaa:
- XXX: A voittaisi
- XXO: A ja B voittaisi
- XOX: B voittaisi
- XOO: B voittaisi
- OXX: A voittaisi
- OXO: B voittaisi
- OOX: kumpikaan ei voittaisi
- OOO: kumpikaan ei voittaisi

Kaikista kolmen heiton sarjoista suosiollisia A:lle on 3, mutta B:lle 4.

Otetaan vielä esimerkiksi viiden heiton sarja, jossa on 2^5 eli 32 mahdollista heittosarjaa. B:lle epäsuotuisia vaihtoehtoja on vain 6 kpl (XXXXX, OXXXX, OOXXX, OOOXX, OOOOX ja OOOOO). B:lle suotuisia sarjoja on siis 26 kpl 32:sta.

Niitä sarjoja, jotka ovat A:lle epäsuotuisia on 13 kpl (OOOOO, OOOOX, OOOXO, OOXOO, OOXOX, OXOOO, OXOOX, OXOXO, XOOOO, XOOOX, XOOXO, XOXOO, XOXOX). Suotuisia sarjoja on siis 19 kpl 32:sta.

B:llä on siis selvästi paremmat mahdollisuudet voittaa.

Uskottomuus

Jeff Belmonte. Lisenssi CC-BY 2.0

Eräässä eristäytyneessä kylässä on vanha omalaatuinen tapa vaalia kyläläisten avioliittoja. Jos nimittäin vaimo saa tietää, että hänen miehensä on ollut uskoton, on vaimon julistettava miehensä uskottomuus koko kylälle saman päivän iltana. Mies häädetään silloin heti kylästä.

Koska kyläläiset ovat kovia juoruamaan toisensa asioista, käy aina niin, että kaikki muut tietävät pettämisestä ennen kuin asia selviää petetylle vaimolle. Aviorikoksen paljastamista petetylle vaimolle pidetään erittäin häpeällisenä, joten niin ei tehdä.

Eräänä kesänä muuan vieras vietti muutaman viikon kyläläisten keskuudessa ja tutustui heihin. Poislähtiessään hän ilmoitti kaikille, että kylässä on ollut uskottomuutta. Seitsemän päivää myöhemmin joukko naisia julisti tietävänsä, että heidän aviomiehensä ovat pettäneet heitä.

Kuinka monta miestä sai lähtöpassit kylästä tuona iltana?

Kylässä on siis vähintään yksi pettämistapaus. Oletetaan ensin, että kylässä olisi yksi uskoton mies. Petetty vaimo ei tiedä yhtäkään pettäjää, joten hän päättelee nopeasti oman miehensä olleen uskoton. Paljastuksessa kesti kuitenkin seitsemän päivää, joten uskottomia on oltava enemmän kuin yksi.

Oletetaan sitten, että kylässä olisi kaksi uskotonta miestä. Molemmat petetyt vaimot tietävät toistensa pettämistapauksista, mutta eivät omistaan. Kumpikin voi päätellä näin: "jos hän ei illalla julista miehensä uskottomuutta, hänen täytyy tietää minun mieheni olevan uskoton." Niinpä toisena päivänä molemmat vaimot julistavat oman miehensä uskottomuuden.

Jos petettyjä olisi kolme, he voisivat päätellä näin: "tiedän kaksi petettyä, joten jos he eivät huomenna julista miehiään uskottomiksi, on myös minun mieheni oltava uskoton." Kolmantena päivänä siis kolme vaimoa paljastaa miestensä uskottomuuden.

Vastaavasti myös jos petettyjä olisi 4, 5, 6 tai 7. Seitsemäntenä päivänä siis seitsemän miestä häädetään kylästä.

Perintöä odotellessa

vittis m. CC-BY 2.0

Kolme veljestä kiertelee isänsä viinitilan kellarissa. He katselevat ympärillään olevia viinitynnyreitä ja pohtivat perintöään. Eräässä pienessä huoneessa on 21 viinitynnyriä, joista 7 on täynnä, 7 tyhjiä ja 7 puolillaan. Veljekset alkavat miettiä miten viinitynnyrit voisi jakaa heidän kolmen kesken tasapuolisesti niin, että jokainen saisi yhtä monta tyhjää, yhtä monta täyttä ja yhtä monta puolillaan olevaa tynnyriä. Minkäänlaisia muita astioita tai mittausvälineitä heillä ei ole. Miten jako voidaan järjestää?

He voisivat täyttää kaksi puolillaan olevaa tynnyriä kahdesta muusta puolillaan olevasta tynnyristä. Näin täysiä tynnyreitä olisi 9, tyhjiä 9 ja puolillaan olevia 3. Nämä on helppo jakaa siten, että jokainen saa 3 täyttä, 3 tyhjää ja yhden puolillaan olevan tynnyrin.

Viisasten kerho kokoontuu jälleen

ginfox. CC-BY-NC 2.0

Kerhon edellisen tapaamisen yhteydessä kolme viisasten kerhon jäsentä kiistelivät siitä, kuka heistä on älykkäin. Kerhon puheenjohtaja järjesti heille kilpailun. Kisan päätyttyä kaksi häviäjää protestoivat ja vaativat uusintaa. Puheenjohtaja suostui ja lupasi, että uusi tehtävä tulisi olemaan vaikea mutta kaikille varmasti tasapuolinen.

Puheenjohtaja pyytää kilpailijoita istumaan rinkiin, jotta jokainen näkee muut kaksi. Sitten hän hakee kaapista viisi hattua: kaksi valkoista ja kolme mustaa. Näytettyään hatut kilpailijoille hän sitoo kaikkien silmät ja asettaa kunkin päähän yhden hatun. Loput kaksi hattua hän vie takaisin kaappiin.

Kilpailijoiden tehtävänä on ilmoittaa oman hattunsa väri. Omaa hattuaan he eivät voi nähdä, mutta muiden hatut kyllä. Ennen kuin puheenjohtaja ehtii poistaa siteet kilpailijoiden silmiltä, yksi heistä ilmoittaa jo ääneen oman hattunsa värin aivan oikein.

Miten kilpailija pystyi päättelemään hattunsa värin näkemättä vielä mitään vihjeitä?

Mikäli puheenjohtaja olisi asettanut kilpailijoiden päihin kaksi valkoista hattua ja yhden mustan, olisi mustan hatun omaavalla kilpailijalla etulyöntiasema. Hän pystyisi helposti tietämään oman hattunsa mustaksi, koska hän näkee molemmat valkoiset hatut.

Jos taas puheenjohtaja olisi asettanut kilpailijoiden päihin kaksi mustaa hattua ja yhden valkoisen, voisivat mustan hatun omaavat kilpailijat päätellä hattunsa värin siitä, että toinen mustan hatun omaava ei äkkiä ilmoita tietävänsä oman hattunsa väriä, kuten kävisi edellä kuvatussa ensimmäisessä tapauksessa. Tässä tapauksessa siis valkoisen hatun omaava kilpailija olisi heikommassa asemassa.

Koska puheenjohtaja lupasi, että kilpa on kaikille kisaajille tasapuolinen, ei kumpikaan edellisistä vaihtoehdoista käy. Siispä kaikilla on oltava mustat hatut, koska vain silloin kisa on kaikille yhtä vaikea. Nokkelin kisaaja keksii tämän ensin, eikä hänen siis tarvitse edes odottaa, että näkee muiden hatut.