Kaksosten syntymäpäivät

Kuva: MultipleParent. Lisenssi: CC-BY-SA 3.0

Eräänä päivänä nuorempi kaksospojista viettää syntymäpäiväänsä. Kaksi päivää myöhemmin hänen vanhempi veljensä juhlii omaa syntymäpäiväänsä. Miten tämä on mahdollista?

Kaksoset ovat syntyneet helmi- ja maaliskuun vaihteessa ei-karkausvuonna valtamerilaivassa, joka on matkalla länteen. Vanhempi kaksosista on syntynyt laivan kellon ollessa puoliyön ja kello yhden välillä 1. maaliskuuta. Sen jälkeen laiva on ylittänyt aikavyöhykkeen rajan länteen, jossa kello on vielä ilta yhdentoista ja kahdentoista välillä 28. helmikuuta. Karkausvuosina väliin tulee vielä 29. helmikuuta, joten silloin nuorempi kaksosista viettää syntymäpäiviään kaksi päivää vanhempaa ennen.

Musta ässä

Sinut on jujutettu pelaamaan uhkapeliä korteilla. Tavallinen 52 kortin korttipakka on sekoitettu hyvin. Käydään pakkaa läpi järjestyksessä yksi kortti kerrallaan. Sinun pitäisi arvata monesko kortti on ensimmäinen vastaan tuleva musta ässä. Mitä arvaisit, jotta sinulla olisi paras todennäköisyys olla oikeassa?

Kannattaa arvata, että ensimmäinen pakasta käännettävä kortti on musta ässä.

Tutkitaan kahden mustan ässän sijoittumismahdollisuuksia. Kaksi mustaa ässää voi sijoittaa pakkaan 52 x 51 / 2 = 1326 eri tavalla, kun maiden keskinäisestä järjestyksestä ei välitetä.

Muiden korttien kuin ässien järjestyksestä ei tarvitse välittää, koska ne voivat jokaisessa eri vaihtoehdossa sijoittua jäljelle jääville 50 paikalle yhtä monella eri tavalla.

Jos ensimmäinen musta ässä on pakan päällimmäisenä, voi toinen ässä sijoittua 51 eri tavalla. Jos ensimmäinen musta ässä on pakassa kymmenentenä, voi toinen ässä sijoittua 42 eri tavalla. Jos ensimmäinen musta ässä olisi vasta toiseksi viimeinen kortti, olisi toisella ässällä vain yksi mahdollinen paikka.

Tästä nähdään, että eniten on sellaisia erilaisia vaihtoehtoja, joissa musta ässä on pakassa ensimmäisenä. Todennäköisyys on kuitenkin vain 51 / 1326. Kovin suurella panoksella ei siis tätäkään vaihtoehtoa kannata veikata.

Ei kaikki ole kultaa

Muuan erikoinen miljonääri asettaa torilla esille joukon kultaesineitä. Ne kaikki ovat täsmälleen saman painoisia mutta eri muotoisia möhkäleitä. Kaikki esineet näyttävät ulkoisesti kullalta, mutta yksi niistä on muuta ainetta, joka painaa kultaan verrattuna gramman vähemmän kuutiosenttiä kohti. Se, joka pystyy ensiksi osoittamaan mikä esineistä ei ole kultaa, saa ne kaikki itselleen. Mikä olisi helpoin tapa selvittää tehtävä?

Sen esineen, joka on tehty kevyemmästä aineesta, täytyy olla hieman isompi kuin muut. Jos kaikki esineet upottaa yksitellen samalla vesimäärällä täytettyyn vesiastiaan, isompi esine nostaa veden pintaa enemmän kuin muut. Tässä täytyy toki olla hyvin tarkkana, koska painoero on niin pieni.

Mustasukkaisuutta

Viisi avioparia on matkalla loman viettoon saarelle. Matka mantereelta saareen kuljetaan kiikkerällä soutuveneellä. Soutuveneeseen mahtuu kerrallaan kolme henkilöä. Kaikki miehet osaavat soutaa ja myös yksi naisista. Muut neljä naista eivät missään tapauksessa suostu käymään airoihin.

Jotta saareen pääsy ei olisi aivan helppoa, ovat miehet äärimmäisen mustasukkaisia eikä kukaan heistä suostu jättämään vaimoaan muiden miesten seuraan mantereen puolelle, saareen tai veneeseen. Jokaisen naisen tulee siis olla joka hetki joko pelkästään naisseurassa tai niin, että hänen oma miehensä on seurassa mukana.

Millä tavalla koko väki pääsee saareen?

Merkitään naisia isoilla kirjaimilla A, B, C, D ja E. Miehiä merkitään pienillä kirjaimilla a, b, c, d ja e. A ja a ovat aviopari, muut vastaavasti. A on se naisista, joka suostuu soutamaan. V on vene.

