On pellettejä ja pellettejä

 

Colin Palmer. Lisenssi: CC-BY

Aiemmin kaupan apulainen sai tehtäväkseen erotella liian kevyet lasikuulat normaaleista lasikuulista. Tällä kertaa kaupan varastoon on tuotu kymmenen tynnyriä täynnä pellettejä. Osassa tynnyreistä on 1 gramman ja osassa 2 gramman painoisia pellettejä. Kukaan ei tiedä missä tynnyreissä on kevyitä ja missä painavia pellettejä.

Apulaisella on käytössään tarkka digitaalinen painovaaka. Hän saa tehtäväkseen selvittää vaa'an avulla mitkä tynnyrit sisältävät painavampia pellettejä, mutta vaakaa saa käyttää vain yhden ainoan kerran.

Millä tavalla tehtävä suoritetaan?

Aikaisemmassa tehtävässä tiedettiin, että vain yksi laatikko sisälsi eripainoisia kuulia. Tällä kertaa painavia pellettejä voi olla yhdessä tai useammassa tynnyrissä, tai ei yhdessäkään. Tynnyrit voi kuitenkin erotella toisistaan lähes samaan tapaan kuin aikaisemmin laatikot.

Merkitään tynnyrit numeroilla yhdestä kymmeneen. Poimitaan ensimmäisestä tynnyristä 1 pelletti, toisesta 2 pellettiä, kolmannesta 4, neljännestä 8, viidennestä 16 jne. Tynnyristä i otetaan siis 2^(i-1) pellettiä. Kerättyjen pellettien yhteispaino mitataan vaa'alla.

Jos kaikissa tynnyreissä olisi yhden gramman painoisia pellettejä, yhteispainoksi tulisi 1 + 2 + 4 + 8 + 16 + 32 + 64 + 128 + 256 + 512 = 1023 grammaa. Siitä miten paljon mitattu yhteispaino eroaa 1023:sta voidaan päätellä mitkä tynnyrit sisältävät painavampia pellettejä.

Binäärilukuja tunteville em. kahden potenssit ovat tuttuja. Mainituilla luvuilla on se ominaisuus, että niitä valikoiden yhteenlaskemalla voidaan muodostaa jokainen luku väliltä 1 - 1023, mutta kukin luku on mahdollista muodostaa vain yhdellä tavalla. Ongelman ratkaisuna on siis hajottaa mitattu erotus osiinsa, jolloin osat kertovat suoraan, mitkä tynnyrit sisältävät painavia pellettejä.

Esimerkiksi jos yhteispaino on 1025 grammaa, on erotus 2 grammaa, joten ainoastaan tynnyrissä kaksi oli painavampia pellettejä. Jos yhteispaino on vaikkapa 1060 on erotus 37, joka muodostuu luvuista 1 + 4 + 32, eli tynnyreissä 1, 3 ja 6 on oltava painavampia pellettejä.

Arvoituksellinen setä

Aaron Pruzaniec. Lisenssi: CC-BY

Muuan poika tapasi setänsä ensimmäisen kerran vasta seitsemän vuoden ikäisenä. Hän ei ollut koskaan nähnyt kuvaa sedästään eikä kukaan ollut kuvaillut hänelle sedän ulkonäköä. Silti poika tunnisti hänet helposti, kun he kohtasivat sattumalta. Miten se on mahdollista?

Eräänä iltana setä luki pojalle tarinaa kirjasta, kun yhtäkkiä sähkökatko sammutti valot. Setä kuitenkin jatkoi lukemistaan keskeytyksettä, vaikka huoneessa oli aivan pimeää. Miten hän näki lukea kirjaansa?

Poika tunnisti setänsä, koska hän tiesi, että hänen isänsä ja setänsä ovat identtiset kaksoset.

Setä ei nähnyt kirjaa mutta pystyi lukemaan sitä, koska hän oli sokea ja kirja oli kirjoitettu pistekirjoituksella.

Yli joen

Tässäpä todellinen pulmaklassikko: joen ylitys vuohen, suden ja kaalinpään kanssa.

Olet palaamassa kotiin retkeltä. Jostakin tuntemattomasta syystä mukanasi on kaalinpää sekä vuohi ja susi. Matkalla sinun on ylitettävä joki soutuveneellä. Kaali ja eläimet on myös tuotava mukana. Vene on kuitenkin pieni ja siihen mahtuu soutajan lisäksi vain yksi asia kerrallaan, joten edessä on useampi edestakainen soutureissu joen yli.

Vuohta ja kaalinpäätä ei voi jättää hetkeksikään kahden samalle rannalle tai vuohi pistelee kaalin poskeensa. Vastaavasti vuohta ja sutta ei voi jättää kaksin, tai susi syö vuohen.

Miten saat kuljetettua kaikki joen yli?

