Lasikuulien punnitus

Kuva: José Reynaldo da Fonseca. Lisenssi: CC-BY-SA 3.0.

Kaupan varastossa on kymmenen isoa laatikollista lasikuulia. Yksi tavallinen kuula painaa 10g mutta yhdessä laatikossa on viallisia kuulia, jotka painavat 9g. Kaupan apulaiselle on annettu tehtäväksi selvittää mikä laatikko sisältää kevyempiä kuulia. Apunaan hänellä on erittäin tarkka painovaaka. Onko mahdollista selvittää asia yhdellä ainoalla punnituksella?

Merkitään laatikot numeroilla yhdestä kymmeneen. Otetaan vaa'alle ensimmäisestä laatikosta yksi lasikuula, toisesta kaksi, kolmannesta kolme jne. Jos kaikki kuulat olisivat 10g painoisia, tulisi punnituksen tulokseksi 550g, mutta nyt yhteispaino on jotain alle sen. Jos kevyet kuulat ovat laatikossa 1, on punnituksen tulos 1g pienempi. Jos laatikossa 2, on tulos 2g pienempi. Jos laatikossa 3, on tulos 3g pienempi. Ja niin edelleen.

100 vankia tyrmässä

Kuva: Del Amitri. Lisenssi: CC-BY-NC-ND 2.0.

Kuninkaan vankityrmässä viruu 100 elinkautisvankia. Tylsistynyt kuningas päättää asettaa heille haasteen.

Vankilan erään huoneen seinään asennetaan kaksi vipua. Kummallakin vivulla on kaksi asentoa: ylös ja alas. Aluksi vivut ovat sattumanvaraisessa asennossa.

Kuningas ilmoittaa vangeille, että seuraavasta päivästä alkaen hän kutsuu heistä yhden kerrallaan tuohon huoneeseen. Vangin on silloin käännettävä yhtä vipua kerran. Mitään muuta huoneessa ei saa tehdä.

Kuningas kutsuu vankeja sattumanvaraisessa järjestyksessä. Kukin vanki voi tulla kutsutuksi monta kertaa peräjälkeen. Kaikki vangit kuitenkin käyvät huoneessa aikanaan. Vangit ovat kukin omassa sellissään, eivätkä tiedä muiden liikkeistä mitään.

Näin jatketaan niin kauan kunnes kuka tahansa vangeista ilmoittaa tietävänsä, että kaikki vangit ovat käyneet huoneessa vähintään kerran. Jos hän on oikeassa, kaikki vapautetaan. Jos tieto on väärä, kaikki vangit mestataan.

Vangeilla on hetki aikaa sopia suunnitelma, jonka avulla he selviävät haasteesta. Miten vankien kannattaa toimia?

Vankien kannattaa sopia, että yksi heistä suorittaa laskennan ja ilmoittaa kun kaikki ovat käyneet huoneessa vähintään kerran. Oikeanpuoleinen vipu toimikoon merkinantajana, jonka avulla kävijät lasketaan.

Jos oikeanpuoleinen vipu on alhaalla, kaikki muut vangit paitsi laskija kääntävät sen ylös. Jos oikeanpuoleinen vipu on ylhäällä, käännetään vasemmanpuoleista vipua ylös tai alas, jotta ei sekoiteta toiseen vipuun perustuvaa laskentaa. Kukin vanki kääntää oikeanpuoleisen vivun yläasentoon vain kerran riippumatta siitä montako kertaa hänet kutsutaan huoneeseen, jotta samat vangit eivät tulisi lasketuksi moneen kertaan.

Kun laskija saapuu huoneeseen, hän katsoo onko oikeanpuoleinen vipu käännetty ylös. Jos on, hän tietää että yksi uusi vanki on käynyt huoneessa ja voi laskea päässään yhden lisää. Sitten hän kääntää oikeanpuoleisen vivun taas alas. Muutoin hän kääntää vasemmanpuoleista vipua ylös tai alas.

Tämä suunnitelma ei kuitenkaan vielä aivan riitä, sillä aivan aluksi ei tiedetä onko oikeanpuoleinen vipu ollut ylä- vai ala-asennossa. Voi siis käydä niin, että laskija laskee 100 kävijää (itsensä mukaanlukien), mutta ensimmäisellä kerralla vipu olikin sattumalta yläasennossa ja vain 99 vankia on käynyt huoneessa.

Muutetaan siis suunnitelmaa vielä niin, että kukin vanki kääntää oikeanpuoleisen vivun ylös kahdesti ja laskija laskee kunnes 200 kertaa täyttyy. Nyt vipu on käännetty yläasentoon joko 200 tai 199 kertaa, joten jokainen vanki on varmasti käynyt huoneessa ainakin kerran.