Lähtö				Kohde
ABCDE	V			_____
abcde				_____
___DE			V	ABC__
abcde				_____
A__DE	V			_BC__
abcde				_____
____E			V	ABCD_
abcde				_____
A___E	V			_BCD_
abcde				_____
A___E			V	_BCD_
a___e				_bcd_
A__DE	V			_BC__
a__de				_bc__
___DE			V	ABC__
___de				abc__
__CDE	V			AB___
__cde				ab___
__CDE			V	AB___
_____				abcde
A_CDE	V			_B___
_____				abcde
____E			V	ABCD_
_____				abcde
A___E	V			_BCD_
_____				abcde
_____			V	ABCDE
_____				abcde

Sisään ja ulos

Kuva: public domain

Eräisiin juhliin on kutsuttu suurehko määrä ihmisiä. Juhlien emännällä on usein erilaisia erikoisia pakkomielteitä, niin myös tällä kertaa. Hän on päättänyt, että kerrallaan juhlahuoneistoon saa astua vain yksi vieras sisään tai tai yksi vieras ulos, ja että illan aikana on jokaisen mahdollisen vieraiden osajoukon oltava kokoontuneena juhlahuoneistoon, mutta vain kerran. Siis esimerkiksi niin, että jos vieraita olisi kolme (A, B ja C), olisi illan aikana huoneistossa oltava vierasjoukot A, B, C, AB, AC, BC ja ABC, mutta mikään niistä ei enempää kuin kerran.

Onko emännän idea mahdollinen toteuttaa, eli onko olemassa tapaa käydä läpi kaikki vierasjoukon erikokoiset osajoukot siten, että jokainen joukko on huoneessa vain kerran ja kerrallaan huoneeseen saa tuoda tai sieltä poistaa vain yhden henkilön?

Kyllä se on mahdollista. Seuraavassa yksi tapa.

Ensin esimerkiksi kahden vieraan tapaus:
A_
AB
_B

Sitten kolmen vieraan tapaus:
A__
AB_
_B_
_BC
ABC
A_C
__C

Neljän vieraan tapaus:
A___
AB__
_B__
_BC_
ABC_
A_C_
__C_
__CD
A_CD
ABCD
_BCD
_B_D
AB_D
A__D
___D

Suuremmilla vierasmäärillä käytetään samaa periaatetta. Esimerkiksi neljän vieraan tapauksessa käydään läpi kolmen vieraan ratkaisu kahdesti, kerran yhteen suuntaan ilman neljättä vierasta ja kerran toiseen suuntaan symmetrisesti neljännen vieraan kanssa. Vastaavasti viiden vieraan tapauksessa käydään neljän vieraan ratkaisu läpi kerran yhteen ja kerran toiseen suuntaan.

Tämä tapa käydä joukot läpi vastaa Greyn koodia. Lisää aiheesta Wikipediassa.

Valheen lyhyet jäljet

Kuva: public domain

Edellisessä tehtävässä arvuuteltiin kuka on kukin kolmesta veljeksestä. Yksi heistä puhuu aina totta, toinen valehtelee aina ja kolmannen puheista joka toinen virke on totta ja joka toinen valhetta.

Eräänä päivänä veljesten luokse vieras, joka haluaisi tietää, kuka veljistä on kuka. Veljistä on kuitenkin paikalla vain yksi, veli A. Tämä kertoo vieraalle seuraavasti:

"En ole se, joka puhuu aina totta.
Veljeni B ei ole se, joka valehtelee aina.
Veljeni C ei ole se, joka puhuu totta ja valehtelee vuoron perään."

Vieras päätteli heti kuka on kukin. Pystytkö sinä päättelemään saman?

A ei voi olla todenpuhuja, koska jos hän olisi, hänen ensimmäisen virkkeensä mukaan hän ei olisi todenpuhuja. Hän ei myöskään voi olla ikuinen valehtelija, koska silloin hänen ensimmäinen väitteensä tarkoittaisi, että hän olisi todenpuhuja. Koska nämä ovat molemmat ristiriitaisia väitteitä, A:n täytyy olla se, joka vuorotellen puhuu totta ja valehtelee. A:n ensimmäinen väite on siis tosi, joten seuraavan on oltava valhe ja kolmannen taas totta. B:n on siis oltava valehtelija. Jäljelle jää enää vain C, jonka on oltava todenpuhuja.

Paljastavat valheet

Kuva: public domain

Olipa kerran kolme erilaista veljestä. Yksi heistä puhuu aina totta. Toinen veli on pakonomainen valehtelija. Kolmas veljistä sairastaa harvinaista luusairautta, jonka vuoksi joka toinen hänen lausumansa virke on totta ja joka toinen valhetta.

Veljien luokse tuli vieras, joka halusi tietää kuka heistä on kukin. Veljet A, B ja C vastasivat seuraavasti:
A: Olen todenpuhuja.
B: Olen valehtelija.
C: He molemmat valehtelevat. Minä olen se, jolla on luusairaus.

Kuka on kukin?

Jos B olisi todenpuhuja, hänen olisi oman väitteensä mukaan oltava valehtelija. Hän ei siis ole todenpuhuja. Jos B olisi valehtelija, hänen väitteensä olisi totta, jolloin hän ei olisi valehtelija. B ei siis ole todenpuhuja eikä valehtelija, joten hänellä täytyy olla luusairaus ja väite on valhe.

Tästä seuraa, että C:n täytyy olla valehtelija, koska hänen toinen väitteensä on varmasti valhe, kuten on siis myös ensimmäinen väite. A on todenpuhuja, kuten sanoikin.