Norsupalloturnaus

Kuva: The Brit_2. Lisenssi: CC-BY-NC-ND 2.0

Suomen norsupallojoukkue pelaa pohjoismaisessa turnauksessa kolme peliä kahta vastustajaansa, Ruotsia ja Norjaa vastaan. Turnauksen säännöt ovat sellaiset, että joukkue voittaa koko turnauksen, jos se voittaa kaksi peräkkäistä pelaamaansa peliä. Koska Suomi on turnauksen isäntämaa, se saa sääntöjen mukaan valita vastustajiensa järjestyksen: pelaako Suomi ensin Ruotsia, sitten Norjaa ja lopuksi Ruotsia vastaan, vai ensin Norjaa, sitten Ruotsia ja lopuksi Norjaa vastaan. Ruotsi on turnauksen ennakkosuosikki.

Missä järjestyksessä Suomen kannattaa pelata Ruotsia ja Norjaa vastaan?

Helposti ajatellaan, että vaikeinta vastustajaa vastaan kannattaa pelata niin vähän pelejä kuin suinkin, eli aloittaa Norjaa vastaan, sitten pelata Ruotsia vastaan ja lopuksi Norjaa vastaan. Asia ei kuitenkaan ole niin yksinkertainen.

Suomi voittaa turnauksen, jos se voittaa kaksi ensimmäistä, kaksi viimeistä tai kaikki kolme peliä. Merkitään todennäköisyyttä voittaa Ruotsi R:llä ja todennäköisyyttä voittaa Norja N:llä. Jos aloitetaan pelaamalla Norjaa vastaan ovat voittoisat tapahtumasarjat NR(1-N), (1-N)RN ja NRN eli todennäköisyys voittaa turnaus on: NR(1-N) + (1-N)RN + NRN = NR(2-N). Jos taas aloitetaan pelaamalla Ruotsia vastaan, todennäköisyys voittaa on: RN(1-R) + (1-R)NR + RNR = NR(2-R). N > R, joten 2-R > 2-N. Todennäköisyys voittaa turnaus on siis suurempi, jos ensimmäinen peli on Ruotsia vastaan.

Koska keskimmäinen peli on pakko voittaa, on parasta valita siihen heikompi vastus. Vaikeamman vastustajan voittamiseen on sitten kaksi mahdollisuutta.

Hätäpysäytys!

Achim Hering. Public domain.

Voimalan ohjauspaneelissa on tuhansien muiden säädinten lisäksi neljä painiketta, jotka ohjaavat neljää voimalan keskeistä osajärjestelmää. Hätäpysäytystilanteessa kaikki neljä tulee kytkeä pois päältä hyvin nopeasti. Normaalisti painikkeiden vieressä olevat valot kertoisivat onko napin ohjaama osajärjestelmä päällä vai pois päältä, mutta huonon huollon vuoksi kaikki valot ovat rikki. Mistään ei siis näe mitkä painikkeista on painettu päälle ja mitkä ovat pois päältä. Kuitenkin kun kaikki osajärjestelmät on sammutettu, syttyy hätäpysäytyksen merkkivalo.

Montako painallusta korkeintaan tarvitaan, jotta voimalan saa varmasti pysäytettyä? Mikä on todennäköisyys, että voimalan saa suljettua enintään kahdella painalluksella?

Neljä painiketta voivat olla 2⁴ = 16 eri asennossa. Alkuasetelma on jokin viidestätoista vaihtoehdosta, joissa vähintään yksi osajärjestelmistä on päällä. Voimalan saa suljettua käymällä läpi kaikki vaihtoehdot Greyn koodin mukaisesti, jolloin tarvitaan korkeintaan 15 painallusta. Painelujärjestys: 1, 2, 1, 3, 1, 2, 1, 4, 1, 2, 1, 3, 1, 2, 1.

Kaikista osajärjestelmien 15 vaihtoehdosta neljä on sellaisia, että vain yksi osajärjestelmä on päällä. Oikeaan vaihtoehtoon osumisen todennäköisyys yhdellä painalluksella on 1/15. Vastaavasti kahden osajärjestelmän ollessa päällä todennäköisyys valita juuri oikeat kaksi kahdella painalluksella on 1/15. Aivan samalla tavalla on jokaisella painallusmäärällä. Todennäköisyys saada voimala suljettua enintään kahdella painalluksella on siis 2/15.

Selviytyjät

Kuva: Cuijk. CC-BY-SA 3.0

TV-yhtiön uudessa tosi-TV-selviytymiskilpailussa kilpailijat on jaettu kolmeen joukkueeseen. Joukkueiden nimet ovat "kivi", "paperi" ja "sakset". Jos joukkue "kivi" onnistuu voittamaan viikon haastetehtävän, saavat he valita kuka joukkueesta "sakset" pudotetaan kilpailusta. Jos joukkue "sakset" voittaa, he saavat valita kuka kilpailija joukkueesta "paperi" saa lähteä kotiin. Vastaavasti joukkue "paperi" saa voittaessaan valita kuka pudotetaan joukkueesta "kivi".

Ohjelman teko on jo aloitettu, kun tuotantotiimi huomaa säännöissä vakavan ongelman. Mikä se mahtaa olla?

Yksikään joukkue ei pääse pudottamaan oman pahimman kilpailijajoukkueensa osallisia, vaan auttavat kilpailijaansa pudottamalla kolmannen joukkueen jäseniä. Siis esim. joukkue "kivi" pudottaa joukkueen "sakset" jäseniä, jotka voisivat muuten auttaa joukkueen "paperi" eliminoimisessa. Jos joukkue "kivi" onnistuu pudottamaan joukkueesta "sakset" kaikki kilpailijat, voittaa joukkue "paperi" varmasti. Näin ollen paras strategia on aina hävitä haastetehtävät. Kun kaikki huomaavat tämän, ei yksikään joukkue tee elettäkään haasteiden voittamiseksi.