Totuus ja valhe

Tässäpä eräs hyvin suosittu pulma, joka liittyy valehteluun ja totuuden puhumiseen.

Olet kävelyretkellä vieraassa metsässä. Kuljet polulla kohti kylää, jossa sinulla on majapaikka. Yön jo lähestyessä saavut polunhaaraan. Toinen polku vie kylään ja toinen syvemmälle synkkään metsään mutta et tiedä kumpi on kumpi.

Polun vieressä seisoo kaksi miestä, jotka tietävät kumpi polku johtaa kylään. Olet kuullut heistä aikaisemmin ja tiedät, että jos kysyt heiltä jotain, toinen heistä puhuu aina totta ja toinen valehtelee aina.

Voit esittää toiselle heistä yhden kysymyksen, jonka avulla sinun on selvitettävä, kumpi polku vie kylään. Minkä kysymyksen kysyt?

Kummalta tahansa voi kysyä kysymyksen "mitä toinen mies vastaisi, jos kysyisin häneltä, kumpi polku vie kylään?"

Oletetaan, että oikeanpuoleinen polku vie kylään. Totuudenpuhuja vastaa silloin "vasen", koska valehtelija vastaisi niin. Valehtelija vastaa myös "vasen", koska totuudenpuhuja vastaisi "oikea".

Molemmat siis kertoisivat väärän polun, joten voit rauhallisin mielin lähteä kulkemaan toista polkua pitkin.

Myrkytetty viinipullo

Kuva: Che. Lisenssi: CC-BY-SA 2.5.

Kaukaisen maan kuninkaalla on viinikellarissaan 1000 pulloa erinomaisen hyvää viiniä. Kuningas viettää pian syntymäpäiviään ja pullot on varattu tarjoiltavaksi kutsuvieraille.

Kuningas on mielipuolisten tempaustensa vuoksi erittäin epäsuosittu ja hänen vastustajansa ovatkin onnistuneet myrkyttämään yhden viinipulloista. Kuninkaan vartiokaarti on kuitenkin saanut asiasta vihiä.

Myrkky on niin tehokasta, että pienen pieni pisara riittää tappamaan ihmisen. Myrkyn oireet alkavat näkyä kuitenkin vasta 22 tunnin kuluttua. On enää tasan vuorokausi aikaa kutsuvierasjuhlien alkuun, eikä kuningas halua peruuttaa juhlia, joten hän päättää selvittää maistajien avulla mikä pulloista sisältää myrkkyä.

Kuningas keksii tavan, jossa tarvitaan vain pieni joukko maistajia, mutta saadaan varmuudella ennen juhlien alkua selville mikä pulloista on myrkytetty. Mikä on tuo keino ja miten monta maistajaa tarvitaan?

Pieni määrä maistajia riittää, jos kukin maistajista maistaa useammasta pullosta ja kunkin maistajan pullot valitaan sopivasti niin, että kun useampi saa myrkytysoireita, voidaan päätellä mistä pullosta he kaikki ovat maistaneet.

Käytetään apuna binäärilukuja. Binääriluku koostuu ykkösistä ja nollista. Binääriluvun voi tulkita desimaaliluvuksi siten, että oikealta lukien ensimmäinen numero merkitsee ykköstä, toinen kakkosta, kolmas nelosta, neljäs kahdeksaa, viides kuuttatoista, kuudes kolmeakymmentäkahta jne. eli yleisemmin sanoen n:s numero merkitsee kakkosen n:ttä potenssia. Jos binääriluvun n:s numero on ykkönen, lisätään desimaalilukuun 2ⁿ. Esimerkiksi binääriluku 0000000101 on desimaalilukuna 1 + 4 eli 5. Binääriluku 0001100110 on desimaalilukuna 2 + 4 + 32 + 64 eli 102.

Numeroidaan viinipullot yhdestä tuhanteen binääriluvuilla. Sitten otetaan kymmenen maistajaa ja numeroidaan heidät ykkösestä kymmeneen. Maistaja numero 1 maistaa kaikista niistä viinipulloista, joiden binäärilukuesityksessä ensimmäinen numero on ykkönen. Maistaja 2 maistaa kaikista niistä viinipulloista, joiden toinen numero on ykkönen, ja niin edelleen. Kymmenen maistajaa riittää, koska kaikki luvut yhdestä tuhanteen voidaan esittää kymmennumeroisena binäärilukuesityksenä.