Ensin viedään vuohi vastarannalle ja palataan takaisin lähtörannalle. Seuraavaksi susi viedään vastarannalle, josta puolestaan otetaan vuohi kyytiin ja palautetaan lähtörannalle. Lähtörannalta veneeseen otetaan kaalinpää, joka viedään vastarannalle suden seuraksi. Lopuksi käydään vielä hakemassa vuohi.

Vapaus tai kuolema

Flominator. CC-BY-SA

Kuninkaan vankityrmässä on jälleen täyttä. Kuningas päättää mestata osan vangeista ja vapauttaa loput. Valinta tehdään sattumanvaraisesti. Kulhoon laitetaan kaksi paperilappua. Toisessa lukee "vapaus" ja toisessa "kuolema". Kukin vanki saa vuorollaan valita kulhosta toisen lapun ja lukea mitä lapussa lukee. Sen jälkeen kuningas itse tarkistaa asian ja käskee vartijat joko vapauttamaan tai mestaamaan vangin.

Eräs vangeista on erityisen vihattu ja yksi vartijoista vaihtaa hänen kohdallaan molemmat laput samanlaisiksi, joissa lukee "kuolema". Vanki arvaakin, että näin tulee käymään. Hänellä ei ole kuitenkaan muuta vaihtoehtoa kuin nostaa lappu kulhosta. Hän katsoo lappua ja näkee, että siinä lukee "kuolema".

Miten vanki voi selvitä tilanteesta hengissä?

Vangin on parasta nielaista lappu nopeasti. Kuningas ottaa kulhosta toisen lapun, jossa lukee "kuolema", ja päättelee, että syödyssä lapussa luki "vapaus".

Vaarallisia salaisuuksia

Olet saanut haltuusi salaista tietoa vieraan planeetan asukkaiden ja maan suurimpien maiden hallitusten yhteisestä salaliitosta ihmiskuntaa vastaan. Haluaisit lähettää asiaan liittyviä muistiinpanoja ystävällesi toiselle paikkakunnalle. Et kuitenkaan luota postiin tai kuriiriin. Pelkäät, että jos lähetät muistiinpanot tavallisessa kirjeessä, tiedot joutuvat vääriin käsiin.

Sinulla on pieni lukittava laatikko, jossa uskaltaisit lähettää muistiinpanosi. Laatikon voi lukita yhdellä tai useammalla lukolla. Lisäksi sinulla on kokoelma lukkoja ja niihin sopivia avaimia, samoin ystävälläsi. Teillä ei kuitenkaan ole samanlaisia lukkoja tai avaimia.

Millä tavalla voit lähettää muistiinpanot ystävällesi niin, että kukaan muu ei voi lukea niitä matkalla?

Laita ihmiskunnan tuhoa ennustavat muistiinpanosi laatikkoon ja lukitse se jollakin lukolla. Lähetä laatikko ystävällesi. Ystäväsi ei saa laatikkoa auki mutta hän voi lukita laatikon sinun lukkosi lisäksi yhdellä omista lukoistaan. Sitten hän lähettää laatikon takaisin sinulle. Kun näet ystäväsi lukinneen laatikon omalla lukollaan, voit avata oman lukkosi ja lähettää laatikon jälleen ystävällesi.

2 = 1

Tässä todistus sille, että kaksi on yhtä kuin yksi. Vai onko sittenkään? Mikä todistuksessa menee pieleen?

             a = b
            aa = ab
       aa - bb = ab - bb
(a + b)(a - b) = b(a - b)
         a + b = b
         a + a = a
            2a = a
             2 = 1 

Koska a = b niin (a - b) = 0. Keskivaiheilla tehty jako (a - b):llä on nollalla jako, minkä tulosta ei ole määritelty. Siispä lopputulos ei ole oikein - onneksi.

Numeroita, numeroita, numeroita

Kuva: Deutsches Bundesarchiv. CC-BY-SA 3.0

Tässä muutama numeronäppäryyttä edellyttävä tehtävä. Miten seuraavat yhtälöt saadaan menemään oikein? Lisää oikeat symbolit: + - x /

A) 3 3 3 3 3 = 5
B) 4 4 4 4 4 = 5
C) 6 6 6 6 6 = 5
D) 7 7 7 7 7 = 5
E) 9 9 9 9 9 9 = 100
F) 10 10 10 10 10 = 99,9

Tässä muutama tapa saada yhtälöt kohdalleen. Muitakin vaihtoehtoja on löydettävissä. Muista, että laskusääntöjen mukaan kerto- ja jakolaskut lasketaan ennen yhteen- ja vähennyslaskuja. Sulkumerkit eivät olleet sallittujen symbolien joukossa.

A) 3 / 3 + 3 / 3 + 3 = 5
B) 4 / 4 + 4 + 4 - 4 = 5
C) 6 + 6 - 6 - 6 / 6 = 5
D) 7 - 7 / 7 - 7 / 7 = 5
E) 9 x 9 + 9 + 9 + 9 / 9 = 100
F) 10 x 10 - 10 / 10 / 10 = 99,9