Kaksosten syntymäpäivät

Kuva: MultipleParent. Lisenssi: CC-BY-SA 3.0

Eräänä päivänä nuorempi kaksospojista viettää syntymäpäiväänsä. Kaksi päivää myöhemmin hänen vanhempi veljensä juhlii omaa syntymäpäiväänsä. Miten tämä on mahdollista?

Kaksoset ovat syntyneet helmi- ja maaliskuun vaihteessa ei-karkausvuonna valtamerilaivassa, joka on matkalla länteen. Vanhempi kaksosista on syntynyt laivan kellon ollessa puoliyön ja kello yhden välillä 1. maaliskuuta. Sen jälkeen laiva on ylittänyt aikavyöhykkeen rajan länteen, jossa kello on vielä ilta yhdentoista ja kahdentoista välillä 28. helmikuuta. Karkausvuosina väliin tulee vielä 29. helmikuuta, joten silloin nuorempi kaksosista viettää syntymäpäiviään kaksi päivää vanhempaa ennen.

Musta ässä

Sinut on jujutettu pelaamaan uhkapeliä korteilla. Tavallinen 52 kortin korttipakka on sekoitettu hyvin. Käydään pakkaa läpi järjestyksessä yksi kortti kerrallaan. Sinun pitäisi arvata monesko kortti on ensimmäinen vastaan tuleva musta ässä. Mitä arvaisit, jotta sinulla olisi paras todennäköisyys olla oikeassa?

Kannattaa arvata, että ensimmäinen pakasta käännettävä kortti on musta ässä.

Tutkitaan kahden mustan ässän sijoittumismahdollisuuksia. Kaksi mustaa ässää voi sijoittaa pakkaan 52 x 51 / 2 = 1326 eri tavalla, kun maiden keskinäisestä järjestyksestä ei välitetä.

Muiden korttien kuin ässien järjestyksestä ei tarvitse välittää, koska ne voivat jokaisessa eri vaihtoehdossa sijoittua jäljelle jääville 50 paikalle yhtä monella eri tavalla.

Jos ensimmäinen musta ässä on pakan päällimmäisenä, voi toinen ässä sijoittua 51 eri tavalla. Jos ensimmäinen musta ässä on pakassa kymmenentenä, voi toinen ässä sijoittua 42 eri tavalla. Jos ensimmäinen musta ässä olisi vasta toiseksi viimeinen kortti, olisi toisella ässällä vain yksi mahdollinen paikka.

Tästä nähdään, että eniten on sellaisia erilaisia vaihtoehtoja, joissa musta ässä on pakassa ensimmäisenä. Todennäköisyys on kuitenkin vain 51 / 1326. Kovin suurella panoksella ei siis tätäkään vaihtoehtoa kannata veikata.

Ei kaikki ole kultaa

Muuan erikoinen miljonääri asettaa torilla esille joukon kultaesineitä. Ne kaikki ovat täsmälleen saman painoisia mutta eri muotoisia möhkäleitä. Kaikki esineet näyttävät ulkoisesti kullalta, mutta yksi niistä on muuta ainetta, joka painaa kultaan verrattuna gramman vähemmän kuutiosenttiä kohti. Se, joka pystyy ensiksi osoittamaan mikä esineistä ei ole kultaa, saa ne kaikki itselleen. Mikä olisi helpoin tapa selvittää tehtävä?

Sen esineen, joka on tehty kevyemmästä aineesta, täytyy olla hieman isompi kuin muut. Jos kaikki esineet upottaa yksitellen samalla vesimäärällä täytettyyn vesiastiaan, isompi esine nostaa veden pintaa enemmän kuin muut. Tässä täytyy toki olla hyvin tarkkana, koska painoero on niin pieni.

Mustasukkaisuutta

Viisi avioparia on matkalla loman viettoon saarelle. Matka mantereelta saareen kuljetaan kiikkerällä soutuveneellä. Soutuveneeseen mahtuu kerrallaan kolme henkilöä. Kaikki miehet osaavat soutaa ja myös yksi naisista. Muut neljä naista eivät missään tapauksessa suostu käymään airoihin.

Jotta saareen pääsy ei olisi aivan helppoa, ovat miehet äärimmäisen mustasukkaisia eikä kukaan heistä suostu jättämään vaimoaan muiden miesten seuraan mantereen puolelle, saareen tai veneeseen. Jokaisen naisen tulee siis olla joka hetki joko pelkästään naisseurassa tai niin, että hänen oma miehensä on seurassa mukana.

Millä tavalla koko väki pääsee saareen?

Merkitään naisia isoilla kirjaimilla A, B, C, D ja E. Miehiä merkitään pienillä kirjaimilla a, b, c, d ja e. A ja a ovat aviopari, muut vastaavasti. A on se naisista, joka suostuu soutamaan. V on vene.

Lähtö				Kohde
ABCDE	V			_____
abcde				_____
___DE			V	ABC__
abcde				_____
A__DE	V			_BC__
abcde				_____
____E			V	ABCD_
abcde				_____
A___E	V			_BCD_
abcde				_____
A___E			V	_BCD_
a___e				_bcd_
A__DE	V			_BC__
a__de				_bc__
___DE			V	ABC__
___de				abc__
__CDE	V			AB___
__cde				ab___
__CDE			V	AB___
_____				abcde
A_CDE	V			_B___
_____				abcde
____E			V	ABCD_
_____				abcde
A___E	V			_BCD_
_____				abcde
_____			V	ABCDE
_____				abcde