Desimaaliluku 1 on binäärilukuna 0000000001, joten vain ensimmäinen maistaja maistaa ensimmäisestä pullosta. Desimaaliluku 1000 on binäärilukuna 1111101000, joten viimeisestä pullosta maistavat maistajat 4, 6, 7, 8, 9 ja 10. Pullosta 329 eli binäärilukuna 0101001001 maistavat maistajat 1, 4, 7 ja 9.

Kun osa maistajista saa oireita, voidaan heti päätellä mistä pullosta he kaikki ovat maistaneet. Esimerkiksi jos maistajat 1 ja 3 saavat oireita mutta muut ovat terveitä, on pullo 0000000101 myrkytetty. Jos 2, 3, 6 ja 7 saavat oireita, on pullo 0001100110 myrkytetty.

Tällä tavalla tarvitaan pieni määrä maistajia, mutta toisaalta suurimmassa osassa tapauksista useampi kuin maistajista menehtyy. Jos maistajia olisi tuhat ja kukin maistaisi vain yhdestä pullosta, vain yksi maistaja menehtyisi.

Kyyhkyn lento

Kaksi pyöräilijää on sopinut tapaavansa toisensa kaupungin kauppatorin suihkulähteellä. Pyöräilijät lähtevät ajamaan samalla hetkellä kohti toria vastakkaisista suunnista 45 km päässä toisistaan. Tori on täsmälleen puolivälissä eli 22,5 km päässä kummankin kotoa. Molemmat ajavat pysähtymättä ja samaa nopeutta 15 km/h.

Toisella pyöräilijöistä on kesy kirjekyyhky, joka lähtee lentoon samaan aikaan ja samasta paikasta emäntänsä kanssa. Kyyhky lentää ensin toisen pyöräilijän luokse ja kääntyy sitten takaisin kohti ensimmäistä pyöräilijää. Kyyhky jatkaa lentämistä edestakaisin kahden pyöräilijän välillä nopeudella 34 km/h siihen asti, kunnes pyöräilijät kohtaavat toisensa suihkulähteellä.

Kuinka pitkän matkan kyyhky lensi?

Jokaisen lento-osuuden voisi yrittää laskea erikseen mutta helpompikin tapa on olemassa. Lentomatka on suoraviivaista laskea, kun tiedetään kuinka kauan pyöräilijöillä kesti kohdata ja mikä oli linnun nopeus. Pyöräilijöillä kesti 1,5 tuntia ajaa torille. Koko sen ajan kyyhky lensi nopeudella 34 km/h. Kyyhky lensi siis yhteensä 1,5 h x 34 km/h = 51 km.

Ässän etsintä

Pelataan hetki korttipeliä, jossa etsitään ässää. Erotetaan tavallisesta korttipakasta kolme korttia: yksi ässä ja kaksi kakkosta. Jakaja järjestää kortit kädessään ja asettaa ne pöydälle kuvapuoli alaspäin.

Tehtäväsi on arvata mikä korteista on ässä ja kertoa valintasi jakajalle. Sen jälkeen jakaja poistaa valitsematta jääneistä kahdesta kortista yhden, joka ei ole ässä.

Tässä vaiheessa jakaja antaa sinulle mahdollisuuden muuttaa mieltäsi ja vaihtaa valintasi toiseen jäljellä olevaan korttiin. Kannattaako sinun vaihtaa vai pysytellä alkuperäisessä valinnassa? Vai onko sillä merkitystä miten toimit?

Kannattaa vaihtaa valintaa. Tämä ei ehkä tunnu aluksi aivan itsestään selvältä, mutta käy ilmi helposti seuraavasta:

Aluksi oikeaan osumisen todennäköisyys oli vain 1/3. Sen jälkeen valinnan vaihtaminen johtaa aina väärään korttiin.

Aluksi väärään osumisen todennäköisyys oli 2/3. Silloin valinnan vaihtaminen johtaa aina oikeaan korttiin.

Jos siis et vaihda valintaa, on todennäköisyys osua oikeaan 1/3. Jos vaihdat valintaa, on todennäköisyys 2/3.

Pieni arvoitus äidistä ja lapsista

Kuva: Joachim Spremberg. Deutsches Bundesarchiv. Lisenssi: CC-BY-SA 3.0

Tässä pieni arvoitus äidistä ja lapsista. Eräs poika on syntynyt samana vuonna, samana kuukautena ja samana päivänä kuin muuan toinen poika. Heillä on myös sama äiti. He eivät kuitenkaan ole kaksosia. Miten tämä on mahdollista?

Pojat eivät ole kaksosia vaan kaksi sisarusta kolmosista tai vielä suuremmasta katraasta.